量子力学典型例题分析解答

1、量子力学例题一.求解一位定态薛定谓方程1.试求在不对称势井中的粒子能级和波函数（豆,屿）解薛定调方程：，电 2图玛m=拶adm-w = o.x <0dx21i k + 廿号二。0 <x <。*/夕口& 飞= 0. jt > a当 汇f±k,可to故有r叫”.利用波函数在工二0, t二口处的连续条件由江二0处连续条件：=如每由k = 0处连续条件：月二品咯伉。+ »）,工忸：.sm d = fsinw1la 2发传-团用二f一2 tme也=层 3_2熠（%_ 四）性-.4阻比工）t <0 1asln%工+司0 v1 出exp （-显工）工

2、ah+力-聘ka- nn - arc sin. j- - arc sin f 一陀 1匕 二12，给定一个n值，可解一个 当, 为分离能级.2.粒子在一维百势井中的运动/（x）二一口（1 >0）求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数解体系的定态薛定调方程为上q2附d产* 等*二0s <0解为2me 、月1-珈.t >口辰kcu在x=0 处连续性要求o+=t（0-）代入得a= b(o+)-)=*°j加-次公=-等喙) 吊qt月又1:：一 口 <, ma k-相应归一化波函数为空飞=1=> f月t福办+ j ©广而石=1-©-b03

3、分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为%)=，% . 0 <7 工也一及u x 1 <b。;r as求束缚态的能级所满足的方程解束缚态下粒子能量的取值范围为-% ce<0当天md时 ，too当0工工<工时 乱工）二6薛定谓方程为2m俨-琦）:。解为马卜” 4严:用2*当蓟时/二一%<+兽伊+物3=口令，"'一解为里16 二 4 sin 月工 + cos2x当：时 1：一薛定谓方程为中:+等£羽=0令肥薛定谓方程为卬；*r =0解为由4 = 0巴二区”中波函数满足的连续性要求，有夕4x二%必& +用=口aj giti与a

4、+ &。£/口 = 4/同+月正-3ajc2 sin后?一当月cowk# = /苴*“” + 31得白一如四3渭一* = j42 sm &z?十为c。式亚二婷-5内gr二耳心sin k2b-5内cos.5要使 田卜）有非零解 4冬瓦 不能同时为零 则其系数组成的行列式必须为零00-r0sin吩k2 ccs-sin-丈a cos上m计算行列式，得方程t知应& 7与明&l庆艮%曲猊1津一女史/卜忆/例题主要类型：1.算符运算；2.力学量的平均值;3.力学量几率分布.有关算符的运算1 .证明如下对易关系adfm项一二ex.工二七冠±疗土二工

5、7;4/上加百十曲，二4明体g?4流iajw= 一巩宇+八共- 当二-4zx dx dx dx凡/±二也4土心二巴七也区心请& 士1（-端。）二防&-血j二 +ft ±34= 土疝土工，尹f 八口 .人工.八24，勺+勺+品裕+w£十 %不氏=0 + 0 +质4/卷* +请介尊北+注为与+谪/武t一般地，若算符是任一标量算符，有(« = u?)工而q +防g二口二访4母尾+%)一般地，若算符是任一矢量算符，可证明有(外尸产二123)| % 士 | ii。1 八 ± i i 斗 2 i i on £、/=乜，4+辽4=母

6、4冷 f |_手=_1_善,r 1 r匕，£"= a +乙尸 + l，4.年,小区&a 4 八 11g n 4. a i a八 出 力二%上,/(+ £/£r 4 + £力£/4 +上工4上工=-lyls -lxiy +痴工+?疝工=0同理：厚£j=。2 .证明哈密顿算符为厄密算符解考虑一维情况im &k与 f=-*为厄密算符，,（刀为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符八取：上应本征值13,（对废;联二多切办 dx1 dx. ax"乎壮野村*dx 1-01 1d工7乜yt也工一”明j办jhx 加j

7、dx力逑+c i 3t、 f d川里= -<p -b + 1 （） = 1ax1ax j dx dx小办产小小g畋切小fq2掰dd为厄密算符产e'为实数乎,/血z= jg）血xaa二r = t+y为厄密算符且和£工共同的正交归一化本征函数完备集为,hh44£ 二 4 '"/，试证明：'土黜也是界和l共同本征函数，对分别为： 小wg土中。证忸匕&q到人心）=4的加）=*+妒（&%）。，工几 是非的对应本征值为 小+ 1） 的本征函数l"小坊也4）=（4 1 士也/=（明士加工几）-色土4是的对应本征值为（用土的

