第四章曲线积分与曲面积分第五节对坐标的曲面积分

1、第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分1 1对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质2 2对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法三三 两类曲面积分的关系两类曲面积分的关系一一 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质其方向用其方向用法向量指向法向量指向方向余弦方向余弦 cos cos cos 0 为为前侧前侧 0 为为右侧右侧 0 为为上侧上侧 0 为为下侧下侧外侧外侧内侧内侧 设设 为有向曲面为有向曲面,)(yxs s yxs)(侧的规定侧的规定 指定了指定了侧侧的曲面叫的曲面叫有向曲面有向曲面, 表示表示 :其面元其面元在在 xoy 面上的

2、投影记为面上的投影记为,0)( yx yxs)( 的面积为的面积为则规定则规定,)(yx ,)(yx ,0时时当当0cos 时时当当0cos 时时当当0cos 类似可规定类似可规定zxyzss)( ,)( 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面求单位时间流过有向曲面 的流量的流量 . 分析分析: 若若 是面积为是面积为s 的平面的平面, 则流量则流量 法向量法向量: 流速为常向量流速为常向量: ),(),(),(zyxrzyxqzyxpv cos,cos,cos nv cosvs nvs n v s|cosv 1. 引例引例对一般的对一般的有

3、向曲面有向曲面 ,用用“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限” ni 10lim 0lim ni 1 iiiip cos),(iiiir cos),( 0lim ni 1 zyiiiisp)(,( xziiiisq)(,( yxiiiisr)(,( iiiiq cos),( is 对稳定流动的不可压缩流体的对稳定流动的不可压缩流体的速度场速度场),(),(),(zyxrzyxqzyxpv 进行分析可得进行分析可得iiisnv cos,cos,cosiiiin 设设 , 则则 in iv ( , , )iii is 设设 为光滑的为光滑的有向曲面块有向曲面块, 的的任任意

4、分割意分割和在局部面元上和在局部面元上任意取点任意取点,0lim ni 1zyiiiisp)(,( xziiiisq)(,( 分分, yxrxzqzypdddddd记作记作p, q, r 叫做叫做被积函数被积函数; 叫做叫做积分曲面积分曲面.yxiiiisr)(,( 或或第二类曲面积分第二类曲面积分.下列下列极限极限都存在都存在个个有界有界向量场向量场,),(),(),(zyxrzyxqzyxpa 若对若对则称此极限为向量场则称此极限为向量场 a 在有向曲面上在有向曲面上对坐标的曲面积对坐标的曲面积2. 定义定义.在在 上定义了一上定义了一引例中引例中, 流过有向曲面流过有向曲面 的流体的流量

5、为的流体的流量为 zypdd xzqdd称为称为q 在有向曲面在有向曲面 上上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分; yxrdd称为称为r 在有向曲面在有向曲面 上上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为称为p 在有向曲面在有向曲面 上上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分; yxrxzqzypdddddd若记若记 正侧的单位法向量为正侧的单位法向量为令令cos,cos,cos ndd,dd,ddddyxxzzysns ),(, ),(, ),(zyxrzyxqzyxpa 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式称为称为有向面元素有向面元素 yxrxzq

6、zypdddddd snad sa d3. 性质性质(1) 若若,1kii ki 1之间无公共内点之间无公共内点, 则则i 且且(2) 用用 表示表示 的反向曲面的反向曲面, 则则 sa d sasadd isa d二二 对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法定理定理:yxdyxyxzz ),( , ),(:),(zyxr是是 上的连续函数上的连续函数, 则则 yxzyxrdd),() ,( xydyxr),(yxzyxdd证证:0lim ni 1yxiiiisr)(,( yxis )( ,)(yxi 取上侧取上侧,),(iiiz 0lim ni 1) ,(iir ),(iizyxi

7、)( yxzyxrdd),(若光滑曲面若光滑曲面 垂直于垂直于xoy面，面， 则则 0),(dxdyzyxr若光滑曲面若光滑曲面其中其中 为上侧时，取正号，否则取负号。为上侧时，取正号，否则取负号。yxx,yzyxrxyddd)(,( 当当 取下侧时取下侧时yxis )( ,)(yxi yxzyxrdd),() ,( xydyxr),(yxzyxdd 若若,),( , ),(:zydzyzyxx 则有则有 zyzyxpdd),(), (zy,pyzd ),(zyxzydd 若若,),( , ),(:xzdxzxzyy 则有则有) , ,(zxqzxd ),(xzyxzdd(前正后负前正后负)(

