高中数学选修11人教A版练习：第二章圆锥曲线与方程 章末复习课 Word版含解析

1、高中数学选修精品教学资料章末复习课整合整合网网络构建络构建警示警示易错提醒易错提醒1关注圆锥曲线关注圆锥曲线“定义定义”的三点应用的三点应用(1)在求轨迹方程时在求轨迹方程时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据则根据圆锥曲线定义圆锥曲线定义,写出所求的轨迹方程写出所求的轨迹方程(2)涉及椭圆涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成三角形问题时双曲线上的点与两个定点构成三角形问题时,常用定常用定义结合解三角形的知识来解决义结合解三角形的知识来解决(3)在求有关抛物线的最值问题时在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把焦点的距离转化常利用定义把焦点的距离转化为到准

2、线的距离为到准线的距离,结合几何图形结合几何图形,利用几何意义去解决利用几何意义去解决2研究圆锥曲线几何性质的两个注意点研究圆锥曲线几何性质的两个注意点(1)应把不是标准方程的化为标准方程形式；应把不是标准方程的化为标准方程形式；(2)有字母的注意分类讨论有字母的注意分类讨论3.直线、圆锥曲线的位置关系易错点直线、圆锥曲线的位置关系易错点(1)直线与圆锥曲线交点问题直线与圆锥曲线交点问题(或弦长问题或弦长问题),不注意直线的斜率是否不注意直线的斜率是否存在存在,以及以及是否大于是否大于 0；(2)中点弦问题使用中点弦问题使用“点差法点差法”,不注意直线存在的条件不注意直线存在的条件专题一专题一

3、圆锥曲线定义的应用圆锥曲线定义的应用圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源源”,对于圆锥曲对于圆锥曲线的有关问题线的有关问题,要有运用圆锥曲线定义解题的意识要有运用圆锥曲线定义解题的意识, “回归定义回归定义”是一种是一种重要的解题策略重要的解题策略在高考试题中在高考试题中,有关圆锥曲线的问题很多都需要利用圆锥曲线的定有关圆锥曲线的问题很多都需要利用圆锥曲线的定义求解在选择题、填空题中应用得更多一些义求解在选择题、填空题中应用得更多一些例例 1一动圆与两圆一动圆与两圆： x2y21 和和 x2y26x50 相外切相外切 求求动圆圆心的轨迹动圆圆心的

4、轨迹解解：x2y21 是以原点为圆心是以原点为圆心, ,半径为半径为 1 的圆的圆；x2y26x50化为标准方程为化为标准方程为(x3)2y24, ,是圆心为是圆心为 a(3, ,0), ,半径为半径为 2 的圆的圆设所设所求动圆圆心为求动圆圆心为 p, ,动圆半径为动圆半径为 r, ,如图如图, ,则则|po|r1，|pa|r2|pa|po|1|ao|3, ,符合双曲线的定义符合双曲线的定义, ,结合图形可知结合图形可知, ,动圆动圆圆心的轨迹为双曲线的一支圆心的轨迹为双曲线的一支归纳升华归纳升华当题设出现两定点当题设出现两定点, ,设为设为 a、b, ,要通过平面几何知识要通过平面几何知识

5、, ,找出动点找出动点 p与它们的关系与它们的关系, ,即即|pa|pb|为定值为定值, ,还是还是|pa|pb|为定值为定值, ,再根据圆再根据圆锥曲线定义解决问题锥曲线定义解决问题变式训练变式训练f1,f2是椭圆是椭圆x2a2y2b21(ab0)的两焦点的两焦点,p是椭圆上是椭圆上任一点任一点,从任一焦点引从任一焦点引f1pf2的外角平分线的垂线的外角平分线的垂线,垂足垂足为为q,则则点点q的的轨迹为轨迹为()a圆圆b椭圆椭圆c双曲线双曲线d抛物线抛物线解析解析： 延长垂线延长垂线 f1q 交交 f2p 的延长线于点的延长线于点 a, ,如图所示如图所示, ,则则apf1是等腰是等腰三角形

6、三角形, ,所以所以 |pf1|ap|, ,从而从而|af2|ap|pf2|pf1|pf2|2a.由题意知由题意知 o 是是 f1f2的中点的中点, ,q 是是 af1的中点的中点, ,连接连接 oq, ,则则|oq|12|af2|a.所以所以 q 点的轨迹是以原点点的轨迹是以原点 o 为圆心为圆心, ,半径为半径为 a 的圆的圆答案：答案：a专题二专题二求圆锥曲线方程求圆锥曲线方程圆锥曲线的轨迹与方程是本章命圆锥曲线的轨迹与方程是本章命题的重点题的重点,解决此类问题解决此类问题,一要准一要准确理解圆锥曲线的定义确理解圆锥曲线的定义,熟练掌握标准方程的特征；二要熟练掌握求曲熟练掌握标准方程的特