8、本征函数 又：工）5£ 上1川工4±1£t七三 gt/nlwil可求出：%田二丸即领豆菊m/居:可际丽春而工牌±i（q）二.有关力学量平均值与几率分布方面升人，a中（工）-月七磔（-） h =-十工21.（1）证明2 是 心的一个本征函数并求出相应的本征值；（2）求x在手（/）态中的平均值>2_的6）=（一1+工勺力白打解dr.ae 2二田w是救的本征函数。本征值 4=1耳二”印（苏）工-c&2.设粒子在宽度为 a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数t （工）=sin cos - xjet a a描写。求粒子能量的可能值相应的概率及

9、平均值【解】乎（工）=cos-a 加 a j1 r . e , 3x.sin 十 sin 廿 a口 =2 . 7ix一 s1£l + j-suia a y ff）=鲂 +仍（x）*q/212宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数2sina注意：是否归一化波函数能量本征值岛=芸 23出现五的几率"之，出能量平均值1 1 «=r +r =阳2 2* 2 2“另一做法居 1 2 .r a2 d2 , 2 , 2i）与乐 口己 2h小而 ，2ft2 r ? lr . g1 舒 lr .如dx-sin1- sin - - sinw2aa d2津防，'=昌=j-q2/

10、做:3 . 一维谐振子在1 = 0时的归一化波函数为= avfn 22h& =咨 2hts月 f j =:现餐的几率12= e,十二房 22后=呼*(1)加(启rr mcos 一 ta.m、卜 sin a彩0)=，%4 j啊山qg所描写的态中式中，式中式行是谐振子的能量本征函数，求（1）q的数值；2）在必（齐，°态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）。口时系统的波函数（4）£> 0时能量的可能值相应的概率及平均值解（1）鼻二近.3十!）工,稣二乎中 唯二;一 ，玛二l青田 % = 1一,一，百=£1工?瓦£20时,四我»x,

11、正以，0）归一化，x,心5 二-ac?町二 1-，口，、3 口 12三十一£飞十h a）2105=% ok '0依,。=2a % 0"£2°时，能量的可能值、所以：fi" -？即 口 -卜。13-1卫y=依屋+虫化+后仍相应的概率、平均值同（2）。4.设氢原子处于状态呼田2)= 孔4* 争/)1网中)求氢原子的能量，角动量平方以及角动量 z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量 的平均值。区一座空解能量本征值期能量本征态斗，；.：一当n=24时乎乎=/(7 + 1)w-u =口+1)方=2 wfh = 2/户勺=2炉乎乎本征值为

12、的2二上工丫源加夫几月=力出现的几率为100%可能值为u都出现的几率分别为：4 4 o5 . 在轨道角动量 r和工£共同的本征态 七(8a-3(1). j (2) 4% .解:£*=%(0-=f4 s)那千溺口士港上小八向心”门=0 =2#±，匚¥二九= 0,£/二。三测不准关系%上3忖噂f1.粒子处于状态' ，/式中j为常数，测不准关系(才 (&2¥ =y解先归一化l2 喈1j(i)动量平均值彘认为右，二2蜡囿1日，w)下，试求下列期望值求粒子的动量的平均值，并计算二二上2若、i /严下v附：-r常用积分式：1 .力

13、学量的矩阵表示由坐标算符的归一化本征矢 产）及动量算符/构造成算符a和总方二国国卜）咋）十位日埒试分别：1）.求2和在态卜势下的期望值；2）.给出方和忘的物理意义【解】（1）.设态矢阴已归一化俚=1亍三阳臼巧=促口附下六句口汨巧=联卯伊"忸、*仍（粒子位置几率密度）哗田心俚fx响巧向皴网（利用"1%（产| = 1化到坐标表象）#,中同尸斯'+ #便fx尸同分5到又：一一二司外二-法办成产-打曲"'（f）端君伉_尸胜（尸）+j步卬'（尸t 一流叫同尸-广胜 伉）二二d力中'（丑¥同尸一产）】坐（尸）+卜尸室俨）t产前尸一尸胜

