概率论与数理统计王明慈第二版第3章随机变量的数字特征25节

1、11/14/20211 它反映随机变量取值的平均水平，是随机变量的它反映随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征一个重要的数字特征. .复习复习: 数学期望数学期望1,kkkexx px离散型( ),x f x dxxex连续型1(), ()( ) ( ),kkkg xpxeye g xg x f x dxx离散型连续型11/14/20212基本内容：基本内容： 一、方差的定义一、方差的定义 二、方差的性质二、方差的性质第二节第二节 方差方差11/14/20213一、方差一、方差 (variance)1. 1. 问题的导入问题的导入x 8 9 10p 0.1 0.8 0.1 y

2、8 9 10 p 0.4 0.2 0.4引例引例 比较甲乙两个射手的射击水平分析分析31()8 0.19 0.810 0.1iiie xx p 31( )8 0.49 0.210 0.4iiie yx p 9.0乙9.0甲但是乙射手的波动性较大, 不够稳定.11/14/20214为了数学上的方便，如何描述这种差异呢？如何描述这种差异呢？2()iiixe xpp(x=xi)=pi ( i=1,2, )其平均射击水平为e(x)， 则他每次射击的波动性为或 | xi - e(x) |以 xi-e(x) 2 代替 | xi-e(x) |则该射手的平均射击波动为2)(xexexi - e(x)设某射手击

3、中的环数为随机变量x，其分布律为11/14/202152.2.方差方差 (variance 或或 dispersion).xexexd2)()()(xd(),x 定义定义. 设x是一随机变量，则称ex-e(x)2称为x的方差方差记作d(x)即方差的算术平方根称为 x 的标准差标准差，记作即).()()()(2xxdxdx或若exe(x)2存在，2()x或11/14/20216注注: :(2) 方差d(x) 用来体现随机变量x取值分散的程度,反映了x偏离其数学期望e(x)的程度.(3) 如果d(x)值越大(小小)， 表示x取值越分散(集中集中),以e(x)作为随机变量x的代表性越差（好好）.0

4、;(1) 由定义知，d(x)=ex-e(x)22()()d xe xe x方方差差11/14/202173.3. 方差的计算方差的计算 iiipxexxd2)()(, 2 , 1,)(ipxxpxii的分布列为其中dxxfxexxd)()()(2(1)利用随机变量函数的数学期望公式离散随机变量的方差连续随机变量的方差).(的概率密度为其中xfx11/14/20218(2)(2)利用方差公式利用方差公式.22)()()(xexexd)(xd)(2xexe且且e(x2)也存在也存在, 则则由于由于)()(222xexxexe22)()()(2)(xexexexe.)()(22xexe定理：定理：设

5、随机变量设随机变量x的数学期望的数学期望e(x)存在，存在，11/14/20219),(px解解: :,)(xe) 1( . .例例1.1. 若若)(2xe02!kkekk12!kkekk求求d(x).11)!1(kkkke01!) 1(mmkmmme!00mmmmmeemm)(xd22)()(xexe2) 1(已求得已求得=e(x),其中其中xp( )11/14/202110已求得,2)(baxe.322baba.12)(2ab例例2.2.若xu (a, b), 求d(x).)(2xedxabxba12)(xd解:22)()(xexe222)2(3bababa11/14/202111),(e

6、x解解: :,1)(xe22.21例例3.3. 若)(2xedxexx02dtettxt0221求d(x).已求得tdet0221)2(10022dte tettt)(xd22)()(xexe2212=e(x),其中xe( 1)11/14/202112补充：01)(dxexx函数：函数有下列结论);() 1() 1 (; !1)(2)nn.)21(, 1)2() 1 () 3(),(ex例例)(2xedtettxt0221求d(x).2222)2(21)3(111/14/202113；为常量ccd, 0)() 1 (；为常量则存在,若cxdccxdxd),()()()2(2二、方差的性质二、方

7、差的性质)(cd)(2xece2cce证证:. 0证证:)(cxd)(2cxecxe)(2xcecxe)(22xexce)(22xexec).(2xdc11/14/202114则存在与且相互独立与若，)()() 3(ydxdyx. )()()(ydxdyxd证证:22)()()(yxeyxeyxd222)()(2yexeyxyxe)()(2)()()()()(2)(2222yexeyexeyeyexexe)()()()(2222yeyexexe).()(ydxd11/14/202115故故 dxi = exi 2 -(-(exi ) )2 exi =1p + 0(1- -p ) = p,且且

