运用平衡判据探讨系统的平衡稳定性条件

1、摘要本科毕业论文（设计）题目:运用平衡判据探讨系统的平衡稳定性条件东（部） 学科门类专 业学 号姓 名 指导教师职 称年 月目运用平衡判据探讨系统的平衡稳定性条件摘要嫡判据是讨论热力学系统是否处于平衡态的最基本判据，但在实际热力学过程中可以 引入其它判据进行讨论。本文探讨了系统在熠和体积不变时，由内能判据出发，再结合雅 克比行列式，详细推证了平衡稳定性条件。该方法条理清楚，步骤简明，便于理解。关键词：端判据 内能判据 雅克比行列式 平衡稳定性条件abstractentiopy ciitenon is the most basic ciiterion in discussmg the equil

2、ibrium state of thennodynamic system, but we can uitroduce other ciitenon fbr discussion ui the actual theimodynamic process. tlus essay discusses the requirement fbr a system to reacli a equilibnum stability in detail. the discussion is in condition of constant entropy and volume, and on the basis

3、of the internal eneigy cntenon and the jacobian. this method is clear, concise, and easy to master.key words: entropy cntenon mtenial eneigy ciitenon jacobian the equilibnum stabilitycondition目录目录1引言12系统的平衡判据12. 1熠判据12.2内能判据23平衡的稳定性条件24雅克比行列式44.1 定义44.2 表达式及相关内容45由内能判据推证系统的平衡稳定性条件5结论8参考文献9致谢10毕业论文（设

4、计）1引言经典热力学是建立在系统处于平衡态基础上的，因此，研究某一个实际系统，分析它 是否处于平衡态具有极其重要的实践意义。热力学系统在不同的条件下有不同的平衡判据, 实际情况中要依据系统所处的条件而采用相应的平衡判据，得到系统的平衡条件和平衡稳 定性条件,用来判断某一个理论过程的各个状态是否真实存在。如图所示：ou范鲁瓦尔斯等温图在由气体的范德瓦尔斯方程画出的等温线图中，利用平衡稳定性条件可以判断其中ab 段曲线是不存在的，与实验所得出的结果不相符，这也正说明了范德瓦尔斯气体方程理论 上有很大的缺陷性。另外研究平衡体系的稳定条件,在生产实践中也具有较高的实际应用 价值，可以解决诸如合金、高分

5、子、溶液等的至关重要的稳定性问题。在热力学系统中，系统的平衡条件与平衡稳定性条件一般都是由熠判据推导出来的。 熠判据是最基本的平衡判据，它只适用于孤立的系统。在实际情况中遇到的特定物理条件 下，应用其它判据比较方便，且其对应的平衡判据也是唯一的。当系统的皤和体积不变时, 可以用内能判据推证平衡稳定性条件。热力学理论中关系式的证明与推导离不开数学手段和方法，而且采用不同的数学手段 与方法总会得到异曲同工的效果。其中，应用雅克比行列式可以解决热力学关系式的证明 及其热力学函数中一阶偏导数的转换问题，可以简化推导步骤，易于掌握。需要说明的是, 在推导平衡稳定性条件时并不是所有的函数判据都可用此法推导

6、，它只适用于用两个广延 量为变量表述的函数判据，而内能判据符合这一条件。因此，本文将由内能判据出发，再 结合雅克比变换的方法详细推证系统平衡的稳定性条件。2系统的平衡判据热力学系统在不同的条件下有不同的平衡判据，如在内能和体积不变时有燧判据，端 和体积不变时有内能判据，等温等压条件下有吉布斯函数判据，等嫡等压条件下有熠判据, 等温等容条件下有自由能判据等。本文将主要介绍燧判据和内能判据。2.1熠判据在热力学中，嫡增加原理表明，孤立系统的嫡永不减少。孤立系统中发生的趋向平衡 毕业论文（设计）的过程，一定沿着嫡增加的方向进行。当孤立系统的端增加到极大值时，系统的宏观性质 不再发生变化，这时系统就达

7、到了平衡状态。在判定孤立系统是否处于平衡态时可以利用 熠函数这一性质，即为燧判据。在体积和内能不变时，围绕某一状态发生的各种变动所导致的嫡变as<0,那么这一 状态的焰就具有极大值，其所处的平衡状态也是稳定的。由数学知识可知鉴=o, *5<0 时，嫡函数有极大值，由方二o可以导出平衡条件，由*s<o可以导出平衡稳定性条件。2. 2内能判据根据热力学基本微分方程duka/s-pc/v可知，若ds = 0, c/v = 0时，则c/u <0 ,即当 系统在熠和体积不变时，所进行的任何热力学过程，其内能永不增大。当该系统的内能取 极小值的时候，系统就达到了稳定的平衡态。在判定