14、（尸）卜电）空+曾丐中（用三和）2 .试证明：由任意一对以归一化的共腕右矢和左矢构成的投影算符p二11（1）.是厄密算符，（2）.有户,=/，（3） . 5的本征值为0和1【证】（1）.厄密算符的定义,二仍 % =及；=氏；同自屑二也同（同利公三侧巧俚,”5悝丫（田二（卜忸乂乎盼）* =（上历同*-”悝乂叫为厄密算符已归一化切巧二i斯=|4俚忸x巧=|巧俚卜/（3）.由户的本征值方程5无）=入入= f ,） 二 乂 五）,又：i小碎）二却）即：咐-正"。悯二。2-尤=04=。1（本题主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符号的应用）3.分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无

15、限深势井中（宽度 修）基 态粒子的波函数。（本题主要考查波函数在具体表象中的表示）【解】所描述的状态，基态波函数（1）.在x表象:(2).动量表象:2 .自 x<- sin -n口三天三。 a a0, a < 0? a > a|当=物伊乂下怛j巴国二a j工匕(p比q(m =煮:h心3%)=也白©*%)3当)=切亦乂阳二 hat看“方&姆i（3）.能量表象卬向44cd氏=1 1-3悝的骂）何当=尔小疝禺）t00同样一个态在不同表象中的表示是不同的，不同的表象是从不同侧面来进行描述 的.4人4 g.444.取月和七的共同表象，在 二1角动量空间中写出 广，4,

16、乂-的矩阵（本题主要考查算符矩阵的求法凡.=（冽 11«）【解】尸，乙的共同本征函数为9弓力3在？二1 空间"十1/0，-1(1) .二，一丫个几二小+1"，44三匕(1-1|1-1) = &0即=(i+i r |x+i)= 2ft210 0、产=2炉0 1 0出0 1同样(1-1|1-1)= -ft (l34|l0= o (if+：|£r| 1,+1>=au 0 0、z2 => fi o o oq 0 -b(2)利用:z±|j/w) = a j下腑)« 士物+1) |/f»s ± 1)利用正交

17、归一条件 fwi|z+ p：胭)=ft+ms' + 1)&-w +1)a证.r*（匕匕饱）=柬立i = a （i； |zjio）=工中/=先行工=%0 o £%n方。o y/2j00同样, 000、l_ =fi 4100、0 五01rt43 3)' 'j101l勺0 01力1 0、n 1 j2t以0 1 hh1 0 0=h1 0 1220 oje i b1。10；八工矩阵:h = 0 2e 05.已知体系的哈密顿量£ n可，试求出(1) .体系能量本征值及相应的在 育所在的表象的正交归一化的本征矢组(2) .将声对角化，并给出对角化的么正变换

18、矩阵【解】002(1) .久期方程1°解之 二 -,3.%设正交归一的本征矢-本征矢w归一化”一我将对应归一本征矢7-：6电，力3即为 后的本征函数集(2) .点对角化后，对角元素即为能量本转换矩阵为6. 证明：将算符矩阵f对角化的转换矩阵的每一列对应于算符的一个本征函 数矢量ffi严算符的本征矢:则f算符在自身表象中为一对角矩阵： 叫二侧方=4%对另一表象力学量的本征矢“二卜庐阳/二佃，=£ m ixa忸 s 乂fw 汪ss*m = (/?|«)传情刎#的本征矢依. a7. ae为厄密算符。加=即=1 与十茴=。 求算符且且的本征值，在a表象下求算符 且月的矩阵

19、表示。解:- 十二炉工1设4的本征值为丈,本征函数为a = ±l同理算符a月的本征值也为±i在a表象，算符幺的矩阵为一对角矩阵，对角元素为本征值，即利用1兀、oj0 -1b为厄密算符m二b,0 %、 闻。;r 0<p2l印二1ii* ;21%、lo mt瓦.二取：=1三%fo n b =第五章例题重点：微扰论i. 一根长为f,无质量的绳子一段固定于支点，另一端系质量为的下，质点在竖直平面内摆动。i）在小角近似下，求系统能级；的基态能量的一级修正。/=掰g由=喀廖（1 cost 解：i ）势能：系统的哈密顿量a二枭/2憎产（db） 2在小角近似下：x =二一三十一耀磨上

