第五节隐函数的偏微分法

1、 第八章 第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法 本节讨论 :1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如, 方程02cyx当 c 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1. 设函数),(00yxp),(yxf;0),(00yxf则方程00),(xyxf在点单值连

2、续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有连续yxffxydd(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxfy满足条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数0)(,(xfxf两边对 x 求导0ddxyyfxfyxffxydd0yf,0),()(所确定的隐函数为方程设yxfxfy在),(00yx的某邻域内则机动 目录 上页 下页 返回 结束 若f( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxfffff3222yxyyyxyxyxxffffffffyxff)(yx

3、ffy)(2yxyxyyyyxfffffff二阶导数 :)(yxffxxyxxydd则还有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 验证方程01sinyxeyx在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令, 1sin),(yxeyyxfx,0)0 , 0(f, yefxx连续 ,由 定理1 可知,1)0 , 0(yf0, )(xfy 导的隐函数 则xyfy cos在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求0ddxxy0 xffyx 1xy cosyex0, 0yx机动 目录 上页 下页 返回 结

4、束 0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy 3100yyx)(yex)(cosxy )(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyx0 xy30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyxyycos两边对 x 求导1两边再对 x 求导yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此时1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0 , 0(cosxyyex导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 . 若函数 ),(000zyxp),(zyxfzyzxffyzffxz,的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程0),

5、(zyxf在点),(00yx并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足0),(000zyxf0),(000zyxfz 在点满足:某一邻域内可唯一确机动 目录 上页 下页 返回 结束 0),(,(yxfyxf两边对 x 求偏导xfzxffxzzyffyz同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxfyxfz则zfxz00),(000zfzyx的某邻域内在机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设,04222zzyx解法解法1 利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)(

6、2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导解法解法2 利用公式设zzyxzyxf4),(222则,2xfxzxffxz两边对 x 求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zfz机动 目录 上页 下页 返回 结束 zxffxz xz例例3. 设f( x , y)具有连续偏导数, 0),(zyzxf.dz求解法解法1 利用偏导数公式.是由方程设),(yxfz 0),(zyzxf yz212fyfxfz211fyfxfzyyzxxzzdddzf11 1f)(2zx

7、 2f)(2zyzf12 确定的隐函数,)dd(2121yfxffyfxz则)()(2221zyzxff 已知方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 故对方程两边求微分: 1f)dd(d2121yfxffyfxzz)dd(2zzxxzzzfyfxd221 zyfxfdd21解法解法2 微分法.0),(zyzxf)dd(2zzyyz)(dzx 2f0)(dzy 1f 2f0机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),(0),(vuyxgvuyxf),(),(yxvvyxuu由 f、g 的偏导

8、数组成的行列式vuvuggffvugfj),(),(称为f、g 的雅可比雅可比( jacobi )行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即雅可比 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.3.,0),(0000vuyxf的某一邻域内具有连续偏设函数),(0000vuyxp),(, ),(vuyxgvuyxf则方程组0),(,0),(vuyxgvuyxf),(00yx在点的单值连续函数单值连续函数),(, ),(yxvvyxuu且有偏导数公式 : 在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:0),(),(pvugfpj;0),(0000vuyxg导数；, ),(000yxuu 机动

9、 目录 上页 下页 返回 结束 ),(000yxvv ),(),(1vxgfjxu),(),(1vygfjyu),(),(1xugfjxv),(),(1yugfjyv定理证明略.仅推导偏导数公式如下：vvvuvugfggff1vvvuvugfggff1uuvuvugfggff1uuvuvugfggff1(p34-p35)机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxgfyygfxxgfyygf0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxgyxvyxuyxf,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxgvuyxf有隐函数组则两边对 x 求导得,),(),(yxvvyxuu设方程组,0

10、vuvuggffj在点p 的某邻域内xuxvxuxvxfufvf0 xgugvg0公式 目录 上页 下页 返回 结束 故得系数行列式同样可得),(),(1vygfjyu机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(),(1vxgfjxu),(),(1xugfjxv),(),(1yugfjyv例例4. 设, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxjjxu122yxvxuyyu方程组两边对 x 求导，并移项得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxjxv122yxuyvx练习练习: 求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv机动 目录 上页 下页 返回 结束 答

11、案答案:由题设故有例例5.5.设函数在点(u,v) 的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 证明函数组),(),(vuyyvuxx( x, y) 的某一邻域内. ),(, ),(yxvvyxuu2) 求),(, ),(yxvvyxuu解解: 1) 令0),(),(vuxxvuyxf0),(),(vuyyvuyxg对 x , y 的偏导数.在与点 (u, v) 对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式两边对 x 求导, 得uy0 xvxu

12、1xuxvuxvxvy机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有),(),(vugfj,0),(),(vuyx由定理 3 可知结论 1) 成立.2) 求反函数的偏导数. , 0j注意vyvxj011xuxv,1vyj uyj 1011uyuxj机动 目录 上页 下页 返回 结束 从方程组解得同理, 式两边对 y 求导, 可得,1vxjyuuxjyv1, 0j注意vyvxj011xuxv,1vyj uyj 1011uyuxj机动 目录 上页 下页 返回 结束 从方程组解得同理, 式两边对 y 求导, 可得,1vxjyuuxjyv1xuxv例例5的应用的应用: 计算极坐标变换sin,cosryrx的

13、反变换的导数 .),(),(ryxjxrx同样有22yxyyr22yxxy所以由于vyj 1uyj 1cos1rrsin1rcossinsincosrrryj1cos22yxxryj 122yxyrr机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 隐函数( 组) 存在定理2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式思考与练习思考与练习设, ),(zyxzyxfz求.,yxzxxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 zx 提示提示:),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf21

14、1fyxf 11f 1zx2f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(zyxzyxfz解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd121yfzxfd21作业作业 p37 3 , 6， 7 , 9 , 10(1); (3)，11.zx第六节 目录 上页 下页 返回 结束 由d y, d z 的系数即可得)()(xzzxyy及,2 yxeyx备用题备用题.ddxu求分别由下列两式确定 :又

15、函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数 ,1. 设解解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x0)()(yxyyxyeyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0tttezxx(2001考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解得因此 zxfyfy0zfz fx)1 (y2. 设)(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxf所确定的函数 , 求.ddxz解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得ffxfzyfx xzyfzfyf)0( zyffxfzyxyffxfffxffxf )(xzdd 1 zyfffxxyfffxffx(99考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 微分法.0),(),(zyxfyxfxz对各方程两边分别求微分:化简得消去yd.ddxzyf d20d3zfyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321zfyfxfxfxfd)(xf d1机动 目录 上页 下页 返回 结束 可得222111cybxacybx