高一三角函数总复习资料下学期

1、三角函数1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。x 轴的非负2、象限角的概念 ：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。3. 终边相同的角的表示 ：（ 1）终边与终边相同 (的终边在终边所在射线上 )2k (kZ)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. 如与角1825的终边

2、相同，且绝对值最小的角的度数是，合弧度。（答：25 ；5）（ 2）终边共线 (终边所在直线上 )36k ( kZ ) .终边与的终边在（ 3）终边与终边关于 x 轴对称2k( k Z ) .（ 4）终边与终边关于 y 轴对称2k(kZ ) .（ 5）终边与x终边关于原点对称2k(kZ ) .6终边在轴上的角可表示为：k,k Z ；终边在 y 轴上的角可表示为：（ ）k, kZ ； 终边在坐标轴上的角可表示为：k, kZ . 如的终边与的226终边关于直线yx 对称，则_ 。（答：2k3, kZ ）4、与的终边关系 ：由“两等分各象限、一二三四”确定. 如若是第二象限角，2则是第 _象限角（答：

3、一、三）21 lR1 |5. 弧长公式 ： l| | R ，扇形面积公式： S| R2 ，1 弧度 (1rad)57.3 .22如已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。 （答： 2 cm2 ）6、任意角的三角函数的定义 ：设 是任意一个角， P ( x, y) 是 的终边上的任意一点 （异于 原 点 ）， 它 与 原 点 的 距 离 是 rx2y20，那么tany , x0 ,三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点x的终边经过点 P(5， 12)，则 sincos 的如已知角7值为。（答：）；137. 三角函数线的特征 是：正弦线 MP“站在 x 轴

4、上 ( 起点在 x轴上 ) ”、余弦线 OM“躺在 x 轴上 ( 起点是原点 ) ”、正切线 AT“站在点 A(1,0) 处 ( 起点是 A ) ” . 三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式 。siny ,cosx ，rrP 的位置无关。yTBSPOMAx如（ 1）若，则 sin ,cos ,tan的大小关系为42_( 答： sincostan ) ；（ 2）若为锐角， 则,sin, tan的大小关系为_ （答： sintan）；8. 特殊角的三角函数值 ：30°45°60°0°90°180°270°si

5、n123222cos321222tan3133cot31330101101000009.同角三角函数的基本关系式：（ 1） sin2cos21,（ 2） tansin.cos同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。 在运用平方关系解题时， 要根据已知角的范围和三角函数的取值， 尽可能地压缩角的范围， 以便进行定号； 在具体求三角函数值时， 一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如 （ 1）已知（ 2）已知sinm3，cos42m () ，则 ant _（答：5）；m5

6、m5 212tan11，则 sin3cos _；tansincossin 2sincos2 _（答：5；13 ）；35（3）已知 sin 200a ，则 tan160等于A 、aa2B 、aC、1a 2D、1aa 2（答： B ）；。11 a2a10. 三角函数诱导公式（k）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指 k 取奇数或2看成是锐角） . 诱导公式的应用是求任意角的偶数），符号看象限（看原函数，同时可把三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+, 02； (2)转化为锐角三角函数。如（ 1） cos 9tan(7) sin 21的值为 _（答：23）；464 ，则 cos(23

7、（ 2）已知 sin(540)270 )_，若为第二象限角，5则sin(180)cos(360 ) 243）tan(180)_。（答：5；100（ 3）已知 f (cos x)cos3x ，则f(sin 30 )的值为（答： 1）_11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincoscos sin令sin 22sincoscoscoscossin sin令cos2cos2sin22cos211 2sin 2tantantancos21+cos21tantan2sin 21cos22 tan2tan21tan21 的是如（ 1）下列各式中，值为2A 、 sin15 cos15B、

8、 cos2sin21212C、tan 22.5D 、1cos30（答： C）12.1tan2 22.52三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有 : 巧变角 （已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()， 2()() ，2()() ，22，222等） .如（ 1）已知 tan()2，tan()1，那么 tan(4) 的值是 _（答：3 ）；5441222（2

