曲线积分曲面积分21073

1、一、高斯公一、高斯公 式式 dvzryqxprdxdyqdzdxpdydz二、通量与散度二、通量与散度 dsna dsrqp)coscoscos( rdxdyqdzdxpdydzzryqxpadiv 一一. .对面积的曲面积分对面积的曲面积分第一类曲面积分第一类曲面积分二、对坐标的曲面积分二、对坐标的曲面积分第二类曲面积分第二类曲面积分三、两种曲线积分的关系三、两种曲线积分的关系iiniiisfdszyxf ),(lim),(10 s xy yoxznn rdxdyqdzdxpdydz rdxdyqdzdxpdydz dscosrcosqcosp cos dsdxdy cos dsdxdz c

2、os dsdzdy一、高斯公式一、高斯公式定理定理 设空间闭区域设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面由分片光滑的闭曲面 所围成，函数所围成，函数),(),(),(zyxrzyxqzyxp在在 上具有一阶连续偏导，则有上具有一阶连续偏导，则有 dvzryqxprdxdyqdzdxpdydz dvzryqxpdsrqp)coscoscos(或或其中其中 是是取外侧取外侧，),( cos,cos,coszyx上上点点是是 处法向量的处法向量的方向余弦方向余弦.dvzr rdxdyxyzoxyd设设321 dvzr dxdydzzrxydyxzyxz ),(),(21 xyddxdyyxzyxryxzyx

3、r),(,),(,12 rdxdy 321 rdxdyrdxdyrdxdy xyddxdyyxzyxr),(,1 xyddxdyyxzyxr),(,20 dxdyyxzyxryxzyxrxyd),(,),(,12 所以所以dvzr rdxdy类似可证其它两式类似可证其它两式.),(:11yxzz ),(:22yxzz 3 证明证明 z轴的直线与轴的直线与 的边界曲面的边界曲面的交点恰好是两个的交点恰好是两个.并设穿过并设穿过 内部平行于内部平行于 xoy,xyd在在面上投影区域为面上投影区域为设设例例1 计算计算 dxdyyxdzdxxzdydzzyi)()()(其中其中 为曲为曲面面)0(,

4、22 hhzyxz所围区域的整个边界曲面的外侧所围区域的整个边界曲面的外侧.xyzo 由高斯公式得由高斯公式得解解yxrxzqzyp ,dvzryqxpi 00 dv解解zryqxp ,由高斯公式由高斯公式dvzryqxpi dv3v3 813332 xyz例例2 计算计算 ,zdxdyydzdxxdydzi是平面是平面z=0，z=3 及柱面及柱面922 yx的整个边界曲面的外侧的整个边界曲面的外侧.所围区域所围区域 例例3 dxdyzyxydzdxzyxdydzxzi)2()(2322 其中其中 是上半球面是上半球面222yxaz 的下侧的下侧.1 xyz 解解 添加曲面添加曲面),(0:2

5、221ayxz 取上侧取上侧.dxdyzyxydzdxzyxdydzxz)2()(23221 dvyxz)(222 drrrdda sin2022020 5 52a dxdyzyxydzdxzyxdydzxz)2()(23221 xydxydxdy20 11 i5 52a 解解 添加辅助面添加辅助面)(:2221hyxhz 取上侧取上侧. 1)coscoscos(222 dszyx dvzyx)(2 zdv2 hrhzdzrdrd0202 drrhrh)(214220 421h dszyx)coscoscos(2221 xyddxdyh24h 11 i421h 例例4. 计算计算dszyxi)

6、coscoscos(222 , 其中其中 为锥面为锥面) 0,0(222 hhzzyx的下侧的下侧, cos,cos,cos是是 在点在点),(zyx处法向量的方向余弦处法向量的方向余弦.h1 xyzo 二、通量与散度二、通量与散度设某向量场由设某向量场由kzyxrjzyxqizyxpa),(),(),( 给出，给出，n是是 上点上点),(zyx处的单位法向量，处的单位法向量，即即 dsna dsrqp)coscoscos( rdxdyqdzdxpdydz 是场内一片有向曲面，是场内一片有向曲面，rqp,具有一阶连续偏导，具有一阶连续偏导，其中其中 dsna 叫做向量场叫做向量场a通过曲面通过

7、曲面 向着指定侧的向着指定侧的通量通量或或流量流量则则称称zryqxp 为向量场为向量场a的的散度散度. 记作记作adiv即即zryqxpadiv 高斯公式可写成高斯公式可写成dsna dvadiv 例例5. 求向量场求向量场kzyjyxzizxa)2()()32(2 穿过曲面穿过曲面 流向指定侧的流量流向指定侧的流量. 其中其中 流向外侧流向外侧.是以点是以点)2 , 1, 3( 为球心为球心,半径半径3 r的球面的球面, dxdyzydzdxyxzdydzzx)2()()32(2 dv)212(v3 334343rr 解解 108343 例例6 求向量场求向量场kxyzjxzyiyzxa)()()(222 的散度的散度.解解adivzryqxp zyx222 )(2zyx 流过圆柱面流过圆柱面例例7 已知流体的速度场为已知流体的速度场为kyxjzxi zyv22 , 试求单位时间内试求单位时间内122 yx介于平面介于平面1, 0 zz之间部分的外侧的之间部分的外侧的流量流量(流体的密度为流体的密度为1)。解解ydxdyxzxdzdxzdydzy22 添加辅助面添加辅助面)1(