第二章函数的微分92405

1、函数的微分函数的微分 前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概它的近似值。由此引出了微分学的另一个

2、基本概念念微分。微分。一、问题的提出一、问题的提出实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.,00 xxx 变到变到设边长由设边长由0 x0 xx x ,20 xa 正方形面积正方形面积20 xa 2020)(xxxa .)(220 xxx )1(xx 0 xx 0:)1(;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数ax )2(2)( x :)2(.,很小时可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷小xx 再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(

3、3332020 xxxxx )1()2(,很小时很小时当当 x ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是.320 xxy 既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?二、微分的定义二、微分的定义定义定义.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xadyxdfdyxxxfyxaxxfyxaxoxaxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或记作记作的微分的微分相应于自变量增量相应于自变量增量在点在点为函数为

4、函数并且称并且称可微可微在点在点则称函数则称函数无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立如果如果在这区间内在这区间内及及在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy ( (微分的实质微分的实质) )由定义知由定义知: :;)1(的线性函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量xdy ;)()2(高阶无穷小高阶无穷小是比是比 xxodyy ;,0)3(是等价无穷小是等价无穷小与与时时当当ydya dyy xaxo )(1).0(1x;)(,)4(0有关有关和和但与但与无关的常数无关的常数是与是与xxfxa ).(,)5(线性主部

5、线性主部很小时很小时当当dyyx 三、可微的条件三、可微的条件定理定理).(,)()(000 xfaxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数证证(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),( xoxay ,)(xxoaxy xxoaxyxx )(limlim00则则.a ).(,)(00 xfaxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数(2) 充分性充分性,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx ,)(0 xfxy即即),()(0 xxxfy 从而从而),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00

6、axfxxf 且且可微可微在点在点函数函数).(.0 xfa 可微可微可导可导.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记作记作微分微分称为函数的称为函数的的微分的微分在任意点在任意点函数函数由微分的定义及上述定理可知由微分的定义及上述定理可知处可导处可导在在若若0)(xxfxxfdyxxf )()(00 处可微，且处可微，且在在则则时时当当0)(0 xf1)(limlim000 xxfydyyxx )0(xdyy )( yodyy yxxfyydyyxx )(limlim000 xyxfx )(1lim000 这表明这表明的条件下的条件下在在0)(0 xf时时当当0 xdyy

7、不仅是比不仅是比x 高阶的无穷小，而且也是比高阶的无穷小，而且也是比y 高阶的无穷小，因此高阶的无穷小，因此的主要部分的主要部分是是 ydy .,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微微商商导导数数也也叫叫该该函函数数的的导导数数之之商商等等于于与与自自变变量量的的微微分分即即函函数数的的微微分分dxdy四、微分的几何意义四、微分的几何意义几何意义几何意义:(:(如图如图) )xyo)(xfy 0 xmt） xx 0 p nx ydy)( xo .,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵

8、坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy .,mnmpmx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 五、微分的求法五、微分的求法dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdcdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxx

9、ddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdcducuddvduvud 例例1 1.),ln(2dyexyx求求设设 解解,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例2 2.,cos31dyxeyx求求设设 解解)(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(c

10、os3131 .)sincos3(31dxxxex 六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性),()(xfxfy 有导数有导数设函数设函数;)(,)1(dxxfdyx 是自变量时是自变量时若若则则微函数微函数的可的可即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若),(,)2(txtx ,)(dxdtt .)(dxxfdy 结论结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx dxxfdy)( 微分形式的不变性微分形式的不变性例例3 3.),12sin(dyxy求求设设 解解. 12,sin xuuyududycos )12()12cos

11、( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 例例4 4.,sindybxeyax求求设设 解解)(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例5dxdydybaeyxxy,求求设设 解一解一 两边同时求微分得两边同时求微分得)()(yxxybaded )()()(yxxyxybdaadbxyde lnlnbdyadxbaydxxdyeyxxy bdyadxxdyydxlnln dxbxyady lnlnbxyadxdylnln 解二解二两边取对数得两边取对数得byaxxyl

12、nln 两边对两边对 x 求导，有求导，有byayxylnln bxyadxdylnln dxbxyady lnln由上面的例子还可以看出，求导数与求微分的方法由上面的例子还可以看出，求导数与求微分的方法在本质上并没有区别，因此把两者统称为在本质上并没有区别，因此把两者统称为微分法微分法七、微分在近似计算中的应用七、微分在近似计算中的应用1.计算函数的近似值计算函数的近似值;)().1(0附近的近似值附近的近似值在点在点求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x ;0)().2(附近的近似值附近的近似值在点在点求求 x

13、xf., 00 xxx 令令,)()()(000 xxfxfxxf .)0()0()(xffxf 2.常用近似公式常用近似公式)(很小时很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为弧度为弧度为弧度为弧度证明证明,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 八、小结八、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题导数的概念导数的概念函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念求导数与微分的方法求导

14、数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:.可微可微可导可导 导数与微分的区别导数与微分的区别:.,)(),()(. 10000它是无穷小它是无穷小实际上实际上定义域是定义域是它的它的的线性函数的线性函数是是而微分而微分处的导数是一个定数处的导数是一个定数在点在点函数函数rxxxxfdyxfxxf )(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 .)(,()()()(,)(,()()(,. 200000000的纵坐标增量的纵坐标增量方程在点方程在点处的切线处的切线在点在点是曲线是曲线而微而微处切线的斜率处切线的斜率点点在在是曲线是曲线从几何意义上来看从几何意义上来看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf 近似计算的基本公式近似计算的基本公式,很很小小时时当当 x 00 xxxxdyy .)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,0时时当当 x.)0()0()(xffxf 思考题思考题 因因为为一一元元函函数数)(xfy 在