高一数学上学期知识点总结二次函数

1、知识点大全I. 定义与定义表达式一般地，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系： y=ax2+bx+c(a ， b， c 为常数， a0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)则称 y 为 x 的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。II. 二次函数的三种表达式一般式： y=ax2+bx+c(a ， b， c 为常数， a0)顶点式： y=a(x-h)2+k抛物线的顶点P(h ，k)交点式： y=a(x-x?)(x-x?)仅限于与x 轴有交点A(x? ， 0)

2、和 B(x? ， 0) 的抛物线 注：在 3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b2)/4ax?， x?=(- b± b2 -4ac)/2aIII. 二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数 y=x2 的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。IV. 抛物线的性质1. 抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a 。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴 ( 即直线 x=0)2. 抛物线有一个顶点 P，坐标为P(-b/2a ， (4ac-b2)/4a)当 -b/2a=0 时， P 在 y 轴上 ; 当=b

3、2-4ac=0 时， P 在 x 轴上。3. 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。当 a>0时，抛物线向上开口; 当 a<0时，抛物线向下开口。知识点大全|a| 越大，则抛物线的开口越小。4. 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。当 a 与 b 同号时 ( 即 ab>0) ，对称轴在 y 轴左 ;当 a 与 b 异号时 ( 即 ab<0) ，对称轴在y 轴右。5. 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。抛物线与 y 轴交于 (0 ， c)6. 抛物线与 x 轴交点个数=b2-4ac>0 时，抛物线与 x 轴有 2个交点。=b2-4ac=

4、0 时，抛物线与 x 轴有 1个交点。=b2-4ac<0 时，抛物线与 x 轴没有交点。 X 的取值是虚数 (x=- b± b2 -4ac 的值的相反数，乘上虚数 i ，整个式子除以 2a)V. 二次函数与一元二次方程特别地，二次函数( 以下称函数 )y=ax2+bx+c ，当 y=0时，二次函数为关于 x 的一元二次方程 ( 以下称方程 ) ，即 ax2+bx+c=0此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。1. 二次函数y=ax2 ，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c( 各式中， a0) 的图象形状

5、相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式顶点坐标对称轴y=ax2(0 ，0)x=0y=a(x-h)2(h ， 0)知识点大全x=hy=a(x-h)2+k(h ， k)x=hy=ax2+bx+c(-b/2a ， 4ac-b2/4a)x=-b/2a当 h>0时， y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2 向右平行移动h 个单位得到，当 h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.当以得到h>0，k>0时，将抛物线y=a(x-h)2+k的图象 ;y=ax2 向右平行移动h 个单位，再向上移动k 个单位，就可当 h>0，k<0时，将抛物线y=ax2

6、 向右平行移动h 个单位， 再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;当h<0， k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k 个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;当h<0， k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;因此，研究抛物线y=ax2+bx+c(a 0) 的图象，通过配方， 将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了. 这给画图象提供了方便.2. 抛物线 y=ax2+bx+c(a 0) 的图象：当 a>0时，开

7、口向上，当 a<0时开口向下，对称轴是直线 x=-b/2a ，顶点坐标是 (-b/2a ，4ac-b2/4a).3. 抛物线 y=ax2+bx+c(a 0) ，若 a>0，当 x -b/2a 时，y 随 x 的增大而减小 ; 当 x -b/2a时， y 随 x 的增大而增大 . 若 a<0，当 x -b/2a时， y 随 x 的增大而增大; 当 x -b/2a时， y随 x 的增大而减小.4. 抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与坐标轴的交点：(1) 图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c);(2) 当 =b2 -4ac>0 ，图象与 x 轴交于两点 A(x?

8、， 0) 和 B(x? ， 0) ，其中的 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0知识点大全(a 0) 的两根 . 这两点间的距离AB=|x?-x?|当 =0. 图象与x 轴只有一个交点;当 <0. 图象与x 轴没有交点 . 当 a>0时，图象落在x 轴的上方， x 为任何实数时，都有y>0;当 a<0时，图象落在x 轴的下方，x 为任何实数时，都有y<0.5. 抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时， y最小(大)值=(4ac-b2)/4a.顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.6. 用待定系数法求二次函数的解析式(1) 当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y 的三对对应值时， 可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a 0).(2) 当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x- h)2+k(a 0