8、exi2 = p,则则 是是n 次试验中次试验中a出现的次数出现的次数， 1niixx= p p 2 = p (1 - -p) = p q， i=1, 2, n因因 x1, , xn 相互独立，相互独立，1niidxdx= np q. 显然显然 p( (xi=1) )= p, , p( (xi=0) )=1- -p, , = n p; 1niiexex求方差求方差d(x).解解: :例例4.4. 设设x服从二项分布服从二项分布b(n, ,p),),), 2 , 1(., 0, 1nixi不不出出现现a a次次试试验验中中i i在在第第出出现现a a次次试试验验中中i i在在第第；设设xi为第为

9、第i次试验中事件次试验中事件a出现的次数，即出现的次数，即11/14/202116u( (a, b) ) e(e( ) ) 其其它它,0;,1)(bxaabxfp( ( ) ) 2a b2()12b a!)(kekxpk 121b( (n, p) ) ( (01) ) p pq np npqkkqpkxp1)(knknkqpckxp )(1,10,1 , 0qppk1, 10, 1 , 0qppnk, 1 , 0,0k,0;( )0,0.xexf xx 常用随机变量的期望与方差常用随机变量的期望与方差分布分布分布列或密度函数分布列或密度函数期望期望方差方差11/14/202117例例5.5.已

10、知随机变量x的数学期望e(x)与设随机变量)()(2xxd, 0)(x.xxexx*)()(试证.xdxe*1)(0,)(*证：证：. 1(标准化的随机变量标准化的随机变量)(*xe)()(xxexe)()(xxexe都存在, 且)()()(xxexe)(*xd)()(xxexd)()(2xxexd)()(xdxd. 011/14/202118n 次随机取值的平均值的期望不变次随机取值的平均值的期望不变), 1(,2nidxexii 令令,11niixnx求求.,xdxe解解 )1(1niixnexe)(11niixenniiexn11; )1(1niixndxd)(112niixdn.121

11、2ndxnnii 取多次测量均值的理论依据取多次测量均值的理论依据但偏差比任一次取值的偏差缩小了但偏差比任一次取值的偏差缩小了n 倍倍若被测物的真值为若被测物的真值为, ,n 次重复测量可认为是互不影响的次重复测量可认为是互不影响的, ,且每次测量的结果且每次测量的结果 xi 都在真值都在真值的附近波动的附近波动 (1)(1)(2)(2)(1)(1)表明表明 n 次测量的算术平均值仍在真值次测量的算术平均值仍在真值附近取值附近取值, ,(2)(2)则表明则表明 更加接近真值更加接近真值, , x且且 n 越大越大, ,接近程度就越好接近程度就越好. 例例6 6设设x1,x2,xn相互独立相互独

12、立, , 在对误差要求较高的精密测量中在对误差要求较高的精密测量中 11/14/202119则为常量,相互独立,若n2c,c,121,) 3(cxxxn. )()(121niiiniiixdcxcd(4) 对于任意实数cr，有 （书书p93. 8p93. 8题题）e ( x-c )2d( x )当且仅当c = e(x)时, e ( x-c )2取得最小值d(x).11/14/202120求证求证2)cexexxe)(2)()(22cexexxecexeexxe22)()(cexexxe2)()(cexxd)(xd2)(cxe当且仅当c = e(x)时, e ( x-c )2取得最小值d(x).

13、e ( x-c )2d( x )证：证：11/14/202121对于任意的正数对于任意的正数设设x的数学期望的数学期望 e(x) 与方差与方差d(x) 存在存在, ，有有()p | x - e x | 2().d x(5) (切比雪夫不等式切比雪夫不等式):证：证： ()()x e xp xe xf x dx 22()()x e xxe xf x dx 221()xe xf x dx仅选择连续随机变量的情形来证明仅选择连续随机变量的情形来证明.设随机变量设随机变量x的密度函数为的密度函数为f (x),则有则有2)(xd11/14/202122(|- ( )|)px e x(|- ( )|)px

14、 e x注: (1)它给出了在x的分布未知的情况下，估计的方法；(2)说明了方差d(x)的确刻画了x对e(x)偏离程度,2()1,d x 由可知: d(x)越小(即x偏离e(x)程度越小),(|- ()|)px e x越大，(表明x取值越集中在e(x)的附近)；(3) 它是大数定律的理论基础.()p | x - e x | 12()d x 另一形式：另一形式：11/14/202123例例10.10.22()7300,()700e xd x(52009400)px(5200 7300( ) 9400 7300)px e x已知正常男性成人每毫升血液中白细胞数平均已知正常男性成人每毫升血液中白细胞