9、）已知 0，且 cos(， sin()22)，923求 c o s (的)值（答： 490 ）；729（ 3）已知 sin()coscos()sin3，那么 cos 2的值为（ 答：7）；525 三角函数名互化 ( 切割化弦 ) ，如求值 sin50 (13 tan10 ) （答： 1）； 公式变形使用 （ tantantan1tantan。如已知 A、B 为锐角，且满足 tan A tan Btan Atan B1，则 cos( AB) _ （答：2）；2 三角函数次数的降升( 降幂公式： cos21cos2， sin 21cos 2与升幂2cos 22sin 222公式： 1 cos2，

10、1cos2) 。如(1) 若( ,3) ，化简1111 cos2 为 _（答： sin）；222222（ 2）函数 f ( x)5 sin xcos x5 3 cos2 x53( xR ) 的单调递增区间为2_（答： k,k5( kZ ) ）1212常值变换主要指“1”的变换 （ 1 sin 2xcos2 xtansin等），42如已知 tan2，求 sin2sin cos3cos2（答：3 ） .513、辅助角公式中辅助角的确定： a sin xb cos xa2b2 sinx(其中角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由 tanb确定 )在求最值、化简时起着重要作用。a如若方程 si

11、n x3cosxc 有实数解，则 c 的取值范围是 _.（答： 2,2 ）；14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数 ysin x 和余弦函数 ycos x 图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，2, , 3 ,2 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，2就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。15、正弦函数 ysin x( xR) 、余弦函数 ycos x(xR) 的性质 ： 定义域 ：都是 R。 值域 ：都是1,1 ，对 ysin x ，当 x2k2kZ时， y 取最大值1；当x 2k3kZ 时， y 取最小值 1；对 ycos x ，当 x2kk Z时， y 取最2大值 1，

12、当 x2kkZ时， y 取最小值 1。如（ 1）若函数 yab sin(3x) 的最大值为3 ，最小值为1，则 a_， b622（答： a1 ,b1或 b1）；2（ 2）函数 f (x)sin x3 cosx （ x2, ）的值域是 _（答： 1, 2 ）；2（ 3）函数f (x)2cos x sin( x)3 sin2xsin x cos x 的最小值是，此时x_3 _ （答： 2； k12(kZ)）。 周期性 ： ysin x 、 ycos x 的最小正周期都是2； f ( x)Asin(x) 和f ( x) Acos(x) 的最小正周期都是 T2。|如 (1)若 f (x)sin x ，

13、则 f (1)f (2)f(3)f (2007) _（答：3）；3sin4(2)函数 f ( x)cos4 x2sin x cos xx 的最小正周期为 _（答：）； 奇偶性与对称性：正弦函数 ysin x(xR) 是奇函数， 对称中心是 k,0kZ，对称轴是直线xk2kZ；余弦函数ycos x (x R )是偶函数，对称中心是k,0 kZ，对称轴是直线 x kkZ （正 (余 )弦型函数的对称轴为过最高点2x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。或最低点且垂直于如（ 1） 函数 ysin52x的奇偶性是_（答：偶函数） ；2（ 2 ）已知函数3f ( x ) a x b si n1 x

14、( a , bf ( 5 ) 7， 则为常数），且f ( 5 )_（答： 5）；（ 3） 函数 y2cosx(sin x cos x) 的图象的对称中心和对称轴分别是_ 、k,1)( kZ )k( kZ )）；_ （答： (8、 x228（ 5 ） 单 调 性 ： ysin x在 2k,2 kk Z上单调递增，在222k,2 k3kZ单调递减； ycos x 在 2k ,2 kkZ 上单调递减，22在 2k,2 k2kZ上单调递增。 特别提醒 ，别忘了 kZ ！16、形如 yA sin(x) 的函数：1频率；x相位；初相；（ 1）几个物理量 ： A 振幅； fT（ 2）函数 yAsin(x)

