第六章曲线与曲面(11版)

1、1第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面6-1 曲线曲线 一、曲线的投影特性曲线可看作是一个点在空间连续运动的轨迹。按点的运动轨迹是否在同一平面，曲线可分为平面曲线和空间曲线。按点的运动有无一定规律，曲线又可分为规则曲线和不规则曲线。 1.曲线的割线与切线与曲线相交于两个点的直线。称为曲线的割线。割线的两个交点重合，割线变为切线。2.曲线的交点和重影点3.曲线段的实长2求曲线的实长近似图解法 1. 将曲线ae分成若干段，定出各点的两面投影。2. 利用直角三角形求实长的方法，求得各段曲线的近似实长。在ox轴的延长线上截取h面投影长a111=a1、11b1=1b、81e1=8e。再从点a1、11、b1

2、、e1 作ox轴的垂线与相应的正面投影a、1、b、e所作的水平方向线相交，得交点a0、i0、b0、e0。然后用直线连接各点，即得平面折线a0i0b0e0。 3. 在直线ae上顺次量取平面折线a0i0b0e0各段长度，即得曲线ae的近似展开长度。 第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面6-1 曲线曲线 3第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面6-1 曲线曲线 10-4 4第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-1 曲线曲线 曲线投影的性质 ：1. 曲线的投影一般仍为曲线。 2.属于曲线的点，它的投影属于该曲线在同一投影面上的投影。3.属于曲线某点的切线，它的投影与该曲线在同一投影面的投影仍相切于切点的投

3、影。 5第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-1 曲线曲线 10-36第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-1 曲线曲线 平面曲线投影的特性平面曲线投影的特性 ：1.平面曲线所在的平面平行于某一投影面时，则在该投影面的投影，反映曲线的实形。 2.平面曲线所在的平面垂直于某一投影面时，则在该投影面的投影，积聚成一直线。3.平面曲线上某些奇异点的投影保持原有性质，即曲线的拐点、尖点及两重点的投影后仍为曲线投影的拐点、尖点及两重点。 4. 抛物线、双曲线、椭圆等二次曲线投影后，一般性质不变，即抛物线的投影为抛物线、双曲线的投影为双曲线、椭圆的投影为椭圆等。 7第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面

4、6-1 曲线曲线 8第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-1 曲线曲线 二、圆的投影二、圆的投影1. 倾斜于投影面的圆，它的投影为椭圆。 2. 倾斜于投影面的圆上任意一对相互垂直的直径，投影成椭圆上的一对共轭直径 3. 倾斜于投影面的圆上一对相互垂直的直径，其中有一条直径为投影面平行线时，则它们在该投影面的投影为椭圆的长、短轴。 9第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-1 曲线曲线 10第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-1 曲线曲线 11第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-1 曲线曲线 12第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-1 曲线曲线 例 . 已知一圆属于铅垂面p（p平面

5、对v面的夹角为），直径为2r，并已知该圆中心o的两面投影o和o，试作该圆的两面投影。 10-11 13第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-1 曲线曲线 解法一：解法一：用换面法将一般位置平面变换为投影面垂直面 10-12 14第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-1 曲线曲线 解法二：解法二：用最大斜度线确定短轴的方向和长度 15第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-1 曲线曲线 16第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-1 曲线曲线 10-15 17第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-1 曲线曲线 三、圆柱螺旋线三、圆柱螺旋线1. 圆柱螺旋线为工程上应用最广泛的空间曲线。一个动

6、点沿着圆柱面的母线作匀速直线运动，同时，该母线又绕圆柱面轴线作匀速转动，点的这种复合运动的轨迹，称为圆柱螺旋线。当母线旋转一周时，动点在母线上移动的距离，称为导程。圆柱螺旋线的两个性质： （1）圆柱螺旋线是属于圆柱面上不在同一素线上的两点之间最短距离的连线，故又称为圆柱面上的测量线。 （2）圆柱螺旋线与圆柱面上任何素线交于相等的角度，如图中角， 称之为该圆柱螺旋线的螺旋角。它的余角，称为该圆柱螺旋线的升角。对一条螺旋线来说，它的、角是常数。从圆柱螺旋线上任一点所作的切线都与水平面成相等的角，故圆柱螺旋线又称定倾曲线。 18第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-1 曲线曲线10-1719第六章

