第六节：平面及方程

1、第六节第六节 平面及其方程平面及其方程 一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程二、平面的一般方程 三、两平面的夹角三、两平面的夹角 四、小结四、小结xyzo 如果一非零向量垂直于一平面，如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的这向量就叫做该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：（1）垂直于平面内的任一向量）垂直于平面内的任一向量设设),(cban ),(0000zyxm又设平面上的任一点为又设平面上的任一点为),(zyxmnmm 0必有必有00 nmm一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程n（3）过空间一点能且只能作一个平面垂直于一已知向量）过空间

2、一点能且只能作一个平面垂直于一已知向量（2）与一已知法向量平行的任何非零向量均可作为）与一已知法向量平行的任何非零向量均可作为 平面的法向量。平面的法向量。 0mm ),(0000zzyyxxmm 0)()()(000 zzcyybxxa 平面上的点都满足上述方程，不在平面上平面上的点都满足上述方程，不在平面上的点都不满足上述方程，上述方程称为平面的的点都不满足上述方程，上述方程称为平面的点法式方程，平面称为方程的图形点法式方程，平面称为方程的图形其中法向量其中法向量),(cban 已知点已知点).,(0000zyxm设设),(cban ),(0000zyxm设平面上的任一点为设平面上的任一点

3、为),(zyxmnmm 0必有必有00 nmm0)()()(000 zzcyybxxa（2 2）反之）反之, ,若已知平面方程为若已知平面方程为结论结论： （1）已知平面的一个法向量）已知平面的一个法向量),(cban ).,(0000zyxm及平面内的一个点及平面内的一个点则该平面的点法式方程为则该平面的点法式方程为0 dczybax则则),(cban 就是该平面的一个法向量就是该平面的一个法向量0)(000 zcbyaxzcbyax,0 dzcbyax则则d 解解)6, 4, 3( ab)1, 3, 2( ac取取acabn ),1, 9,14( 所求平面方程为所求平面方程为, 0)4()

4、1(9)2(14 zyx化简得化简得. 015914 zyx132643 kji),1, 1, 1(1 n)12, 2, 3(2 n故可取故可取21nnn )5,15,10( 解：解：1n2nl,1nl ,2nl n,/ ln则则n设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为,1nn ,2nn 21nn1223111 kji)1, 3, 2(5 例例 2 2 求求过过点点)1 , 1 , 1(，且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和051223 zyx的的交交线线的的平平面面方方程程. , 0)1(1)1(3)1(2 zyx化简得化简得. 0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解：解：1n2

5、nln)5,15,10( 21nn1223111 kji)1, 3, 2(5 故可取故可取21nnn 由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzcyybxxa0)(000 czbyaxczbyaxd 0 dczbyax平面的一般方程平面的一般方程其中法向量为其中法向量为).,(cban 二、平面的一般方程二、平面的一般方程几种特殊情况：几种特殊情况：, 0)1( d平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( a, 0 d平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( ba平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情

6、形情形.0, 0 cbca类似地可讨论类似地可讨论 b=0,c=0 的情形的情形.0 dczbyax平面的一般方程平面的一般方程, 0 czbyax), 0(cbn ,轴轴x , 0, 0 da特特别别若若设平面方程为设平面方程为, 0 dczbyax由平面过原点知由平面过原点知, 0 d由由平平面面过过点点)2, 3, 6( 知知0236 cba),2 , 1, 4( n024 cba,32cba . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解),(cban 03232 czcyxc设平面方程为设平面方程为, 0 dczbyax将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0dcc

7、dbbdaa,ada ,bdb .cdc 解解, 0 dzcdybdxad. 1 czbyax平面的截平面的截距式方程距式方程1 czbyaxx轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距平面的截距式方程平面的截距式方程xyzop(a,0,0) q(0,b,0) r(0,0,c) 设平面方程为设平面方程为, 1 czbyaxxyzo, 1 v, 12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解p(a,0,0) q(0,b,0) r(0,0,c) ,61161cba 化简得化简得令令tcba 61

8、161设平面为设平面为, 1 czbyaxxyzo, 1 v, 12131 abc解解p(a,0,0) q(0,b,0) r(0,0,c) ,61161cba 令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 ,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程为所求平面方程为定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. ., 0:11111 dzcybxa, 0:22222 dzcybxa),(1111cban ),(2222cban 三、两平面的夹角三、两平

9、面的夹角 222222212121212121|coscbacbaccbbaa |cos1221nnnn |),cos(122121nnnnnn 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( ; 0212121 ccbbaa21)2( /.212121ccbbaa 222222212121212121|coscbacbaccbbaa 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式, 0:11111 dzcybxa, 0:22222 dzcybxa例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx01224, 0

