空间向量的坐标运算19715

1、第九章第九章 直线、平面、简单几何体直线、平面、简单几何体第 讲（第二课时）（第二课时）1. 如图，已知两个正四棱锥如图，已知两个正四棱锥p-abcd与与q-abcd的高分别为的高分别为1和和2，ab=4. (1)求直线求直线pq与平面与平面 adq所成的角所成的角; (2)求异面直线求异面直线aq与与pb所成的角所成的角.题型题型4 空间角的计算空间角的计算解：解：(1)连结连结ac、bd，设其交点为，设其交点为o，则则po平面平面abcd，qo平面平面abcd，从而从而p、o、q三点共线三点共线.分别以直线分别以直线ca、db、qp为为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立轴建立空间直角坐标系空间直

2、角坐标系(如图如图)，则由已知可得则由已知可得a( ，0，0)，q(0，0，-2)，d(0， ，0)，p(0，0，1).2 2 2 2所以所以 =(0，0，-3)， =(- ，0，-2)， =(0， ，-2).设设n=(x，y，z)是平面是平面adq的一个法向量的一个法向量.由由 ，得，得取取x=1，则，则z=- ，y=-1，所以所以n=(1，-1，- ).pqaq2 2dq2 200n aqn dq 2 2202 220 xzyz 22设直线设直线pq与平面与平面adq所成的角为所成的角为，则，则sin=|cosn， |所以所以= .故直线故直线pq与平面与平面adq所成的角为所成的角为 .

3、(2)因为因为b(0， ，0)，所以，所以 =(0， ，-1).又又 =(- ，0，-2)，所以所以cos ， = .故异面直线故异面直线aq与与pb所成的角为所成的角为arccos .pq22npq|n pq 4 4 2 22 2pbaq2 2aqpb 39aq pbaq pb 39点评：点评：两向量的夹角公式可直接用两向量的夹角公式可直接用来求两直线的夹角；而线面角可转化为来求两直线的夹角；而线面角可转化为直线对应的向量与平面的法向量所成的直线对应的向量与平面的法向量所成的角；二面角可转化为两个平面的法向量角；二面角可转化为两个平面的法向量所成的角所成的角.另外还需注意所求角与两向量另外还

4、需注意所求角与两向量夹角之间的关系夹角之间的关系. 如图，在长方体如图，在长方体abcd-a1 b1 c1d1中，中，已知已知ab=4，ad=3，aa1=2.e、f分别是线段分别是线段ab、bc上的点，且上的点，且eb=fb=1. (1)求二面角求二面角c-de-c1的正切值；的正切值； (2)求直线求直线ec1与与fd1所成角的余弦值所成角的余弦值. 解：解：(1)以以a为原点，为原点，ab,ad,aa1分别为分别为x轴轴，y轴，轴，z轴的正向，建立空间直角坐标系轴的正向，建立空间直角坐标系a-xyz.则有则有d(0，3，0)、d1(0，3，2)、e(3，0，0)、f(4，1，0)、c1(4

5、，3，2).于是于是 =(3,-3,0), =(1,3,2), =(-4,2,2).设向量设向量n=(x,y,z)与平面与平面c1de垂直，垂直，则有则有 取取z=2,则则n=(-1,-1,2).则则n是一个与平面是一个与平面c1de垂直的向量垂直的向量.de1ec1fd 1ndenec 33013202xyxyxyz 因为向量因为向量 =(0，0，2)与平面与平面cde垂直垂直观察图形知，观察图形知，n与与 所成的角所成的角即为二面角即为二面角c-de-c1的平面角的平面角. 因为因为cos= 所以所以tan= .所以二面角所以二面角c-de-c1的正切值为的正切值为 . (2)设设ec1与

6、与fd1所成的角为所成的角为，则则1aa 1aa 111 01 02 263114004n aan aa 222211222222111 (-4)3 22 221cos14132( 4)22ec fdecfd 2. 长方体长方体abcd-a1b1c1d1中，中，ab=4，ad=6，aa1=4，m是是a1c1的中点，的中点，p在线段在线段bc上，且上，且cp=2，q是是dd1的中点，的中点，求：求：(1)点点m到直线到直线pq的距离的距离; (2)点点m到平面到平面ab1p的距离的距离. 解：解：(1)如图所示，建立空如图所示，建立空间直角坐标系间直角坐标系b-xyz，则则a(4，0，0)，m(