7、第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-1 曲线曲线 2圆柱面的直径、母线旋转方向和导程为确定圆柱螺旋线的三要素，给出三要素即可作出其投影图。10-16 20第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-1 曲线曲线 3精确地作圆柱螺旋线某点的切线。 10-18 21第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-1 曲线曲线 圆锥螺旋线圆锥螺旋线 ：当一点沿正圆锥面的母线作匀速直线运动，同时该母线绕轴线作匀速转动，则该点的运动轨迹即为圆锥螺旋线。母线回转一周，其动点沿圆锥轴线方向移动的距离称为导程。 10-19 22第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-2 曲面的形成曲面的形成 曲面是由直线或曲线在一定约束条

8、件下运动而形成的。这根运动的直线或曲线，称为曲面的母线。母线运动时所受的约束，称为运动的约束条件。母线在曲面上的任何一个位置统称为曲面的素线。 约束母线作规则运动的一些不动的几何元素称为导元素。直母线形成的曲面称为直纹曲面，它又可分为单曲面和扭曲面。只能由曲母线形成的曲面称为曲纹曲面，它又可分为定线曲面和变线曲面。不论是直纹曲面还是曲纹曲面，它们当中凡属于母线（直线或曲线）绕其直导线为轴回转一周而形成的曲面，又统称为回转面。 23第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-2 曲面的形成曲面的形成 直 纹 曲 面单 曲 面锥面、圆锥面 柱面、圆柱面 切线曲面、渐开线螺旋面可 展扭 曲 面双曲抛物面

9、 锥状面 柱状面 斜螺旋面阿基米德螺旋面 单叶双曲回转面不 可 展曲 纹 曲 面定线曲面球面、环面 转抛物面 柱状圆纹曲面不 可 展变线曲面羊角状圆纹曲面 椭圆抛物面工程上常见的规则曲面分类 24第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-3 回转面回转面 圆 柱 体圆 锥 体圆 球 体圆 环 体直观图圆柱面+2个圆平面围成圆锥面+1个圆平面围成圆球面围成圆环面围成回转面形成规律母线：与轴线平行的直线轴线：直线母线：与轴线相交的直线轴线：直线母线：圆或圆弧轴线：圆的直径母线：圆或圆弧轴线：与母线相离且共面的直线常见回转体的形成 25第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-3 回转面回转面 一、圆柱

10、一、圆柱面（一）圆柱的投影图 754 26第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-3 回转面回转面 714 27第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-3 回转面回转面 71528第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-3 回转面回转面 （二）圆柱表面上取点一般情况下，圆柱轴线都处于投影面垂直线的位置，故圆柱面在与其轴线垂直的投影面的投影积聚为圆。 716 29第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-3 回转面回转面 717 30第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-3 回转面回转面 二、圆锥面（一）圆锥的投影 755 31第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-3 回转面回转面 720 3

11、2第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-3 回转面回转面 721 33第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-3 回转面回转面 （二）圆锥表面上取点1.属于圆锥表面的特殊位置点 72334第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-3 回转面回转面 2.属于圆锥表面的一般位置点 726 35第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-3 回转面回转面 727判别可见性并连线。 36第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-3 回转面回转面 三、球面（一）球面的投影 75637第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-3 回转面回转面 73038第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-3 回转面回转面 7

12、3139第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-3 回转面回转面 （二）圆球表面上取点1.属于圆球表面的特殊位置点转向线上点 73340第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-3 回转面回转面 2.一般位置点：由于圆球面是一种最特殊的回转面，过球心的任意一直径都可作为回转轴，因此过其表面上一点可作无数个圆。求属于圆球面的点，可利用过该点并与各投影面平行的圆为辅助线。 73441第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-3 回转面回转面 73542第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-3 回转面回转面 73843第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-3 回转面回转面 73744第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6-3 回转面回转面 四、环 面（一）环面的投影739 由圆母线外半圆绕轴旋转形成的回转面称为外环面；内半圆绕轴旋转形成的回转面称为内环面。在正面投影中，左、右两圆和与该两圆相切的两段直线是圆环面正视转向线的投影，其中两圆是圆环面上最左、最右两素线圆的投影，粗实线半圆在外环面上，虚线半圆在内环面上（该半圆被前一半外环面挡住，故画成虚线），上、下两段直线是内、外环面上下两条分界圆的投影。45在正面投影中，外环面的前一半可见，后一半不可见，内环面均为不可见。在水平投影中