10、12)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.601arccos ),1, 2 , 1(1 n),3 , 1 , 0(2 n例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)2(),1 , 1, 2(1 n),2, 2 , 4(2 n,212142 两平面平行两平面平行,)0 , 1 , 1(1 m两平面平行但不重合两平面平行但不

11、重合2)0 , 1 , 1( m但但例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)3(),1, 1, 2(1 n),2 , 2 , 4(2 n,212142 两平面平行两平面平行,)0 , 1 , 1(1 m两平面重合两平面重合2)0 , 1 , 1( m且且 ),(1111zyxp|,|0npd 1pnn0p 0101pr|ppjnnppn ),(10101001zzyyxxpp 解解|pr|01ppjdn |pr0101nnppppjn ne

12、pp 01 222222222,cbaccbabcbaaen),(cban 例例7 7 设设),(0000zyxp是是平平面面byax 0 dcz外外一一点点，求求0p到到平平面面的的距距离离. 1pnn0p 解解|pr|01ppjdn 222102221022210)()()(cbazzccbayybcbaxxa ),(10101001zzyyxxpp |pr|01ppjdn |pr0101nnppppjn nepp 01 222222222,cbaccbabcbaaen),(cban |01nepp 例例7 7 设设),(0000zyxp是是平平面面byax 0 dcz外外一一点点，求求0

13、p到到平平面面的的距距离离. 1pnn0p 解解222111000)(cbaczbyaxczbyaxd 0111 dczbyax.|222000cbadczbyaxd 点到平面距离公式点到平面距离公式,),(1111 zyxp3 例例8：求通过点：求通过点 a(3,0,0) 和和b(0,0,1) 且与且与xoy 面成面成解：解：),(cban abn 则则0 abn03 ca设所求平面的一个法向量为设所求平面的一个法向量为)1 , 0 , 3( ab又又xoy 面的一个法向量为面的一个法向量为),1 , 0 , 0( e3),( en|cosenen ,|222cbac 21|222 cbac

14、即即03222 cba的平面方程。的平面方程。3 例例8：求通过点：求通过点 a(3,0,0) 和和b(0,0,1) 且与且与xoy 面成面成 的平面方程。的平面方程。解：解：),(cban 设所求平面的一个法向量为设所求平面的一个法向量为)1 , 0 , 3( ab03 ca03222 cba abac263)3 ,26,(1aaan ),3 ,26, 1(a )3 ,26, 1(2 an由点法式得所求平面方程为由点法式得所求平面方程为, 0326)3(:1 zyx, 03326 zyx, 0326)3(:2 zyx, 03326 zyx平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）（

15、熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程. （注意两平面的（注意两平面的位置位置特征）特征）四、小结四、小结习题75: 1,3, 4, 6, 9 第七章作业第七章作业第六节：第六节：平面及其方程平面及其方程思考题思考题 若若平平面面02 zkyx与与平平面面032 zyx的的夹夹角角为为4 ，求求? k 解答解答,1)3(2)2(1|12)3(21|4cos222222 kk ,145|3|212 kk.270 k思考题思考题 若若平平面面02 zkyx与与平平面面032 zyx的

16、的夹夹角角为为4 ，求求? k 一、一、 填空题：填空题：1 1、 平面平面0 czbyax必通过必通过_， （其中（其中 cba,不全为零） ；不全为零） ；2 2、平面、平面0 dczby_x轴；轴；3 3、平面、平面0 czby_x轴；轴；4 4、通过点、通过点)1,0,3( 且与平面且与平面012573 zyx平平 行的平面方程为行的平面方程为 _ _；5 5、通过、通过),0,0()0,0()0,0,(cba、三点的平面方三点的平面方 _；6 6、 平平面面0522 zyx与与xoy面面的的夹夹角角余余弦弦为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，与与yoz面面的的夹夹

17、角角余余弦弦为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _， 与与zox面面的的夹夹角角的的余余弦弦为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 练练 习习 题题二、二、 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面： 1 1、 0632 yx； 2 2、 1 zy； 3 3、 056 zyx. . 三、三、 求过点求过点)2,2,2( ,)1,1,1( 和和)2,1,1( 三点三点的的 平面方程平面方程 . . 四、四、 点点)1,0,1( 且平行于向量且平行于向量 1,1,2 a和和 0,1,1 b的平面方程的平面方程 . . 五五、 求求通通过过z轴轴和和点点)2,1,3( 的的平平面面方方程程 . . 六六、 求求 与与 已已 知知 平平 面面0522 zyx平平 行行 且且 与与三三坐坐标标面面所所构构成成的