20、了 =dx2 2ij戛=卜+加ii ） 若不考虑小角近似播质点声，在重力作用ii）求由于小角近似的误差产生1 h = - ia + 物g/q - l 以尸da） h -=掰g?（1 cgshj ：1r < i 2 i 4=wsgz 1 - 1r 4-日_ i 21 卬阴妙j一些工4124 户又1"二以=w/尸"见碎=0|即0=（。卜4二萼e用 乂/1利用公式百融二后1修一1）方”）二,/sr ,明qjz即二邺六l：j和）=上心目；g/e。1/" ' 4rf)2 j. o)1e+l)1)d平+於|1)=3加)+阕2)同样（o x2 = i+ 应1、.2

21、阳拉）,2. 一维谐振子的哈密顿量为2用加 2，假设它处于基态，若在加上一个弹力年=13m八作用2,使用微扰论计算 日,对能量的一级修正，并与严格解比较。2n - 2-步图乍闻，（收噌1 2«±1 = _2m+1 jl 22除制耳，二例一（2事+ 1）醴4演曲11） 严格解百=.且4/+".2 加 dx1 22中发生了变化（1、s -四十一方中'1 2）a）= = j- 1h = 03 1hv m 胞 1 k） 氏l 1 石 1）£d 1 + 2 大"）口（】t cis1/w2） 2 ksi31 ,1世1品三sq =*+24 mo15掰

22、曲3.已知体系的能量算符为“匚辽,占量算符。（1）求体系能级的精确值。（2）1+怦然解嘲+榨1嗯”）_协4胸03丁+ 佐 +&f2班小3 2、12j a & +也,其中心御»工二0 , l为轨道的角动视上项为微扰项，求能级至二级近似值。解:i）精确解令曲 ，并在y 平面上取方向并：d a?n acos b = =sin .-方与z轴的夹角为日，则j才+好jfl?+比1.十xl1t - va?2 -na3 （l- cosfi + l. sin &） = j/ 十？z.丹jrv 3疗二小十j31十如工4f与之£相互对易，它们的本征值分别为& =;

23、（/+1>3/= 0比2-4=加方周=。,±1±2,-,体系能级为£金二人，十1）力一十族jq*十圮二驳？+1）后茎十活益口 + -+-）2-ii）微扰法力二中+犷中=上+城£h p必启0的精确解为本征函数a（仇卡匕曰 / =比w +1）川 +械函 本征能量 ',-按微扰论=（加因'|加）=工伽区j配）=0利用了公式溃jfc双 十 w2）（一附+1）幽一 1一万/（/一 q +阴+1），溶 +1,能量二级修正为（/最ly 士吟=更+酬寸万时4.1n - 3 斤而前+弟卢3瞄= ld>（7+。一徵 +1） （2- （，+ ra+

24、l）=-a2-.届 22 a>在二级近似下/矽磴+磴+*it=iq + 1）方*七+海岫+ jm2 一2（d* 21直“ -f-wsg?3（j2 ty二+/）4.三维谐振子，能量算符为hf数。如这振子又受到微扰,闺工二1的作用，求最低的两个能级的微扰修正。2摘 2,试写出能级和能量本征函并和精确值比较。解:（1设,q的能量本征函数为可（九乂口=平（1）33）甲匕）代入方程小亶（工小三型5）2）-3卬"田3）9+母汇）于"。）乎3） +乎（月皆3寸（切 2+ 1初/（/ +/+z?）田于j）中二后田尔0）4 2m联 )0(力口12,222、 l-+ + 4-+>

25、+/)= e2田 于 ?(z)2一贮父j2 t(x) 221力联(j)12 21产承 12人 l+-1活山 y +-f fnoj z = e2幺h(y) 22不 2e"二方斗力0乙1-2 1-2 1-2 + + 十 : b 乎 乎 产一次/一以献-加 _ _ _纥二方乙/ 二力田（1+川;）乙3£ = £吗+?0n = /十力”十力*n y鹭腹a j, z)=%8)巴,3),(2).基态的微绕修正对基态波函数中嘏二七%s)%磴基态能级的零级2,无简并k . = j- (jk +1(5 r .十乐8 r ，),fi 寸2掰0?w-ish林=心产产,jg演与二；掰m7

