小波分析小结

1、小波分析小结小波分析的形成小波分析是一门数学分支，是继Fourier变换之后新的时频域分析工具。小波理论的形成经历 了三个发展阶段：Fourier变换阶段：Fourier变换是将信号在整个时间轴上进行积 分，它将信号的时域特征和频域特征联系起来， 分别进行分析。设信号f(t)，其Fourier变换为：F( )f(t)e' tdtF()确定了 f(t)在整个时间域上的频谱特性。但 Fourier变换不能对信号从时域和频域结合起来 分析，它是一种全局变换，在时间域上没有任何 分辨率。例：f(t)1,(2 t 2)，其Fourier变换对应图如 下：短时Fourier变换阶段:短时Fouri

2、er变换即加窗Fourier变换，其思 想是把信号分成许多小的时间间隔，用Fourier分析每个时间间隔，以确定该间隔存在的频率， 达到时频局部化目的。其表达式为：Gf( , ) f (t),g(t )ej 七 f(t)g(t )e j 'dtR式中，g(t)为时限函数，即窗口函数，ejt起频限 作用，Gf(,)大致反映了 f(t)在 时、频率为 的信 号成分含量。由上式，短时Fourier变换能实现一定程度上 的时频局部化，但窗口函数确定时，窗口大小和 形状固定，所得时频分辨率单一。小波分析阶段：为了克服上述缺点，小波变换应运而生。小波变换在研究信号的低频成分时 其窗函数在时间窗长度

3、上增加，即在频率宽上减小；在研究信号的高频成分时 其窗函数在时间窗长度上减小，而在频率宽上增加。对信号可以进行概貌和细 节上的分析。小波的定义:设 (t) L2(R)(为能量有限的空间信号)，其Fourier变换为卩()，若满足容许条件：(t)dt 0，说明(t)具有波动则称(t)为母小波，由容许条件可得：牡0)性，在有限区间外恒为0或快速趋近于0.12 f以Marr小波(t)-(1 t2)e 2为例，如下图:将母小波进行伸缩平移所得小波系列称为子小波，定义式如下：1 t bb,a(t) 丁 (), a 0vaa其中a为伸缩因子，b为平移因子。a以Marr小波为例，分别取伸缩平移因子 a，b为

4、0.5、1、2、4； -1、0、1,对应图形如下：Daubichies 小波常见的小波有 Daubechies、Symiets、Morlet、Mexican Hat、Meyer小波等，其对应的图形及性质如下：2-115Daubechies小波是正交小波，没有解析表达式（除 Haar小波外）。其简写形 式为dbN, N表示阶数，支集区间为（0, 2N-1 ）。Symlets小波与db小波的差别是sym小波有更好的对称性。mcxl小液函数mexhdKSl数Morlet小波不具备正交性，不存在紧支集，不 能做离散小波变换，没有解析尺度函数，其小波 函数为：(x) e x /2 cos(5x)Mexi

5、can Hat小波不具有正交性，不存在尺度函数，是高斯函数的二阶导数，小波函数为：.21/4 x2 /2(x)3 eMeyer小波为在频域定义的具有解析形式的 正交小波，不存在紧支集，但其频谱有限，具有 对称性。小波函数的特点：正交性：小波函数与自身内积为 1,而与其伸 缩平移后的小波系列内积为0。正交小波的优点 是小波变换可将信号分解到无重叠的子频带上， 并且可以进行高效的离散小波变换。对称性：不具有对称性的小波函数所重构的信 号会有相位失真。紧支性：具有紧支性的小波其小波函数仅在有 限区间内是非零的，其局部化能力强，小波变换 复杂度低。正则性：用于刻画小波函数的光滑程度，正则 性越高，函数

6、越光滑。消失矩：用于衡量小波逼近光滑函数时的能 力。消失矩越大，压缩比越大。尺度函数：若函数(t) L2(R)，其整数平移系列k(t) (t k)满足:k(t), k(t)；kk则称(t)为尺度函数。对尺度函数(t)进行平移和伸缩，可得一个尺度和位移均可变的函数集合:j,k(t)2 j/2(2 jt k) k(2 jt)称每一个固定尺度间：j上的平移系列k(2 jt)所张成的空间Vj为尺度j的尺度空Vj spank (2 jt) , k Z正交多分辨分析：Hilbert空间L2(R)中，若一列闭子空间Vjj z满足如下性质：嵌套性：VjVji,(j z);逼近性：.Vj 0, . VjL2(R

7、);j zj伸缩性：f(t) Vjf(2t) Vj 1；平移不变性：f(t) Vjf(t k) Vj,j乙(1) hi k, k z作 Fourier二9，称h( )和正交性(Riesz基)：存在(t) Vo，使得 (t k),k z是V。的标准正交基。滤波器：在二尺度方程中，对系数系列hkk z和gk变换得H()和G()，其中H()丄 hke ik，G()2 k zG()分别为低通滤波器和高通滤波器。称hkk z和gkkz分别为低通滤波器系 数和高通滤波器系数。小波变换连续小波变换：设 为一母小波，f(t) L2(R)，称(W f)(a,b)a，b|a f(t)为f的连续小波变换离散小波变换

8、离散小波：通过离散化连续小波变换中的平移因子b和尺度因子a得到，通常取 a am，b nb°am，m,n Z .离散小波变换：(W f)(a,b) f, a,b|a°r f(t) (a。mt nbo)dt若取 ao 2,bo 1，可以得到二进小波：m,n(t) 2 m/2 (2 mt n),m,n Z信号的离散小波变换并不是直接由尺度函数(t)和对应的小波 与信号内积来实现，而是利 用滤波器组hn和gn来实现，用矩阵形式表述如 下：50h0h1Lhk0L00cj 10Cj100h0h1LhkL0Cj 11MMMMMOOOOMCj； 1Lhk0000h0h1Cj 1 n 1d

9、j0g0g1Lgk0L005 1【0dj100g0g1LgkL0Cj 11IVIMMMMOOOOMdj【n 1Lgk0000g0g15 1【n 1j 2其中，设滤波器长度为k。并且两滤波器系数间有如下关系：gk ( i)kh k,k z|hk |22 ；k zhk 2 ；k zh2kh2k 1 1 ；k zk zhk 2 nd 2n0，n zk z以db5小波为例，其低通滤波器系数如下(这里取二尺度方程为(t)血 hk (2t k)所得的系数：k zh0=0.160102397974;h1=0.603829269797;h2=0.724308528438;h3=0.138428145901;h

10、4=-0.242294887066;h 5=-0.032244869585;h6=0.077571493840;h7=-0.006241490213;h8=-0.012580751999;h9=0.003335725285;变换所得系数 Cj和dj分别为离散小波变换的不同尺度下的低频和高频系数。小波逆变换即信号的重建运算，重构是从尺度 最低的近似系数 Cj和细节系数dj开始，通过低频和高频重构滤波器恢 复出上一尺度的近似信号Cj i，继续这个过程，直到恢复原始信号。其计算公式 为：Cj i,mCj,kh(m 2k)dj,kg(m 2k),k Zkk离散小波变换与重构实例如下：所采用的信号为添加白噪声的正弦信号，信号共1000个采样，采用db4小波做3层分解，其原始信号、低频系数、高频系数和重构信号如下图：noiis&infi E-50204060 亠 80100120140第2筐分解高频系数r,.IIIII100200300400500 GOO 7008009C0 WOO低頻系数02040第皐妇解高请备数100