第五节 隐函数的求导公式

1、第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式一、一个方程的情形二、方程组的情形一、隐函数存在定理简介隐函数:由方程所确定的函数设函数f(x,y)在点 的某一邻域内具有连续偏导数,且 则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足条件 ，并有 ),(00yxp, 0),(00yxf)(00 xfy , 0),(00yxfy0),(yxf),(00yx1.一个方程的情形隐函数存在定理1）（ 1 ddyxffxy 隐函数存在定理2 设函数的某一邻域内具有连续偏导数，且 ，则方程f(x,y,z)=0在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数

2、z=f(x,y)，它满足条件 并有),(),(000zyxpzyxf在点0),(000zyxfz, 0),(000zyxf),(000zyx),(000yxfz zxffxz yzfzyf (2)2、方程组的情形vuvuggffvugfj),(),(隐函数存在定理3 设f(x,y,u,v)、g(x,y,u,v) 在 点 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又 且偏导数所组成的函数行列式或称雅可比(jacobi)式：),(0000vuyxp, 0),(0000vuyxf, 0),(0000vuyxg在点 不等于零，),(0000vuyxp则0),(0),(vuyxgvuyxf),(0000v

3、uyx在点的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 u=u(x,y)，v=v(x,y)，它们满足条件),(000yxuu ),(000yxvv 并有vvuuvvxxgfgfgfgfvxgfjxu ),(),(1方程组vvuuxxuugfgfgfgfxugfjxv ),(),(1vvuuvvyygfgfgfgfvygfjyu ),(),(1vvuuyyuugfgfgfgfyugfjyv ),(),(1(3)下面，总假设隐函数存在且可导， 在此前提下来讨论求隐函数的导数或偏导数的方法。1、一个方程的情形(1)0),( yxf设该方程确定了函数:)(xyy 即0)(, xyxf等式两端

4、同时对 x 求导, 得xf1 +yfdxdy = 0解解得得的的条条件件下下在在,0 yf dxdyyxff 二、隐函数的求导法(2)0),( zyxf设该方程确定了函数:),(yxzz 即0),(, yxzyxf等式两端同时对 x 求偏导, 得xf1 +yf0 = 0解得的条件下在,0zf xzzxff zfxz +等式两端同时对 y 求偏导, 得xf0 +yf1 = 0解得的条件下在,0zf yzzyff zfyz +(3)0),( uzyxf设该方程确定了函数:),(zyxuu 即0),(, zyxuzyxf等式两端同时对 x 求偏导, 得xf 1 +yf0 = 0解得解得的条件下的条件

5、下在在,0 uf xuuxff zf0 +类似可得ufxu + yuuyff zuuzff 例题例题:见课本例见课本例2-5练习练习:习题习题8-5a/1(1);2(1)2.方程组的情形0),(0),( ) 1 (zyxgzyxf设该方程组确定了)( )( xzzxyy方程组两端同时对 x 求导，得1 xf+dxdyfy +dxdzfz01 xg+dxdygy +dxdzgz 0 即xf +dxdyfy dxdzfz xg +dxdygy dxdzgz 解得解得的条件下的条件下在在,0 zyzyggff dxdyzyzyzxzxggffggff zyzyzxzxggffggff = dxdzz

6、yzyxyxyggffggff =zyzyxyxyggffggff 0),(0),( )2(vuyxgvuyxf设该方程组确定了:),( yxuu 方程组两端同时对 x 求偏导，得1 xf+xufu +xvfv 0 1 xg+xugu +xvgv 0 +0 yf+0 yg),( yxvv 即xf +xufu xvfv xg +xugu xvgv 解得的条件下在,0 vuvuggff xuvuvuvxvxggffggff xvvuvuxuxuggffggff vuvuvxvxggffggff =vuvuxuxuggffggff 同理, 方程组两边同时对 y 求偏导,可得0 xf+yufu +yvfv 0 0 xg+yugu +yvgv 0即yf +yufu yvfv yg +yugu yvgv +1 yf+1 yg解得解得的条件下的条件下在在,0 vuvuggff yuvuvuvyvyggffggff yvvuvuxuxuggf