8、该系统是否处于平衡态时可以利用内 能函数的这一性质，故内能判据可表示为：当ds = 0, c/v = 0时，对于处于平衡态的系统, 其内能最小。基于数学上的极小值条件，内能判据可表为&/ = 0, 52(/>0,即为平衡条件 和平衡的稳定性条件。3平衡的稳定性条件由于不同的热力学系统，系统平衡的必要条件及平衡稳定性条件有不同的形式，下面 以孤立系统为例，根据燧判据分析系统平衡的必要条件及平衡稳定性条件。假设某一孤立系统由两部分组成，设匕、u乂和匕、u2. n?分别表示两部分的体 积、内能和粒子数。令：(1)s1=s(q,匕，nj s, =s,(u、，匕，n,)设系统在平衡态附近有

9、虚变动可、刻、n、必、电、胡二，则有:-9-(2)(3)(4)二 l 犯1+7 i tt, 1四+以=0 皿+距=0 朔+取=0 由焰平衡判据可知，主平衡态时系统加燃取极大值，即：贰=况|+8，=0(5)x一32s =<0(6)x.把(2)式、(3)式代入(5)式：= f w=0(7)1( tj 7； t2)7； rj因为虚变动均为任意，要使（7）式成立，则有：£ =12p1=p?氏=zz2即热力学系统的平衡条件是：等温、等压和化学势相同。对于粒子数不变的孤立系统，有：s = s（u"）,将其展开到二级项，有:s =dsdu汉/+vdu2)2 +2v6usv +d2

10、sdv= 8 + 5”结合（9）式，由（6）式得:会口犯八2（募即得:d2s前00r+0-sdudv因为uw可以任意的变化，为使上式能够成立，则须满足:d2s八r <0 du2d2sdudvdsdudu )v t' i dt )v=g代入（11）式得:d2s结合（11）式，由（12）一前得：cv 0式得：(d-s y d-s ( d2sdv2du2) dvdu0(8)f(9)(10)(11)(12)(13)(14)用矩阵表示上式, i d2s 赤 d2s dvdu即：d2s dvdu d2s ovi pdvt) du"d_( dvrdut£ £、t&

11、#39;t) 5(t,v)6(uw) a(r,v) 6(uw)(15)(16)(17)设表示的雅克比行列式为：综上可得，系统的平衡的稳定性条件即为： 薛。及（乳。4雅克比行列式4.1定义在热力学中，雅克比行列式是其进行偏导数变换运算的一个有用的工具。设“"是独 立变量的函数：w = "（x, y）v = v（x, y）4. 2表达式及相关内容雅克比行列式的性质:d(ii. y) _ ( ow a g(，y)6(x,y)c(x, y)相当于只进行一个变量x的转换。(5)(6) 需=甄耨'其中人为另一对独立变量。(冗 y) / 5(w,v) 6( m _ 6(匕) e(

12、x,y) e(x,y)热力学基本方程的雅克比表示:du = tds - pdvdh = tds + vdpdf = -sdt pdv dg = -sdt + vdp麦克斯韦关系式的雅克比表示:j（u,y）=tj（s,y）-pj（y,y）j（”m = 7v（s,y）+r/（p,y）j（f,y） = -sj（t,y）-pj（yy） ，（g,y）=s（7;y）+0（p,y）j（t,s）=j（p,v）,即 = 1即4个麦克斯韦关系式图圜偌卜阅（dspvadp）t=w）pds）p=dp）都可以用上式表示。热力学函数的雅克比表示与可测量的关系表达式: 对于简单系统有尸=/（匕,），则j（t,s）=j（p.

13、v）=6（p,v）（dpd（r,v） dt=pp/v1icvtd（s,p） &r,p）"（s,p）j（t,p）r= fm（s，p“p，s）=最£vtts（uw）_a（s,v）_ （）（ wy " 7（rm-5由内能判据推证系统的平衡稳定性条件热力学系统在嫡和体积不变时，运用内能判据推导系统的平衡条件和平衡稳定性条件 cv > 0 o假设某一均匀孤立系统，焙为s,体积为v,内能为u,粒子数为n,将其分为两部分, 匕、nrs和匕、u、n,、s,分别表示两部分的体积、内能、粒子数和嫡，则应满足:u»+u、=u v1+k =v m+m =n（1）.

