空间向量数量积一[]

1、（一）数量积的定义（一）数量积的定义（1）空间向量的夹角空间向量的夹角已知两个非零向量 ，在空间中任取一点o，作b, a,b, abaaob,bob, aoa 记作记作的夹角，的夹角，与与叫做向量叫做向量则则。互相垂直，记作则称若bababaabbaba,2,) 3(;,)2(;,0) 1 (（2）、数量积的定义数量积的定义：零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0，即即，的的数数量量积积，记记作作，叫叫做做，则则，已已知知两两个个非非零零向向量量 bacosbababababacosba,ba2aa,acosaaaa ：(3)(3)数量积的运算律分分配配律律交交换换律律数数乘乘

2、结结合合律律.caba)cb(a;abba);ba(b)a( 是不是一定成立？对向量运算？即向量能不能进行除法，能不能写成若？能不能得到）由评注：（)()( ,) 3(,)2(,1cbacbacbabkakbacbcaba不能不能不能不能不一定不一定.acgf)3( ;dbad)2( ;acab)1(dcadabgfeaabcd1 求求：的的中中点点，、分分别别是是、点点，于于的的每每条条边边和和对对角角线线都都等等、已已知知空空间间四四边边形形例例egabcdf、大大小小不不能能确确定定，、的的中中点点，那那么么（）是是，各各边边及及对对角角线线长长均均为为、空空间间四四边边形形练练习习：d

3、cdaebcaeccdaebcaeb,cdaebcaeabce1abcd1 _;bdcaadbccdababcd2 ，则，则、已知空间四边形、已知空间四边形、不不确确定定、钝钝角角三三角角形形，、锐锐角角三三角角形形、直直角角三三角角形形，是是（）则则足足是是空空间间不不共共面面四四点点且且满满、设设dcbabcd, 0adab, 0adac, 0acabdcba3 一、夹角与距离一、夹角与距离；：两两个个向向量量的的夹夹角角的的余余弦弦则则空空间间中中由由数数量量积积的的定定义义bababacos,bacosbaba)1( ;2aaaa)2( .ca2cb2ba22c2b2a2)cba(cb

4、a;2bba22a2)ba(ba 一一般般常常用用的的：所成角的余弦值所成角的余弦值与与）求异面直线）求异面直线（的长的长）求）求（）求证：）求证：（的中点的中点、分别是分别是，点，点的长都等于的长都等于的每条边和对角线的每条边和对角线、如图，空间四边形、如图，空间四边形例例cmanmncdmnabmncdabnmaabcd32,1,3 abcdmn所所成成角角的的余余弦弦。与与的的中中点点，求求、分分别别是是、，各各边边及及对对角角线线长长都都相相等等：已已知知空空间间四四边边形形例例cfaeadbcfeabcd2abcdfe的的距距离离。、，求求。成成与与折折起起，使使将将它它沿沿对对角角

5、线线，。中中，、如如图图，在在平平行行四四边边形形例例db60cdabac90acd, 1acababcd2 bacd图一dabc图二二、垂直问题二、垂直问题例例1 1、在平面内一条直线与这个平面的一条斜线的射影、在平面内一条直线与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。垂直，那么它也与这条斜线垂直。已知，如图，po、pa分别是平面 内的垂线、斜线， ao是pa在平面 内的射影， 且loa， 求证：l pa. l poal.,2 lnlmlnm求证：求证：如果如果内的两条相交直线，内的两条相交直线，是平面是平面、如图，、如图，例例glmn .,3bcogmngbcoanmocoboaaocbocaoboabc 中点，求证：中点，求证：的的是是的中点，的中点，、分别是分别是、且且中，中，、已知空间四边形、已知空间四边形例例oabcmng.111111pac