曲线积分曲面积分习题

1、曲线积分与曲面积分习题课曲线积分与曲面积分习题课（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系（三）场论初步（三）场论初步 曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定义定义计算计算定义定义计算计算联系联系联系联系（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义 niiiilsfdsyxf10),(lim),( ldyyxqdxyxp

2、),(),(),(),(lim10iiiniiiiyqxp 联联系系dsqpqdypdxll)coscos( 计计算算 dtfdsyxfl22,),(三代一定)( dtqpqdypdxl),(),(二代一定 (与方向有关)与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域d上上),(),(yxqyxp具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . lqdypdxd与路径无关与路径无关内内在在)1( cdcqdypdx闭曲线闭曲线, 0)2(qdypdxduyxud 使使内存在内存在在在),()3(xqypd ,)4(内

3、内在在等等价价命命题题 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiisrdxdyzyxr)( ),(lim),(10 联联系系 rdxdyqdzdxpdydz计计 算算一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关) dsrqp)coscoscos( dszyxf),( xydyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxr),( xyddxdyyxzyxr),(,定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算gre

4、en公式公式stokes公式公式guass公式公式（二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系点函数点函数)(,)(lim)(10mfmfdmfnii .)()(,1 badxxfdmfbar 时时上区间上区间当当.),()(,2 ddyxfdmfdr 时时上区域上区域当当定积分定积分二重积分二重积分 dvzyxfdmfr),()(,3 时时上区域上区域当当.),()(,3 dszyxfdmfr 时时上空间曲线上空间曲线当当.),()(,3 sdszyxfdmfsr 时时上曲面上曲面当当曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分.),()(,2 ldsyxfdmflr 时时上平面曲线

5、上平面曲线当当曲线积分曲线积分)( ,),(),()()(21面元素面元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyd)( ,),(),()()(),(),(2121体元素体元素dvdzzyxfdydxdvzyxfbaxyxyyxzyxz baldsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲线元素线元素 baldxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影投影线元素线元素 xydyxdxdyzzyxzyxfdszyxf221),(,),( xyddxdyyxzyxfdxdyzyxr),(,),(其中其中dsrqpdxdyrqdzdxpdydz)coscoscos( dsqpqdypd

6、xl)coscos( )(曲曲面面元元素素ds)(投影投影面元素面元素dxdy1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系)()()()()(xfxfafbfdxxfba 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系)()(的正向的正向沿沿lqdypdxdxdyypxqld 格林公式格林公式3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系 rdxdyqdzdxpdydzdvzryqxp)(高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系 dxdyypxqdzdxxrzpdydzzqyr)()()( rdzqdypdx斯托克斯

7、公式斯托克斯公式 dldxdykarotsda)( dldxdyadivdsna)( dsnarotdsa)( rqpzyxdxdydzdxdydzrdzqdypdx dvadivdsna)(dvzryqxprdxdyqdzdxpdydz)( dldxdyypxqqdypdx)( dldxdyyqxppdyqdx)(或推广推广为平面向量场为平面向量场)(ma为空间向量场为空间向量场)(ma梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度环流量环流量zryqxpadiv rdxdyqdzdxpdydzkypxqjxrzpizqyrarot)()()( rdzqdypdx散度散度（三）（三）

8、场论初步场论初步例例 1 1 计算计算 ldyyxdxxyxi)()2(422, ,其中其中l为由点为由点)0 , 0(o到点到点)1 , 1(a的曲线的曲线xy2sin . .思路思路: lqdypdxixqyp xqyp 0 lqdypdxi ),(),(00yxyxqdypdxi闭合闭合非闭非闭闭合闭合 ddxdyypxqi)(非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式解解xxyxyyp2)2(2 知知xyxxxq2)(42 ,xqyp 即即 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 xyo11a dyyxdxxyxi)()2(422由由例例 2 2 计计算算 lxxdymye

9、dxmyyei)cos()sin(, ,其其中中l为为由由点点)0 ,(a到到点点)0 , 0(的的上上半半圆圆周周0,22 yaxyx. .解解myemyyeyypxx cos)sin(yemyexxqxxcos)cos( xqyp 即即( (如下图如下图) )xyo)0 ,(aamdxdyypxqdamoa )( ddxdym,82am 0)(00 medxxaao, 0 082 am.82am amoaaoaoaoli amoaaoi曲面面积的计算法曲面面积的计算法sdxy),(yxfz xyoz dss xydyxdxdyzz221dsyxfsbal ),(),(dxyyxfba 21

