第六节极限存在准则两个重要极限

1、长春工业大学 高等数学第六节极限存在准则第六节极限存在准则 两个重要极限两个重要极限一一 、准则、准则i及第一个重要极限及第一个重要极限二、准则二、准则ii及第二个重要极限及第二个重要极限长春工业大学 高等数学一、准则i及第一个重要极限 如果数列xn、yn及zn满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 ) 准则 i 准则i 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)a lim h(x)a 那么lim f(x)存在 且lim f(x)a (2)aynnlim aznnlim 那么数列xn 的极限存在 且axnnlim 长春工

2、业大学 高等数学证证,azaynn使得使得, 0, 0, 021 nn ,1 aynnn时恒有时恒有当当,2 aznnn时恒有时恒有当当 如果数列xn、yn及zn满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 ) 准则 i (2)aynnlim aznnlim 那么数列xn 的极限存在 且axnnlim 上两式同时成立上两式同时成立, , ayan即即, azan恒有恒有时时当当,nn , azxyannn,成成立立即即 axnlim.nnxa,max21nnn 取取长春工业大学 高等数学1sincosxxx圆扇形aob的面积1sinlim. 10 xxx证证: 当即xsin21x21xta

3、n21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有aob 的面积aod的面积dcbax1oxxxcos1sin1故有注注第一个重要极限长春工业大学 高等数学当20 x时xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注注返回长春工业大学 高等数学注: 这是因为 令u=a(x) 则u0 于是 在极限)()(sinlimxx中 只要(x)是无穷小 就有 1)()(sinlimxx )()(sinlimxx1sinlim0uuu 第一个重要极限1sinlim0 xxx 长春工业大学 高等数学例例1.

4、 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例2. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 则,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1长春工业大学 高等数学20cos1limxxx 解 例3 例例 2 求20cos1limxxx 2112122sinlim21220 xxx2112122sinlim21220 xxx 20cos1limxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx220220)2(2sinlim212sin2l

5、imxxxxxx 例4 3231limsin21xxxxx 解 3231limsin21xxxxx22(31)1limsin21xxxxx22(31)1 1lim(sin/)21xxxxx32长春工业大学 高等数学二、准则ii及第二个重要极限m准则ii 单调有界数列必有极限 准则ii的几何解释x1x5x4x3x2xna 以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点a 而对有界数列只可能后者情况发生 准则准则.)()()(000必定存在必定存在的左极限的左极限在在则则且有界且有界的某个左领域内单调并的某个左领域内单调并在点在点设函数设函数 xfxx

6、fxxf长春工业大学 高等数学第二个重要极限exxx)11 (lim 我们还可以证明这就是第二个重要极限根据准则ii 数列xn必有极限, 此极限用e来表示, 即ennn)11 (lim 可以证明 (2)xn3 (1)xnxn+1 nn 设nnnx)11 ( 注: 在极限)(1)(1limxx中 只要(x)是无穷小 就有 exx)(1)(1lim 长春工业大学 高等数学 解 exxx)11 (lim exx)(1)(1lim(x)0) 例5 例例 3 求xxx)11 (lim 令t=-x 则x 时 t 于是 xxx)11 (lim ttt)11 (limettt1)11 (1limxxx)11

7、(lim ttt)11 (limettt1)11 (1limxxx)11 (lim ttt)11 (limettt1)11 (1limxxx)11 (lim ttt)11 (limettt1)11 (1lim 或 ) 1()11 (lim)11 (limxxxxxx11)11 (limexxx) 1()11 (lim)11 (limxxxxxx 11)11 (limexxx 长春工业大学 高等数学exxx)11 (lim exx)(1)(1lim(x)0) 例6 10lim(1 sin2 )xxx 解: 10lim(1 sin2 )xxx1sin2sin20lim(1 sin2 )xxxxx2.e练习练习