7、征；二要熟练掌握求曲线方程的常用方法线方程的常用方法定义法与待定系数法定义法与待定系数法求曲线方程的一般步骤是求曲线方程的一般步骤是“先定位先定位,后定量后定量”, “定位定位”是指确定焦是指确定焦点的位置及对称轴点的位置及对称轴,“定量定量”是指确定参数的大小是指确定参数的大小例例 2已知中点在原点已知中点在原点,一焦点为一焦点为 f(0,5 2)的椭圆被直线的椭圆被直线 l： y3x2 截得的弦的中点的横坐标为截得的弦的中点的横坐标为12,求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程解：解：由题意可设所由题意可设所求椭圆方程为求椭圆方程为y2a2x2b21(ab0), ,该椭圆与直线该椭圆与直线 l

8、交于两点交于两点 a(x1, ,y1), ,b(x2, ,y2)由由y2a2x2b21 及及 y3x2 得得(a29b2)x212b2xb2(4a2)0.则则 x1x212b2a29b2.由由已知得已知得x1x2212, ,即即12b2a29b21, ,所以所以 a23b2.又因为又因为 a2b2c250, ,则则 a275, ,b225.此时此时, ,方程方程根的判别式根的判别式0, ,方程方程有两实根有两实根 x1, ,x2, ,符合要求符合要求故所求椭圆的方程为故所求椭圆的方程为x225y2751.归纳升华归纳升华1当焦点位置不确定时当焦点位置不确定时, ,要分情况讨论要分情况讨论, ,

9、也可以设为一般形式也可以设为一般形式：椭椭圆方程为圆方程为 ax2by21(a0, ,b0, ,ab)；双曲线方程为；双曲线方程为 ax2by21(ab0)；抛物线方程可设为；抛物线方程可设为 y22px(p0)或或 x22py(p0)2与已知双曲线与已知双曲线x2a2y2b21(a0, ,b0)共渐近线的双曲线方程可共渐近线的双曲线方程可设为设为x2a2y2b2(0)；已知所求双曲线为等轴双曲线；已知所求双曲线为等轴双曲线, ,其方程可设为其方程可设为 x2y2(0)变式训练变式训练已知双曲线与椭已知双曲线与椭圆圆x24y264共焦点共焦点,它的一条渐近它的一条渐近线方程线方程 x 3y0,

10、求双曲线的方程求双曲线的方程解：解：法一法一：椭圆：椭圆 x24y264, ,即即x264y2161, ,其焦点是其焦点是(4 3, ,0)设双曲线方程为设双曲线方程为x2a2y2b21(a0, ,b0), ,其渐近线方程是其渐近线方程是 ybax.又因为双曲线的一条渐近线方程为又因为双曲线的一条渐近线方程为 x 3y0, ,所以所以ab 3.又由又由 a2b2c248, ,解得解得 a236, ,b212.所以所以 所求双曲线方程为所求双曲线方程为x236y2121.法二法二：由双曲线与椭圆共焦点：由双曲线与椭圆共焦点, ,可设双曲线方程为可设双曲线方程为x264y2161(1664)因为双

11、曲线的一条渐近线方程为因为双曲线的一条渐近线方程为 x 3y0, ,即即 y13x, ,所以所以166413, ,所以所以 28.故所求双曲线方程为故所求双曲线方程为x236y2121.专题三专题三直线与圆锥曲线的关系直线与圆锥曲线的关系近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置轴题的位置,且选择题、填空题也有涉及有关直线与圆锥曲线的位置且选择题、填空题也有涉及有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点关系的题目可能会涉及线段中点、 弦长等弦长等,分析这类问题时分析这类问题时,往往利用数往往利用数形结合的

12、思想形结合的思想、设而不求的方法设而不求的方法、对称的方法以及根与系数的关系等对称的方法以及根与系数的关系等例例 3已知椭圆已知椭圆 m：x24y231,点点 f1,c 分别是椭圆分别是椭圆 m 的左焦点的左焦点、左顶点左顶点,过点过点 f1的直线的直线 l(不与不与 x 轴重合轴重合)交交 m 于于 a,b 两点两点(1)求求 m 的离心率及短轴长；的离心率及短轴长；(2)是否存在直线是否存在直线 l,使得点使得点 b 在以线段在以线段 ac 为直径的圆上为直径的圆上,若存在若存在,求出直线求出直线 l 的方程；若不存在的方程；若不存在,说明理由说明理由解解：(1)由由x24y231 得得：

