高一数学解三角形知识点总结及习题练习

1、学习必备精品知识点解三角形一、基础知识梳理a=bc=2R（ R 为 ABC 外接圆半径），了解正弦定理以1 正弦定理：=下变形：sin Asin B sin Ca 2Rsin A,b2R sin B, c2Rsin Csin Aa , sin Bb , sin Cc2R2R2Ra : b : csin A : sin B : sin Cabca bcsin Asin Bsin C sin Asin Bsin C最常用三角形面积公式：11ab sin C11S ABCahaacsin Bbcsin A22222 正弦定理可解决两类问题：1两角和任意一边，求其它两边和一角；（唯一解）2两边和其中一

2、边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（解可能不唯一）了解：已知 a, b 和 A, 用正弦定理求B 时的各种情况 :3 余弦定理 ： a 2b2c22bc cos AcosAb2c2a 22bcc2a2b2b2c2a22ac cosBcosB2caa2b2c2c2a2b22ab cosCcosC2ab4 余弦定理可以解决的问题：（1）已知三边，求三个角； （解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角（解可能不唯一）学习必备精品知识点2 课前热身 1 (教材习题改编 )已知 ABC 中， a 2， b3，

3、B 60°，那么角 A 等于 ()A 135 °B 90°C 45°D 30°2在 ABC中， a2b2c2bc ，则 A 等于 ()A60° B 45° C 120° D 30°3在 ABC 中，若 A 120 °，AB 5， BC 7，则 ABC 的面积是 ()33153153153A.4B. 2C. 4D.84 (2010 年高考广东卷 )已知 a，b，c 分别是 ABC的三个内角 A，B，C 所对的边， 若 a 1，b 3， A C 2B，则 sinA _.55在 ABC中，如果A 60

4、°， c2， a6，则 ABC的形状是 _3 考点突破 考点一正弦定理的应用利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角； 二是已知两边和一边的对角，求其他边角例 1、(1)(2010 年高考山东卷)在 ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别为a，b，c.若 a2，b 2， sin B cos B2，则角 A 的大小为 _(2)满足 A45°， a2， c6的 ABC的个数为 _考点二余弦定理的应用利用余弦定理可解两类三角形：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角； 二是已知三边求其他边角由于这两种情况下的三角形是惟一确定的，所以其解也是惟一的例

5、 2、在 ABC 中，内角 A，B， C 对边的边长分别是a， b， c，已知(1) 若 ABC 的面积等于3，求 a，b 的值；(2)若 sinB 2sinA，求 ABC的面积c2， C 3.考点三三角形形状的判定判断三角形的形状， 应围绕三角形的边角关系进行思考， 主要看其是否是正三角形、 等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别学习必备精品知识点例 3、(2010 年高考辽宁卷 ) 在 ABC中， a，b， c 分别为内角A， B， C 的对边，且2asin A (2b c)sin B (2c b)sin C.(1)

6、求 A 的大小；(2) 若 sinB sinC 1，试判断 ABC的形状互动探究1若本例条件变为：sinC 2sin(B C)cosB，试判断三角形的形状方法感悟 :方法技巧解三角形常见题型及求解方法(1) 已知两角 A、B 与一边 a，由 AB C 180 °及 a b c ，可求出角 C，再求出 b， sinA sinB sinCc.(2) 已知两边 b， c 与其夹角 A，由 a2b2c2 2bccosA, 求出 a，再由正弦定理，求出角B，C.(3)已知三边 a、 b、 c，由余弦定理可求出角A、 B、 C.(4)已知两边 a、 b 及其中一边的对角a b 求出另一边 b 的

7、对角 B，由 CA，由正弦定理 sinAsinB (A B)，求出 C，再由 a c ，求出 c，而通过a b 求 B 时，可能出现一解，sinAsinCsinAsinB两解或无解的情况，其判断方法如下表：失误防范1用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解2要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；三角形的内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sinABC cos2(B C)sin(B C)，cosA cos(B C)，sinA cos，sin2A sin2(B C)，cos2A22学习必备精品知识点等3对三角

8、形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”五、规范解答(本题满分 12 分 )(2010 年高考大纲全国卷)在 ABC中， D 为边 BC上的一点， BD5333， sinB 13， cos ADC5，求 AD 的长【解】由 cosADC 3>0 知B< ，52由已知得 cosB 12， sinADC 4， 4 分135从而 sinBAD sin( ADC B) sin ADC cosB cosADC sinB4123533分× ×.951351365ADBD由正弦定理得，5所以 AD BD·sinB 33× 13 25.12

9、 分sinBAD3365【名师点评】 本题主要考查正弦定理、 三角恒等变换在解三角形中的应用，同时，对逻辑推理能力及运算求解能力进行了考查本题从所处位置及解答过程来看，难度在中档以下，只要能分析清各量的关系，此题一般不失分出错的原因主要是计算问题名师预测1在 ABC 中， a15， b10， A 60°，则 cosB ()A 22B.223366C 3D. 32已知 ABC中，角 A、B、C 的对边分别为 a2 b2 c2，那么角 C _.a、b、c，且 SABC43在 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为a、 b、 c，且满足 (2b c) ·cosA acosC

10、 0.(1) 求角 A 的大小；(2)若 a3， SABC 3 4 3，试判断 ABC的形状，并说明理由解： (1) 法一：(2b c)cosA acosC 0，由正弦定理得，(2sinB sinC)cosA sinAcosC 0，2sinBcosA sin(A C) 0，即 sinB(2cosA 1) 0. 0<B<，1sinB0，cosA 2.0<A<， A 3.学习必备精品知识点法二：(2b c)cosA acosC 0，由余弦定理得，b2 c2 a2a2 b2 c2(2bc) · 2bc a·2ab 0，整理得 b2 c2 a2 bc，cos

11、Ab2 c2a212bc .20<A<， A3.3 3(2) SABC 2bcsinA 4 ，1 33，即 bcsin23bc 3，222a b c 2bccosA，由得 b c3， ABC为等边三角形课后作业1在 ABC中，角 A, B 均为锐角，且 cos Asin B, 则 ABC的形状是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2边长为 5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A. 900B. 1200C. 1350D.15003在 Rt ABC 中， C900 ，则 sin Asin B 的最大值是 _.4在 ABC中，若 a2b 2bcc 2 ,则 A_.5已知 ABC 的三个内角分别为A， B，C，向量 m(sin B,1 cos B)与向量 n( 2,0) 夹角的余弦角为1 .2（）求角B 的大小；（）求 sin Asin C 的取值范围 .学习必