10、),(zxoy),(yxfz slabab曲顶柱体的表面积曲顶柱体的表面积 ldyxdsyxfdffs),()11(22 xzyo),(yxfz ld如图曲顶柱体，如图曲顶柱体，例例 3 3 求求柱柱面面13232 yx在在球球面面1222 zyx内内的的侧侧面面积积. .解解由对称性由对称性 lldsyxzdss2218, 1:3232 yxl)20(,sin,cos33 ttytx参数方程为参数方程为,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttscossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdt

11、t.233 在第一卦限部分的上侧在第一卦限部分的上侧为平面为平面为连续函数为连续函数其中其中计算计算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfi例例xyoz111 解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系,1 , 1, 1 n的法向量为的法向量为.31cos,31cos,31cosdszzyxfyzyxfxzyxfi),(31),(231),(31 dszyx)(31 xyddxdy3131.21 向量点积法向量点积法 ,1,),(:yxffyxfz 法向量为法向量为设设 rdxdyqdzdxpdydzidxdyffr

12、qpyx1 , dsna0, dxdydzdxdydzrqp.1,dxdyffrqpxoyyx 面投影面投影在在将将所截部分的外侧所截部分的外侧被平面被平面锥面锥面为为其中其中计算计算2, 1,222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzi例例解解,2222yxyfyxxfyx d 利用向量点积法利用向量点积法 21220rdrrd.215 dxdyz2 xyddxdyyx)(22 dxdyyxyyxxzxyi 1 ,2222241:22 yxdxy例例 6 6 计算曲面积分计算曲面积分yzdxdydzdxyxdydzyi4)1(2)18(2 , ,其中其中 是由曲线是由曲线)31(01

13、yxyz绕绕y轴旋转一周轴旋转一周所成的曲面所成的曲面, ,它的法向量与它的法向量与y轴正向的夹角恒大于轴正向的夹角恒大于2 . .解解22101xzyyxyz 轴轴旋旋转转面面方方程程为为绕绕( (如下图如下图) )xyzo132 * *i且有且有dxdydzzryqxp)(* dxdydzyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyi4)1(2)18(2 欲求欲求 dv xzdxzdydxdz3122 3120202dydd 203)2(2d,2 *2)31(2dzdx,32 )32(2 i故故.34 .2, 1, . 7 2222外侧外侧所围成立体整个表面的所围成立体整个表面的和

14、和为锥面为锥面其中其中计算计算 zzyxzdxdyyxez解解 , 0, 022yxerqpz 由高斯公式得到由高斯公式得到dxdyyxez 22 dvyxez)00(22rdrrdzedzz 0 2 1 2 0 1 .22e zdzdxdyyxedz222 1 ):(222zyxdz o2 xzy3 2 1 ( coscoscos ),3cos,cos,cos .vxyzds证明封闭曲面所包围的体积为其中是曲面的外法向量的方向余弦证明证明,zryqxp dszyx)coscoscos( dvzryqxp)( dv3 .)coscoscos(31 dszyxv 所以所以.3v 由高斯公式，得到

15、由高斯公式，得到例例8. , . 9222的上侧的上侧是上半球面是上半球面其中其中计算计算yxrzxzdydz 解解. 2221的下侧的下侧平面上的圆域平面上的圆域是是设设ryxxoy , 0, 0, rqxzp 1xzdydz dvxzx)( zdxdydz drrddrsincos2 0 2 0 2 0 .44r xzdydz 所以所以 1xzdydz 1xzdydz044 r ）（01 xzdydz.44r 由高斯公式，得到由高斯公式，得到.)0()()()( .10 22外侧外侧空间区域的整个边界的空间区域的整个边界的所围成的所围成的及平面及平面为曲面为曲面其中其中计算计算 hhzyx

16、zdxdyyxdzdxxzdydzzy解解1 上的部分上侧为上的部分上侧为在在记记hz上：上：在在22 yxz .)(0)(0)(0)(05432 为为左侧左侧的部分的部分，为为右侧右侧的部分的部分，为为后侧后侧的部分的部分，为为前侧前侧的部分的部分yyxx4 y1 5 2 xzo3 dydzzy)( dydzzy 123)(; 0)()(0 yzyzdddydzzydydzzy同理可得同理可得; 0)( dzdxxz而而ydxdyx )( 321)()( dxdyyxdxdyyx. 0)()( xyxydddxdyyxdxdyyx . 0)()()( dxdyyxdzdxxzdydzzy所以