8、右正左负右正左负)0),( dydzzyxpyoz面，则面，则若若 xzzyxqdd),(0),( dzdxzyxqzox面，则面，则若若5 1 3 xyz例例1 计算曲面积分计算曲面积分 dxdyxyzdzdxxzydydzyzx)()()(222其中其中 长方体长方体czbyax 0 ,0 ,0表面的外侧。表面的外侧。解解o2 4 6 先计算先计算 dydzyzx)(2由于由于6543, 垂直于垂直于yoz面，面，所以所以0)(2 kdydzyzx)6 , 5 , 4 , 3( kyzdzyx ),(, 0:1yzdzyax ),(,:2czbydyz 0 ,0:后侧后侧前侧前侧 1)(2

9、dydzyzx yzddydzyz)0( cbzdzydy00422cb 2)(2dydzyzx yzddydzyza)(2 cbdzyzady020)(4222cbbca 所以所以 dydzyzx)(2 61kk422cb 4222cbbca bca2 同理同理 dzdxxzy)(2cab2 dxdyxyz)(22abc 原式原式)(cbaabc xzyo1 例例2 计算曲面积分计算曲面积分. xyzdxdy其中其中 为球面为球面, 1222 zyx0, 0 yx部分外侧。部分外侧。解解21 xydyxyxz ),( ,1:221上侧上侧xydyxyxz ),( ,1:222下侧下侧0, 0

10、, 1:22 yxyxdxy1xyzdxdy xyddxdyyxxy221 xyddd 231sincos2 1023201sincos dd152 2xyzdxdy xyddxdyyxxy)1(22 xyddd 231sincos152 xyzdxdy 1xyzdxdy 2xyzdxdy 154152152 2 xyz1 o3 例例3 计算曲面积分计算曲面积分. dxdyez其中其中 为由圆锥面为由圆锥面22yxz 与与, 1 z2 z所围物体的表面外侧。所围物体的表面外侧。解解321 4, 2:221 yxz上侧上侧1, 1:222 yxz下侧下侧, 41,:22223 yxyxz下侧下侧

11、 1dxdyez 422yxdxdye224 e 2dxdyez 122yxdxdye1e 3dxdyez 4122yxdxdyeyx22 4122yxdde 2021ded22 e dxdyez 32124 e e 22 e ee 22三三 两类曲面积分的关系两类曲面积分的关系ni 1 zyiiiisp)(,( xziiiisq)(,( yxrxzqzypddddddyxiiiisr)(,( 0lim 0lim ni 1 iiiip cos),(iiiiq cos),( iiiir cos),( is srqpdcoscoscos 曲面的方向用法向量的方向余弦刻画曲面的方向用法向量的方向余弦

12、刻画令令 yxrxzqzypdddddd srqpdcoscoscos sand向量形式向量形式,rqpa cos,cos,cos ndd,dd,ddddyxxzzysns sa dnaan snad( a 在在 n 上的投影上的投影), zdxdyydzdxxdydz 222 zyx2222xyzz部分上侧。部分上侧。其中其中为为例例4 4 计算曲面积分计算曲面积分的位于的位于解解 上侧的法向量为上侧的法向量为,2 , 2, 1 方向余弦方向余弦31cos 32cos 32cos zdxdyydzdxxdydz dszyx)coscoscos( dszyx)22(31 ds32 32 xyz例例5 设设 ,1:22yxz 是其外法线与是其外法线与 z 轴正向轴正向夹成的锐角夹成的锐角, 计算计算.dcos2 szi 解解: szidcos2 yxzdd2 d)1(d21020 2 xydyxyxdd)1(22on xyz221cosyxx 例例6 计算曲面积分计算曲面积分其中其中 解解: 利用两类曲面积分的联系利用两类曲面积分的联系, 有有 zyxzdd)(2 )(2xzsdcos yxddcoscos 原式原式 =)( x )