曲线积分与曲面积分

1、数学实验高等数学（下）曲线积分与曲面积分实验目的学习用软件计算曲线积分、曲面积分实验内容实验内容、曲线积分、曲线积分1、对弧长的曲线积分若l： t，则 )()(tyytxxdttytxtytxfdsyxfl)()()(),(),(22若l： t，则)()()(tzztyytxxdttztytxtztytxfdszyxfl)()()()(),(),(),(222例1计算 ， 为 x2+y2=a2 中的 一段弧。 abxydsab解 方法：选x 为参数，则 22xaydxyxyxxydsiaab2021)(yxaba2302a方法：选y为参数，则 22yaxdyyxyyxxydsiaaab2321

2、)()(方法：选t为参数，则有参数方程taytaxsincos22123arctantaa23arctan22)()()()(dttytxtytxxydsiab syms t i=int(x*y*sqrt(diff(x)2+diff(y)2), atan(sqrt(3),pi/2)运行结果： i =1/8*a2*(a2)(1/2)i=simple(i)运行结果： i=1/8*a32、对坐标的曲线积分l是二维有向曲线： t： )()(tyytxx是三维有向曲线： )()()(tzztyytxxt： dttztztytxrtytztytxqtxtztytxpdzzyxrdyzyxqdxzyxp)(

3、)(),(),()()(),(),()()(),(),(),(),(),( 例2计算x3dx+3zy2dy-x2ydz，其中 是从点a（3，2，1）到点b（0，0，0） 的直线段 。 ab 解直线段 的方程为 化为参数方程 t：10 ab123zyxtztytx23dttztytxtytytztxtxydzxdyzydxx10223223)()()()()()(3)()(3 syms t x=3*t; y=2*t; z=t; i=int(x3*diff(x)+3*z*y2*diff(y) -x2*y*diff(z),t,1,0) 运行结果： i =-87/43、格林公式 设闭区域d由分段光滑的

4、曲线l围成， 函数p（x,y）及q（x,y）在d上具有一阶 连续偏导数，则有ldqdypdxdxdyypxq)(其中l是d的取正向的边界曲线。 例3计算曲线积分 l(x2+xy)dx+(x2+y2)dy，其中l是区域0 x1，0y1的边界正向。 解令p（x,y）=x2+xy q（x,y）=x2+y2 由格林公式得1010)(yxldxdyypxqqdypdx syms x y p=x2+x*y; q=x2+y2;i=int(int(diff(q,x)-diff(p,y),y,0,1),x,0,1) 运行结果： i =1/2二、曲面积分二、曲面积分1 、对面积的曲面积分若曲面的方程为:z=z(x

5、,y),则dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfyxdxy),(),(1),(,),(22 例4计算曲面积分其中为锥面 被曲面x2+y2=2ax所截得的部分。 dszxyzxy)(22yxz解：步骤(1)由的参数方程作曲面的图形和在xoy平面的投影区域dxy的图形； 22cos2sincosatarrztryatrx(0t2) (2)建立直角坐标系下的被积函数；221)(),(yxzzzxyzxyyxf (3)将f(x,y)作极坐标变换x=rcost, y=rsint; (4)将曲面积分化为对r,t的二次积分 tardrtrfdtdszxyzxycos2022),()(5)化简积分结果程

6、序：2、对坐标的曲面积分dxdyzyxrdzdxzyxqdydzzyxp),(),(),(化为二次积分xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr),(,),(yzddydzzyzyxpdydzzyxp,),(),(zxddxdzzzxyxqdxdzzyxq),(,),(例5计算 ，其中是上半球面 的上侧。 dxdyzyxydzdxzyxdydzxz)2()(2322222yxaz解步骤：1、作上半球面的图形及其在三个坐标 平面的投影图形；2 、计算adddrdrtrfdttrztrydydzzyazdydzzyazdydzzyazdydzxziyzyzyz01022222222222221),

7、(2sincos212222222222223222)(idxdzzxaxdxdzzxaxdxdzzxaxdzdxzyxizxyzzxdddadrdrtrfdttrytrxdxdyyxayxydxdyzyxyixy0320222223),(sincos)2()2(ii1i2i3 3、高斯公式设空间闭区域是由 分片光滑的闭曲面所围成，函数 p(x,y,z), q(x,y,z), r(x,y,z)在上具有一阶连续导数，则有rdxdyqdzdxpdydzdvzryqxp)(例6用高斯分式计算例5 解分析：积分曲面不是封闭曲面，添加平面1:z=0 使构成封闭曲面1。 步骤：(1)计算沿封闭曲面的积分令

8、p=xz2,q=x2y-z3,r=2xy+y2z,adrsrtsrfdsdtdvzryqxpdxdyzyxydzdxzyxdydzxzi02202023221)sin(),()()2()(1球面坐标交换(2)计算1上的曲面积分dyxydxxydxdydxdyzyxyixaxaaadxy22221)2(2)2(22212322)2()(iidxdyzyxydzdxzyxdydzxzi(3)012dydzxz0)(132dzdxzyx syms a x y z s r tp=x*z2;q=x2*y-z2;r=2*x*y+y2*2;f=diff(p,z)+diff(q,y)+diff(r,z);f=

9、subs(f,x,y,z,r*sin(s)*cos(t), r*sin(s)*sin(t),r*cos(s);i1=int(int(int(f*r2*sin(s),r,0,a),s,0,pi/2), t,0,2*pi) 运行结果： i1 =2/15*a5*pi i2=int(int(2*x*y,y,-sqrt(a2-x2), sqrt(a2-x2),x,-a,a) 运行结果： i2 =0 i=i1-i2 运行结果： i = 2/15*a5*pi上机实验题上机实验题 1 1、计算下列曲线积分计算下列曲线积分ldsy2(1) ,其中l为摆线一x=a(t-sint), y=a(1-cost) (0t2)。lyxdse22(2) ，其中l为圆周x2+y2=a2,直 线y=x及轴在第一象限内所围成的 扇形的整个边界。 ldyxyydxxyx)2()2(22(3) ,其中l是抛 物线y=x2上从点（1,1）到点（1,1）的一段弧。 lyxxdyydx)(222(4) ,其中l为圆周(x-1)2+y2=2， 逆时针方向。 2 、计算下列曲面