7、2，3，4)，p(0，4，0)，q(4，6，2). 题型题型5 空间距离的计算空间距离的计算因为因为 =(-2，-3，2)， =(-4，-2，-2)，所以所以 在在 上的射影长为上的射影长为故点故点m到到pq的距离为的距离为qm op qm op 222(-2) (-4)(-3) (-2)2 (-2)105 6624( 4)( 2)( 2)qmqpqp 225 625462| -()17-.666dmq (2)设设n=(x，y，z)是平面是平面ab1p的法向量，的法向量，则则n ，n .因为因为 =(-4，0，4)， =(-4，4，0)，所以所以因此可取因此可取n=(1，1，1).由于由于 =

8、(2，-3，-4)，那么点那么点m到平面到平面ab1p的距离为的距离为1ab |2 1(-3) 1(-4) 1|5 3.33ma ndn ap1ab ap440440- xz- xy1ab 点评点评：利用求向量的长度可求两：利用求向量的长度可求两点间的距离，而点到直线的距离或点点间的距离，而点到直线的距离或点到平面的距离可转化为向量的投影长到平面的距离可转化为向量的投影长度问题度问题. 在四棱锥在四棱锥p-abcd中，底面中，底面ab c d为矩形，侧棱为矩形，侧棱pa底面底面abcd，ab = ，bc=1，pa=2，e为为pd的中点的中点. (1)在侧面在侧面pab内找一点内找一点n，使使n

9、e平面平面pac，并求，并求出点出点n到到ab和和ap的距离；的距离； (2)求求(1)中的点中的点n到到平面平面pac的距离的距离.3解：解：(1)建立空间直角坐标系，如图建立空间直角坐标系，如图.则则a、b、c、d、p、e的坐标分别是的坐标分别是a(0,0,0)、b( ,0,0)、c( ,1,0)、d(0,1,0)、p(0,0,2)、e(0, ,1).依题意设依题意设n(x,0,z)，则则 =(-x, ,1-z).由于由于 平面平面pac，所以，所以3312ne12ne00neap ,neac 则则 ，即，即解得解得 ，即点，即点n的坐标为的坐标为( ,0,1)，从而点从而点n到到ab、a

10、p的距离分别为的距离分别为1， .(2)设点设点n到平面到平面pac的距离为的距离为d，则则1(- ,1- ) (0,0,2)021(- ,1- ) ( 3,1,0)02xzxz101302z - , -x361xz363633 1|(,0,1) (-,0)1(,0)62an nedne 1. 运用空间向量的坐标运算解决立体运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题时，一般步骤为：几何问题时，一般步骤为： (1)建立恰当的空间直角坐标系建立恰当的空间直角坐标系(例如例如:底面是矩形的直四棱柱，以底面其中一个底面是矩形的直四棱柱，以底面其中一个顶点为原点建立空间直角坐标系；

11、底面是顶点为原点建立空间直角坐标系；底面是菱形的直四棱柱，往往以底面对角线的交菱形的直四棱柱，往往以底面对角线的交点为原点建立空间直角坐标系点为原点建立空间直角坐标系); (2)求出相关点的坐标；求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标写出向量的坐标; (4)结合公式进行论证、计算结合公式进行论证、计算; (5)转化为几何结论转化为几何结论. 建立空间直角坐标系，必须牢牢抓建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线，住相交于同一点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这样的三条直要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此，要充分利用题目中所给的垂线，因此，要充分利用题

12、目中所给的垂直关系直关系(即线线垂直、线面垂直、面面垂即线线垂直、线面垂直、面面垂直直)，同时要注意，所建立的坐标系必须，同时要注意，所建立的坐标系必须是右手空间直角坐标系是右手空间直角坐标系.2. 求空间角和距离有如下一些基本原理：求空间角和距离有如下一些基本原理： (1)平面的法向量的求法：设平面的法向量的求法：设n=(x，y，z)，利用利用n与平面与平面内的两个不共线向量内的两个不共线向量a，b垂直，垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取一组解后取一组解(如图如图1). (2)线面角的求法：设线面角的求法：设n是平面是平面的法向量，的法

13、向量， 是直线是直线l的方向向量，则直线的方向向量，则直线l与平面与平面所成的所成的角为角为 (如图如图2). (3)二面角的求法：二面角的求法： ab、cd分别是二面角分别是二面角-l-的两个半的两个半平面内与棱平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大垂直的异面直线，则二面角的大小为小为 ， (如图如图3). 设设n1，n2是二面角是二面角-l-的两个平面的两个平面、的法向量，则的法向量，则 就就是二面角的平面角或其补角是二面角的平面角或其补角(如图如图4).ab |a r c s ina bna bn abcd121212a r c c o snnn, nnn (4)异面直线间的距离的求法：异面直线间的距离的求法：l1、l2是两条异面直线，是两条异面直线，n是是l1、l2的公垂线段的公垂线段ab的方向向量，又的方向