华中农业大学微积分方红第七章 第一节

1、第一节第一节 重积分的概念与性质重积分的概念与性质 柱体体积柱体体积= =底面积底面积 高高特点：平顶特点：平顶 柱体体积柱体体积= =？ 特点：曲顶特点：曲顶),(yxfz d1 1、曲顶柱体的体积、曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出曲顶柱体曲顶柱体 求曲边梯形面积的步骤：求曲边梯形面积的步骤： 分割、近似、求和、取极限分割、近似、求和、取极限 这里，我们求曲顶柱体体积也采用这一思想。这里，我们求曲顶柱体体积也采用这一思想。 步骤如下：步骤如下：（3 3）求出所有小平顶柱体）求出所有小平顶柱体 体积之和；体积之和； xzyod),(yxfz i),(ii（1 1）先分割曲顶柱体的底，

2、）先分割曲顶柱体的底， 并取典型小区域；并取典型小区域；.),(lim10iiniifv （4 4）取极限即得曲顶柱体的体积）取极限即得曲顶柱体的体积 （2 2）作小平顶柱体近似代）作小平顶柱体近似代 替小曲顶柱体；替小曲顶柱体；2 2、求平面薄片的质量、求平面薄片的质量i),(ii（1 1）将薄片分割成若干小块；）将薄片分割成若干小块； （2 2）取典型小块，将其近似）取典型小块，将其近似 看作均匀薄片；看作均匀薄片； （4 4）取极限得薄片总质量）取极限得薄片总质量 .),(lim10iiniim xyo（3 3）求出均匀薄片质量和；）求出均匀薄片质量和； 步骤如下：步骤如下： 二、二重积

3、分的概念二、二重积分的概念 定义：定义： .),(),(lim),(10上的二重积分上的二重积分在有界闭区域在有界闭区域函数函数为有界为有界称称dyxffdyxfniiid ddyxf ),(iiniif ),(lim10（1 1）二重积分的值只与被积函数和积分区域有关，）二重积分的值只与被积函数和积分区域有关， 而与积分变量的选取和区域的划分无关。而与积分变量的选取和区域的划分无关。 （2 2）被积函数在积分区域连续，则积分存在。）被积函数在积分区域连续，则积分存在。 （3 3）几何意义：曲顶柱体体积（被积函数为正）。）几何意义：曲顶柱体体积（被积函数为正）。 （4 4）类似二重积分可得三重

4、积分定义式：）类似二重积分可得三重积分定义式： niiiiivvfdvzyxf10),(lim),(体积元素体积元素 （5 5）当对积分区域的划分采用与坐标轴（面）平行的）当对积分区域的划分采用与坐标轴（面）平行的 直线（平面）时，可得直线（平面）时，可得 dxdyd xyo故也有故也有 dxdydzdv vvdxdydzzyxfdvzyxf),(),( dddxdyyxfdyxf),(),(三、二重积分的性质（与定积分类似）三、二重积分的性质（与定积分类似） 性质性质1 1： ddd).(的面积的面积为区域为区域性质性质2 2（线性性）：（线性性）： ddyxgyxf),(),(.),(),

5、( dddyxgdyxf性质性质3 3（可加性）：（可加性）： 则则若若,21ddd .),(),(),(21 ddddyxfdyxfdyxf 性质性质4 4（比较定理）：（比较定理）： 则则上上若若在在),(),(yxgyxfd .),(),( dddyxgdyxf 性质性质5 5： .),(),( dddyxfdyxf 性质性质6 6（估值不等式）：（估值不等式）： 则则的面积的面积为为和最小值和最小值上的最大值上的最大值在闭区域在闭区域分别是分别是设设,),(,ddyxfmm dmdyxfm),(性质性质7 7（积分中值定理）：（积分中值定理）： ),(),(fdyxfd使得使得上至少存

6、在一点上至少存在一点则在则在面积面积的的为为上连续上连续在闭区域在闭区域设函数设函数),(,),( dddyxf例例1 1、根据二重积分的几何意义，确定下列积分值：、根据二重积分的几何意义，确定下列积分值： . :,)()2(; 9 :,)3()1(2222222222ayxddxdyyxayxddxdyyxdd 其中其中其中其中例例2 2、比较下列二重积分的大小。、比较下列二重积分的大小。 .0, 1, 2 ,)ln()ln()2(;2)1()2( ,)()()1(22232所围成所围成由直线由直线其中其中与与所围成所围成由圆周由圆周其中其中与与 yxyxddyxdyxyxddyxdyxddddoxy121dyxo2131)1()2(例例3 3、估计下列二重积分的值。、估计下列二重积分的值。 .02,)()2();0(