26、%同盘)k) = 0能量的二级修正：唯一不等于零的矩阵元为悝需同勺勘=2年叫1邪2所朗。(螭冏砌;9理.第一激发态嘘号5叫2!=与叫与之二万方田干叔二%骂并zj*计算 故不为零的矩阵元为* 2 10x010摩丸、ho.40久期方程可求出能量的一级修正上(4).精确解身二.1令典- -4"门omw 一工loo广工oi”=u掰出口门00 1引010)五2=5翘3 %.1。 =40和 04h.' - -fioj0040001j-ftfis 043 砂 0 =00靖?(» = 0靖=。痴赞=-*+工所山彳贪口 +沙2+户)2m 2c+>)片+(”.=铲+苏w二”-产月

27、 =t- h储£ 4(2甥港3 22相祖武二苏。+令%号=(砥+然田】+(% + 3充叱一(“、好铲r- 4 w 心飞叮)+ (7- h肉 a? £ ,样 22ws2封二国，0-多(勺=(%+;)内或1二方曲但十，1、 l . _ aj +(总e + /i 由 11 + 24 323 二方叱+加)-：豆qm基态% =方第一激发态-z£j 115 11+r" +-)ftfl>ci-)a +(«, + -)*«1 j?+ +4 32)+的斗；)内虫靠a*>(1 + +%) +=宓必勺-%)3.1 由的 r出 232a? + a

28、qj- -ha) 416工丸工r afinifl -nnj- -nm- 1一方q01024165比3%广大一马丘5.设粒子的势能函数 sz 是坐标的n次齐次函数,m现比卜尤'（工,产 试用变分法证明，在束缚态下，动能t及势能v的平均值满足下列关系 2t = nv （维里定理）证设粒子所用的态用归一化波函数于（o*）描写则t=同."总）（一二工）攻”/心 2。v = 呼'（工乂力/伏,力乎（工,乂工）今1 = t取试态波函数为/i） = （?公,私心）由归一化条件/横而=|c" ij ? *= i41|cj忸（&勿,武上）彳=1叫1,$r（z）=j/a

29、x- -v2）犬日艰丫盅=吃皿电*塌十方焉）阴,血右力步=j%网行-/（袅+忌7+品） 空（乩现心烦祠d（&）双灼二万?7=j 5 a）/x）闾0加力宓=j *里,办,对l，衣,期,曲安（知，秒,玲 5 巩触）观新川（触） =上t j ¥* gu &,触於（既加尢）软及却,角）d （qm （加）d位）=£叩亘=t（z）+ r（z）=好 t 4；r”“=27 -孽q-i沅=0dk二当九二1时，试态波函数即是粒子所处的束缚态波函数。'-再应在尤=1时，取极值2胃-/ = 06.氢原子处于基态，加上交变电场岂三耳虑4?）,左八电离能，用微扰论一级近似计算氢

30、原子每秒离几率。解:解这一类问题要搞清楚三个要素，初态末态是什么？微扰矩阵元-初态：氢原子基态丁”末态： 自由状态上.s,二点厂旬范为能量为百沌，在单位立体角的末态密度。微扰=/产+厂时）次=|屈（&）dd?以4m二居"i可刷万（叫喊卬）。=悝三叼8咽为0）'5上加3' “屯co£瓜分?d田研r炉（侬;户jy= r,（总:2万i-a说二周7.转动惯量为i,电偶极矩为一支工k1 1g7/ c-2 2） 为十.2加3a/4#汽dclde ：臾.由）产展或hc鸣32声甜鬲*京+然绮宣网吟+d的平面转子，置于均匀场强 e a& x方向）中，总能量算符

31、成直=-七工-0£乂 为一基态能量近似值。八好h解:方法一21j=> -r与一位谐振子的能量本征方程博0,成为旋转角（从x轴算起）如果电场很强，步很小，求旌c门户1小7- - de 0 s h r de （1 /）肃212成二旌里小口17 t +白s犬丁 =（巨+0公乎*2-q4田+溶/中二百卯2口 h步2比较犍时一 口包方法二 用变分法所得结果与方法二一致8.设在豆,表象中,.皿（=加w斤二针匹eds=2i-,取归一化的试探波函数ji -皿f0上（一加工步工文）t-2 33m=-j必量"项涧=f21d族41v（q - 一。宫-cos 滑d$ 二一。在r % -z）&

32、#163;（1 - 1y）豆（鼻）二了（工）+,（£）=与一。£414下=0saxa¥门j乒中.空屋再6二一口£十一j h 1/ e21 i/o丑的矩阵表示为a o出二0 g b其中试用微扰论求能级二级修正解:在耳口表象中,a 1h0,0 h'= 01第六章例题1.有关泡利矩阵的一些关系的证明（注意应用一些已知结论）cr 口 .tr* = i1).1；(2).a01 xl,'-*= i2-»s-l.设 =则况0,同"二犯【证】.仃巴y = 0%。- % 二玉%2叫叫 = 244b 产* = »= 淄 +力；+