17、所以（或由高斯公式得到所求积分值为（或由高斯公式得到所求积分值为0）4 y1 5 2 xzo3 一、一、 选择题选择题: :1 1、 设设l为为230,0 yxx, ,则则 lds4的值为的值为( ).( ). (a) (a)04x， (b) (b),6 (c) (c)06x. .2 2、 设设l为直线为直线0yy 上从点上从点),0(0ya到点到点),3(0yb的的有向直线段有向直线段, ,则则 ldy2=( ).=( ). (a (a)6; (b) )6; (b) 06y; (c)0.; (c)0.3 3、 若若l是上半椭圆是上半椭圆 ,sin,costbytax取顺时针方向取顺时针方向,

18、 ,则则 lxdyydx的值为的值为( ).( ). (a (a) )0 0; (b); (b)ab2 ; (c); (c)ab . .测验题测验题4 4、设、设),(,),(yxqyxp在单连通区域在单连通区域d内有一阶连续内有一阶连续 偏导数偏导数, ,则在则在d内与内与 lqdypdx路径无关的条件路径无关的条件 dyxypxq ),(,是是( ).( ). (a) (a)充分条件充分条件; (b); (b)必要条件必要条件; (c); (c)充要条件充要条件. .5 5、设、设 为球面为球面1222 zyx, ,1 为其上半球面为其上半球面, ,则则 ( ) ( )式正确式正确. .

19、(a) (a) 12zdszds; ; (b) (b) 12zdxdyzdxdy; ; (c) (c) 1222dxdyzdxdyz. .6 6、若、若 为为)(222yxz 在在xoy面上方部分的曲面面上方部分的曲面 , , 则则 ds等于等于( ).( ). (a) (a) rrdrrd022041 ;(b);(b) 2022041rdrrd ; ; (c)(c) 2022041rdrrd . .7 7、若、若 为球面为球面2222rzyx 的外侧的外侧, ,则则 zdxdyyx22等于等于( ).( ). (a) (a) xyddxdyyxryx22222; ; (b) (b) 2 2

20、xyddxdyyxryx22222; ; (c) 0(c) 0 . .8 8、曲面积分、曲面积分 dxdyz2在数值上等于在数值上等于( ).( ).(a)(a) 向量向量iz2穿过曲面穿过曲面 的流量；的流量；(b)(b) 面密度为面密度为2z的曲面的曲面 的质量；的质量；(c)(c) 向量向量kz2穿过曲面穿过曲面 的流量的流量 . .9 9、设、设 是球面是球面2222rzyx 的外侧的外侧, ,xyd是是xoy面面 上的圆域上的圆域222ryx , ,下述等式正确的是下述等式正确的是( ).( ). (a) (a) xyddxdyyxryxzdsyx2222222； (b) (b) x

21、yddxdyyxdxdyyx)()(2222； (c) (c) xyddxdyyxrzdxdy2222. .1010、若、若 是空间区域是空间区域 的外表面的外表面, ,下述计算中运用奥下述计算中运用奥- -高高 公式正确的是公式正确的是( ).( ). (a) (a) 外侧外侧dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)22(； (b) (b) 外侧外侧zdxdyydzdxxdydzyzx232)( = = dxdydzxx)123(22； (c) (c) 内侧内侧dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)12(. .二、计算下列各题二、计算下列各题: :1 1、求、求 zds, ,其中其中 为曲线为曲线 ,sin,costzttyttx)0(0tt ；2 2、求、求 lxxdyyedxyye)2cos()2sin(, ,其中其中l为上为上 半圆周半圆周222)(ayax , ,0 y, ,沿逆时针方向沿逆时针方向 . .三、计算下列各题三、计算下列各题: :1 1、求、求 222zyxds其中其中 是界于平面是界于平面hzz 及及0 之间的圆柱面之间的圆柱面222ryx ；2 2、 求求 dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(222， 其中其中 为锥面为锥面)0(22hzyxz 的外侧；的外侧；3 3、 3222)(z