15、表达式的确定 ：A 由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如f ( x) A sin( x)( A0,0，| |) 的图象如图所示， 则2sin( 15 x2f ( x) _（答： f (x) ）；23（ 3）函数 yAsin(x) 图象的画法 ：“五点法”设Y23 29X-223题 图X x，令 X 0，,3,2求出相应的 x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象； 图象变换法：22这是作函数简图常用方法。（ 4）函数 yA sin(x)k 的图象与 ysin x 图象间的关系 ：函数 ysin x 的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移 |个单位得 y

16、sin x的图象；函数ysin x图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1 ，得到函数y sinx的图象；函数ysin x图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数yA sin(x) 的图象；函数yA sin(x) 图象的横坐标不变，纵坐标向上（ k0）或向下（k0），得到 yA sinxk 的图象。要 特别注意 ，若由 ysinx得到 ysinx的图象，则向左或向右平移应平移| | 个单位，如（ 1） 函数 y2sin(2 x)1 的图象经过怎样的变换才能得到ysin x 的图象？4（答： y2sin(2 x)1向上平移1 个单位得 y 2sin(2 x) 的图象，再向左平移448个单位

17、得 y 2sin2x 的图象，横坐标扩大到原来的2 倍得 y2sin x 的图象，最后将纵坐标缩小到原来的1即得 ysin x 的图象）；2y cos( xsin x 的图象向 _平移 _(2)要得到函数) 的图象，只需把函数y242个单位（答：左；）；2（ 5）研究函数 yA sin(x) 性质的方法：类比于研究ysin x 的性质 ，只需将yA sin(x) 中的 x看成 ysin x 中的 x ，但在 求 yA sin( x) 的单调区间时，要特别注意A 和的符号，通过诱导公式先将化正。如 （1 ）函 数ys i 2n(x的 递 ) 减 区 间 是 _（答 ：53 k,k(kZ)）；12

18、12（ 2）y log 1 cos( x4)的递减区间是_（答：23 6k3,6k3( kZ)）；442（ 3）设函数 f ( x)A sin(x)( A0,0,) 的图象关于直线x对232称，它的周期是，则1)B 、 f52 上是减函数A 、 f (x)的图象过点 (0,( x) 在区间 ,25123C、fx 的图象的一个对称中心是D、 f ( x) 的最大值是 A （答： C）；(,0)( )12（ 4）对于函数 fx2sin2x3给出下列结论：图象关于原点成中心对称；图象关于直线 x成轴对称；图象可由函数y2sin 2x 的图像向左平移个单位得123到；图像向左平移个单位，即得到函数y2

19、cos 2x 的图像。其中正确结论是_12（答：）；（ 5）已知函数 f ( x)2sin(x) 图象与直线 y1的交点中，距离最近两点间的距离为，那么此函数的周期是 _（答：）3ytan x 的图象和性质 ：17、正切函数（ 1）定义域： x | x2k, kZ 。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？（ 2）值域是 R，在上面定义域上无最大值也无最小值；（ 3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线 ya 的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、 切不变 既为周期函数又是偶函数的函

20、数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。如 ysin 2 x, y sin x 的周期都是, 但 ysin xcosx 的周期为，而 y| 2sin(3 x)1|, y| 2sin(3 x)2 |， y| tan x |的周2626期不变；（ 4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是k,0 kZ，特别提醒 ：正 (余 )2切型函数的对称中心有两类： 一类是图象与 x 轴的交点， 另一类是渐近线与 x 轴的交点， 但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。（ 5）单调性：正切函数在开区间k,kkZ内都是增函数。但要注22意在整个定义域上不具有单调性。18. 三角形中的有关公式 ：(1) 内角

21、和定理 ：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！ 任意两角和 与第三个角总互补， 任意两半角和 与第三个角的半角总互余 . 锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方 .(2) 正弦定理 ： abc2Rsin Asin BsinC( R 为三角形外接圆的半径 ).注 意 ：正弦定理的一些 变 式 ： i a b csin A sin B sin Ca,sin Bbc； iii a 2R sin A,b2Rsin B,b 2Rsin Cii sin A,sin C2R2R2R；已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.(3) 余弦定理 ： a2b2c22bc cosA,cos A b2c2a2等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状 .2bc(4) 面积公式