15、数平均7300, 标准差标准差700, 利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数在在52009400之间的概率之间的概率. (p94.19题题)解：解：设设x表示每毫升血液中白细胞数，依题意得表示每毫升血液中白细胞数，依题意得( 2100()2100)pxe x()2100)p xe x2()()1-d xp | x - e x | 2()12100d x 2181 ( ).39 2270012100 8(52009400).9px即11/14/202124若若 存在，称它为存在，称它为x的的k阶阶中心矩中心矩.第三节第三节 原点矩与中心矩原点矩与中

16、心矩定义定义. 设设x是随机变量，若是随机变量，若 存在，存在，称它为称它为x的的k阶原点矩阶原点矩.ke xk =(),1, 2,1,2,ke xe xk( ) ,k=2, ex-e(x)2为方差.特别地，k=1, ex-e(x)=0. .e xd xe x22()()()特别地，k=1,e(x)为数学期望.k=2,e(x2)为2阶原点矩,其计算公式11/14/202125定义定义. .随机变量随机变量x与与y的函数的函数 x-e(x)y- -e( (y)cov x,yexe xye y()()( ).的数学期望存在，的数学期望存在， 则称其为则称其为x与与y的的协方差协方差,cov (x,

17、 y), 即即记作记作第第4 4节节 协方差和相关系数协方差和相关系数exe xye y()( ) = 0若两个随机变量若两个随机变量x和和y是相互独立的，则是相互独立的，则意味着当意味着当 时时, x和和y不独立。不独立。exe xye y()( )011/14/202126协方差的简便计算方法：协方差的简便计算方法：)()(yeyxexe.yexexye)()()()(x,ycov)()()()(yexexyeyxexye定义：若定义：若x与与y的协方差的协方差cov(x,y)=0，即，即e(xy)-e(x)e(y)=0则称则称x与与y不相关不相关 .11/14/202127若若x与与y相

18、互独立，则相互独立，则x与与y一定不相关一定不相关;分析分析: : 若若x与与y相互相互独立独立)()()(),cov(yexexyeyx两个随机变量独立与不相关的关系两个随机变量独立与不相关的关系不一定成立不一定成立. .x与与y不相关不相关.反之反之,x与与y不相关不相关 cov(x,y)=0. 0)()()()(yexeyexe若若x与与y不相关，则不相关，则0)()()(),cov(yexexyeyx)()()(yexexye11/14/202128协方差的性质（1）cov(x,y)=cov(y,x);（2）cov(x,c)=0; cov(x,x)=d(x);（3）cov(ax,by)

19、=abcov(x,y) ，a，b为常数（4）cov(x+y,z)=cov(x,z)+cov(y,z);（5）()()( )2cov(, )d xyd xd yx y11/14/202129相关系数相关系数 correlation coefficientu定义定义 设随机变量设随机变量x与与y的数学期望与方差都存在，则将的数学期望与方差都存在，则将x与与y标准化得到的随机变量标准化得到的随机变量的协方差的协方差cov(x*,y*)称为称为x与与y的的相关系数相关系数，记作，记作r(x,y)，即即 r(x,y)= cov(x*,y*).*()( ) ()( )xe xye yxyxy与11/14/

20、202130相关系数相关系数 correlation coefficient 因为因为e(x*)=0, e(y*)=0, 所以所以 其实这也是相关系数的另一种定义。其实这也是相关系数的另一种定义。*()( )(, )(,)()( )()( ) () ( )cov(, ) () ( )xe xye yr x ye x yexyexe xye yxyx yxy11/14/202131则对于任意的正数1. 1. 切比雪夫定理切比雪夫定理，定理：定理：设独立随机变量序列x1, x2, , x n ,的数学期望 e(x1), e(x2), , e(x n), ,d(x1), d(x2), , d(x n

21、), 都存在，与方差并且方差是一致有上界的, 即存在常数c, 使得d (xi) c, i=1,2,n,有11()1nniini=1i=1lim p |x -e x| =nn第五节第五节 大数定律大数定律11/14/202132根据切比雪夫不等式得根据切比雪夫不等式得证：证：2211()niid xn11()1-nniii=1i=1p |x -e x| nn()e11nniii=1i=1xe(xnn()ncnii=1d x122,d()nxxx11又是独立的，nniii=1i=1xd(xnnd (xi) c,（ i=1,2,n,），），2cn11()1-得nniii=1i=1p |x -e x|

22、 nnlimn 11()1当时，得nniii=1i=1np |x -e x| nnlim1n11()nniii=1i=1p |x -e x| nn11lim()1nniini=1i=1p |x -e x| =nn11/14/202133方差都存在，切比雪夫定理解释：切比雪夫定理解释：11lim()1nniini=1i=1p |x -e x| =nn1nii=1xxn若独立序列x1, x2, , x n ,的数学期望和并且方差是一致有上界的, 则n充分大时, 算术平均紧密地集中在其数学期望11() =()e xeniixn的附近.11/14/2021342. 2.伯努利大数定理（频率的稳定性）伯