33、城 + 产/人+ bjfb/j上 + %。)工+ byb/ yis + 仃工”y =，+b产占 j八十吟5* l1+吗%，尸4, 二1+i%网,)+i%g%)+，* g凡)(4) ” 一 丁 一 v' 一 , 二 (4).上十n二人+23g t%.=以，叫一1，4+壮产仃/+匕尸"=-语/=4%二丫_4 二2 .证明：炉气，一厂6'%)并利用此结论求归口 3本征值 【证】住1卷，二(巧产新十5u%/+=十小b如+ b1r (7杷+c% b加£7小=口量+白"了口1口/仃1#疗"豆十口奸%*仃打521十行13 ©上口仃打十51离口

34、吊仃心叮初十次也口7如仃1#=篇=3+仃如,疗口尸,十%尸乜5尸，b力.+ b1st7 b加，叮力二3 +(i % )(方%)+ (i %x /% h & 5 jqi % j=3- 2自房设bl，仃3的本征函数为z则-1七一二一. 伍 3j £ =川g "己丘=下£又卜2信金），=（3- 2观.-.把= 3-2% 尸+2工一号-0 冗二 15二一3 ,3 .设为工常数，证明 户三8£2+ ? 4sm工【证】将再展开成仃工的募级数，有中 1*>181产户疗？承田室叫:,与n1,总为偶数q = 1 ；*为奇数与二名上式=2>+s>w

35、普+噫乜（-1口产£（-炉团如1h （涮 5（状+。4 .求自旋角动量在任意方向袁（方位角为 40 ）的投影的本征值及本征矢（在 鼻表-、= sr sin scosrf + s. sin sin +s. cosfi象），*宜尸【解】 在名表象中ap 0、5o tf在0h表象中的矩阵表示为0)afosm g 匚。$ 嫉 h2v0j门上生n sin e sm 雄 d- 21。012 laincos+? sui 8疝的sin flcos 步一 ism 5sin $-cos .色 cos2 gin 国呼.象 sin e-c-?'s a.设j的本征值为工，相应本征矢为,本征方程为sin

36、的7、%)2 1sin a-co& j a2)解久期方程 cos日一尤 2方 rin 4i*em ce2-sin 囹n2hcos p - a2ft=0, z = +2上代入本征方程cos 由1+ sin 跌 一%sin 出洋口i - cc>: = a2丐(1 - cos 切与一 sin 3由归一化条件.+口口三1"f"i(sin 句i sin 6 rsin e2)8cos 21 - c<>s a&sin.日22对应的本征矢为ecos 2sin 产2a同样：-对应的本征矢为.esin 29-cos - e2通过本题讨论我们发现，鼻的本征值为自

37、旋算符在在任意方向上的分量与的本征值也十生是o也进一步推广，对任一种角动量算符尸的本征值为加斗帽，人的本征值为海- 1-在任意方向上的分量£的本征值的可能值也为方向，磁作用势为5.有一个定域电子（不考虑轨道运动）受均匀磁场作用，磁场指向正2u,设上二0时电子的自旋向上，即2,时£的平均值。解设自旋函数工3在表象中oj<0体系的哈密顿算符可表示为 则自旋态所满足的薛定谓方程为d 、力、流以）=/双e）da(£)曲曲鼻"。）"t破'0）三一山二"。）4" +曲也&）三。同理b' = 0值) = a

38、coso/ + e£ sin 过b(l) = a cos al a-js sin 面自旋代=或必叨再由x0)= oda(t)di-i ojb (£)-j4面血 展十法出c8位二-i&ia cos + 5 a）sin-a=b' 百二一工's' = -1 5 = 0“&)=g£ 由 b(t) = -jsul o3tkgcos flit10 1' cosffiewjs,；. = (t)= (cc»sai i sin elm =|工q) 叁/(£)= - -sin 2必工 =zr+ ft) -式工出=cos2c/"2"2靠式”）6.在自旋态 力中，求解e=叶一瓦而、戈'）立）储力1 = 1其中式）已归一化k ',求（1）.同时测量户为2炉