14、x4*x设系统在平衡态附近有虚变动可、叫、歌、8、以、汉a、sn、，则有:风 + 必=0=0乱< +歌2 =0(2)孤立系统有：s 根据嫡判据，则有：3s =孤立系统的热力学基本方程为tds = 汉/ +巴以一 必结合(2)式，将(5)式变为：(1 1-s(j. + "tj因为虚变动可、叫、必。、均为任意= s,+s2(3)二况+ 芯、=0(4)du + pdviidn ,将其代入(4)式1 6u、+、/亡、-+ =-=-=0(b)t2i一2皿/七一占队=0(6),要让(6)式成立，则有：pi = p2 4i = ？(7)即热力学系统的平衡条件是：等温、等压和化学势相同。对于粒

15、子数不变的系统，有u = u(s,v),将其展开到二级项aud7俏2+1也= su + s2u由内能判据可知：要求平衡稳定性条件有57/>0,则：3"-2仁，产)+2以卜皿+ (2对此系统,有特性函数t = t(sw),则：灯=")w + f 吗 wds)v dv)s将(噂j =r代入上式，得：0吧"(包在ds2 ) dvds j则：吁谓明“第思hi有：卜皿+愕(8)>>0(9)空(" r (10)dsdv )7毕业论文(设计)-#-结合(10)式，(9)式可变为:(12)(13)结合偿得1式可变为:(14)以上的推证过程与许多优秀教材

16、中的过程相比，思路清嘶，通俗易懂。为使推导的步 骤更加简洁明了，下面本文将依据内能判据，结合雅克比行列式推证平衡稳定性条件结合(12)式，(13)式可变为:d2u (d2ud2u dsdv >>0利用雅克比行列式定义将上式变为:叫 fd2ud(s,v)(15)毕业论文（设计）由热力学基本方程du = tds-p”得:du结合（2二=丁，代入（15）式，得:i °s ）v断,-尸)、0(s,v)利用雅克比行列式性质得：d（t-p）_ d（t-p）d（t,v）_ （ 6p （ 67 d（s,v）= 6（tw）d（s,d = dv）t'ds）v>0即得:-13-综

17、上可得，系统的平衡稳定性条件即为:cv >0 及dp)t<0(16)结论通过以上对比、分析可见，依据内能判据，再结合雅克比行列式推导出的平衡稳定性 条件与只用嫡判据推导出的结果完全一致。当系统处在稳定平衡状态时，不仅要满足平衡 的必要条件，还必须满足平衡稳定性条件：cv >0 及dpdv<0/t否则系统平衡状态很难维持稳定。该方法条理清楚，步骤简明，便于理解。参考文献1马本坤，高尚惠，孙煌.热力学与统计物理学小.北京：高等教育出版社，1986.2汪志诚.热力学统计物理学m.北京：高等教育出版社，1980.3龚昌德.热力学与统计物理学m.北京：高等教育出版社，1982.4

18、王竹溪.热力学m.北京：高等教育出版社，1955年9月第一版.5孙延.防论平衡态的均匀系的体积无偿自发收缩不可能j.郑州工学院学报，1986年第二期.l6倪致祥.一个统计物理问题的多种解法j.大学物理，2000年11期.7言经柳.巨正则系综的最可几统计法j.广西物理，1998年04期.8潘宏利.耗散结构静态稳定性判据研究j.汉中师范学院学报，1999年06期.9任亚杰.热力学系统平衡稳定性条件的研究j.首都师范大学学报（自然科学版），2001年04 期.10张凯莉，朱孟正，尹新国.力学系统平衡的稳定性条件的研究j.科技资讯，2012.11肖波齐，林紫霞，蒋国平.运用3种判据推导热力学系统平衡稳定性条件j.华南师范大学学报（自然科学版）,2010年01期.12吕依颖.热力学系统平衡判据和平衡稳定条件推导的研究j.鲁东大学学报（自然科学版）,2012, 28 （2）: 126-128.13穆轶.雅克比行列式在平衡稳定性条件中的应用j.四川师范大学学报（自然科学版），2008, 31（4） : 487-190.14曾丹苓.复相系平衡条件及平衡稳定性条件的分析j.工程热物理学报，1996年01期.15周贵兴.热力学平衡判据的稳定条件j,纺织基础科学学报，1990年04期.致谢经过半年的忙碌和工作，毕业论文的写作已经接近尾声，作为一个