23、努利大数定理（频率的稳定性） 定理定理 设设 是是n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件a发生的频率，发生的频率， p是事件是事件a在每次试验中发生的概率，则对于任意正数在每次试验中发生的概率，则对于任意正数 ,恒有恒有lim( )1nnpfap( )nfa 证明：证明：又又exi = p, dxi =p（1-p）设设xi为第为第i次试验中事件次试验中事件a出现的次数出现的次数i=1,2,n，则这些变量相互独立，且服从相同分布：则这些变量相互独立，且服从相同分布：“0-1”分布分布1/4, i=1,2,，n由切比雪夫不等式得由切比雪夫不等式得p11lim()1nnini=1i=1p |x

24、-| =nnlim( )1nnpfap即11/14/202135小概率事件的实际不可能性原理小概率事件的实际不可能性原理概率很小的随机事件在个别试验中实际上是不可能发生的概率很小的随机事件在个别试验中实际上是不可能发生的例：从某工厂生产的产品中任取例：从某工厂生产的产品中任取200件来检查，结果发现其中有件来检查，结果发现其中有6件次品，能否相信该工厂产品的次品率不大于件次品，能否相信该工厂产品的次品率不大于1%？解：假设该工厂的次品率解：假设该工厂的次品率1%,p (6)0.01660.05p x 小概率事件小概率事件小概率事件发生了，说明原假设不成立，即小概率事件发生了，说明原假设不成立，

25、即不能否相信该工厂产品的次品率不大于不能否相信该工厂产品的次品率不大于1%。11/14/2021361. 理解方差的定义：.)()(2xexexd2. 熟悉方差的性质:；为常量ccd, 0)() 1 (；为常量则存在,若cxdccxdxd),()()()2(2则存在与且相互独立与若，)()()3(ydxdyx. )()()(ydxdyxd内容小结内容小结11/14/202137则为常量,相互独立,若n2c,c,121,)3(cxxxn. )()(121niiiniiixdcxcd(|- ( )|)px e x(5) 若e(x) 与 d(x) 存在， 对于任意的正数2().d x，(4) 对于任

26、意实数cr，有 e ( x-c )2d( x )当且仅当c = e(x)时, e ( x-c )2取得最小值d(x).有(|- ( )|)px e x或2()1.d x 11/14/2021383.熟悉一些常见分布的方差 若xb(n, p), d(x) = npq;)(),(xdpx 若 若xu(a, b), ;12)()(2abxd;1)(),(2xdex 若11/14/2021394. 方差的计算方法;)()()(22xexexd.)()(2xexexd 利用方差的定义: 利用方差的简化公式： 利用方差的性质； 利用常见分布的方差.连续型离散型,)()(),()()(22dxxfxexxp

27、xexxdiii11/14/202140习题三习题三( p92) : 5、6、9、10、11、13 作业作业11/14/202141备用题备用题1. 1. 判断正误：判断正误：(1) 任何随机变量x都能其计算期望和方差. ( )(2)期望反映的是随机变量取值的集中位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。( )(3) 随机变量x的方差越小，x取值越集中，方差越大，x取值越分散。( )答案: (1) x; (2) ; (3) .11/14/2021422.选择题 (2)( ),(1)(2)1()xpe xx设，则且12(3),nxxx设随变独从，机量立，且服同一分布201,niixxn数学为 ，

28、为，令则期望方差(1)( , ),2.4,1.44,xb n pexdxn p则为( ) a. 4, 0.6 ； b. 6, 0.4； c. 8, 0.3； d. 24, 0.1 a. -1； b. 2； c. 1； d. 3(),()e xd x别为( )分2222.,;.,;.,;.,ab ncd nnn 11/14/202143(4)(4) 3 , 2 , 1( , 1)(, 1)(,321ixdxexxxii，相互独立设)有(则对于任意给定的，02311)| 1(|.iixpa2311)| 131(|.iixpb2311)|3(|.iixpc23131)|3(|.iixpd11/14/

29、202144分析分析44. 1)(4 . 2)(npqxdnpxe222()() ().e xd xe x22(1)(2)32()3 ()2e xxe xxe xe x(1) 由 xb(n, p)得：解方程组得 n=6, p=0.4, 故选b.(2)( ),()().xpe xd x由11/14/20214522322212(1)0,即1.故选 c.11/14/202146（3）21122221111()()()11().nniiiinniiid xdxdxnnd xnnn_111111()()()11();nniiiinniiie xexexnne xnn故选 c.11/14/202147(4)由题（3）知：23111().333iidx311()1;3iiex321()33.iidx31(