空间向量的数量积运算26759

1、1)1)两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义: :o oa ab ba a b b 知知 新新空间向量的数量积空间向量的数量积两个向量的夹角是惟一确定的！两个向量的夹角是惟一确定的！2 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积注注: :两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量; ;数量积数量积 等于等于 的长度的长度 与与 在在 的方向上的投影的方向上的投影 的乘积的乘积. .baaabacosb规定规定: :零向量与任意向量的数量积等于零零向量与任意向量的数量积等于零.3)3)空间两个向量的数量积性质空间两个向量的数量积性质注：注：性质性质是证明两向量垂直的依据

2、；是证明两向量垂直的依据；性质性质是求向量的长度（模）的依据是求向量的长度（模）的依据. .4)4)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律注：注： 向量的数量积运算类似于多项式运算向量的数量积运算类似于多项式运算, ,平方平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。如如果不能，请举出反例果不能，请举出反例能能得到得到吗？吗？由由, ,对于三个均不为对于三个均不为0 0 的的数数a, ,b, ,c, ,若若ab = =ac, ,则则b= =c. .对于向量对于向量, , , ,abcbacacb. .不能，例如向量不能，例如向量 与向量与

3、向量 都垂都垂直时，有直时，有 而未必有而未必有acb, caba. cb对于三个均不为对于三个均不为0的数的数 对于向量对于向量 成立吗？也就成立吗？也就是说，向量的数量积满足结是说，向量的数量积满足结合律吗？合律吗？,cba).()(bcacab若, cba)()(cbacbadcbdabca解：解：acabadaa 22222222|()|2()4352(0107.5)85.acabadaaabadaaab adab aaad aa |85.ac abcda b c d 4ab 3 ,5 ,90 ,60adaabadbaadaa ac 1.2.正方体正方体 中，求中，求 与与 所成的角所

4、成的角1111abcdabc d1bc1ab p o a la 应用应用应用应用证明：证明：如图如图,已知已知:,poaolloa射射影影且且求证：求证：lpa 在直线在直线l上取向量上取向量 ,只要只要证证a 0a pa ()0.a paapooaa poa oa ,apalpa 即即. .为为 p o a la 0,0,a poa oa 逆命题成立吗?a b , a b a b 小结小结分析：要证明一条直线与一个平面分析：要证明一条直线与一个平面垂直垂直, ,由直线与平面垂直的定义可由直线与平面垂直的定义可知知, ,就是要证明这条直线与平面内就是要证明这条直线与平面内的的任意一条直线任意一

5、条直线都垂直都垂直. .(试用试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线已知直线m ,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m, n,求证求证: . lll lmngm g m l 取已知平面内的任一条直线取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方拿相关直线的方向向量来分析向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件看条件可以转化为向量的什么条件?要要证的目标可以转化为向量的什么目标证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量怎样建立向量的条件与向量的目标的联系的条件与向量的目标的联系? 共面向量定理共面向量定理, ,有了有了! !lmngn g m l ,gxmyn ,l gxl myl n 0,0 ,l ml m 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 内内任任一一直直线线.证证: 在在 内作不与内作不与m ,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 , ,l m n g 上取非零向量