13、a2, ,b 3.所以所以椭圆椭圆 m 的短轴长为的短轴长为 2 3.因为因为 c a2b21, ,所以所以 eca12, ,即即 m 的离心率为的离心率为12.(2)由题意知由题意知： c(2, ,0), ,f1(1, ,0), ,设设 b(x0, ,y0)(2x02), ,则则x204y2031.因为因为bf1bc(1x0, ,y0)(2x0, ,y0)23x0 x20y2014x203x050, ,所以所以b0，2 .所以点所以点 b 不在以不在以 ac 为直径的圆上为直径的圆上, ,即即： 不存在直线不存在直线 l, ,使得点使得点 b 在在以线段以线段 ac 为直径的圆上为直径的圆上

14、归纳升华归纳升华圆锥曲线的综合问题一般综合性较强圆锥曲线的综合问题一般综合性较强, ,计算量较大计算量较大, ,对能力要求较对能力要求较高高, ,因此寻求简便因此寻求简便、合理的运算途径显得尤为重要合理的运算途径显得尤为重要数形结合是解答圆数形结合是解答圆锥曲线综合问题的主要方法锥曲线综合问题的主要方法, ,根据题意画出图形根据题意画出图形, ,通过代数运算细化图通过代数运算细化图形结构形结构变式训练变式训练已知椭圆已知椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的离心率为的离心率为22,点点(2, 2)在在 c 上上(1)求求 c 的方程；的方程；(2)直线直线 l 不经过原点不经过原点 o,且不

15、平行于坐标轴且不平行于坐标轴,l 与与 c 有两个交点有两个交点 a,b,线段线段 ab 中点为中点为 m,证明：直线证明：直线 om 的斜率与直线的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定的斜率的乘积为定值值(1)解：解：由题意有由题意有a2b2a22, ,4a22b21, ,解得解得 a28, ,b24, ,所以椭圆所以椭圆 c 的方程为的方程为x28y241.( (2)证明：证明：设直线设直线 l：ykxb(k0, ,b0), ,a(x1, ,y1), ,b(x2, ,y2), ,m(xm, ,ym), ,把把ykxb代入代入x28y241得得(2k21)x24kbx2b280.故故 xmx1x

16、222kb2k21, ,ymkxmbb2k21, ,于是直线于是直线 om 的斜率的斜率 komymxm12k, ,所以所以 komk12, ,所以直线所以直线 om 的斜率与直线的斜率与直线 l 的斜率的乘积为的斜率的乘积为定值定值专题四专题四分类讨论思想分类讨论思想分类讨论思想是高中数学中解题的重要思想分类讨论思想是高中数学中解题的重要思想,解析几何中许多问题解析几何中许多问题都涉及分类讨论都涉及分类讨论,如轨迹方程中轨迹类型的确定、最值问题、参数问题如轨迹方程中轨迹类型的确定、最值问题、参数问题等都可能遇到因为变量范围不同而结果不同的情形等都可能遇到因为变量范围不同而结果不同的情形,因此

17、要对因此要对变量分类变量分类讨论讨论,才能确定才能确定在圆锥曲线的问题中在圆锥曲线的问题中,有很多由公式、运算等引起的分类讨论分有很多由公式、运算等引起的分类讨论分类的原则是标准一致、不重不漏类的原则是标准一致、不重不漏例例 4当当 m1 时时,讨论方程讨论方程 mx2(2m)y21 表示的曲线形状表示的曲线形状解解：(1)当当 m0 时时, ,方程表示焦点在方程表示焦点在 y 轴上的双曲线轴上的双曲线y212mx21m1；(2)当当 m0 时时, ,方程表示两条平行于方程表示两条平行于 x 轴的直线轴的直线 y22；(3)当当 0m1 时时, ,方程表示焦点在方程表示焦点在 x 轴上的椭圆轴

18、上的椭圆x21my212m1；(4)当当 m1 时时, ,方程表示圆方程表示圆 x2y21.归纳升华归纳升华在解决圆锥曲线问题时在解决圆锥曲线问题时, ,按照某一确定的标准在比较的基础上按照某一确定的标准在比较的基础上, ,将将某一对象划分为若干既有联系又有区别的部分某一对象划分为若干既有联系又有区别的部分, ,然后分别解决然后分别解决, ,从而达从而达到解决问题的目的到解决问题的目的 在圆在圆锥曲线中锥曲线中, ,常见的分类讨论常见的分类讨论思想的应用主要表思想的应用主要表现在现在：(1)直线斜率存在或不存在引起的分类讨论直线斜率存在或不存在引起的分类讨论；(2)曲线类型不确定曲线类型不确定引起的分