第1章曲线与曲面第2节

1、)()()()( )()(afbfdxxfabfafbfba数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group第一章 曲线与曲面第一节 空间形式概述第二节 平面与空间直线的方程第三节 曲面及其方程 第四节 曲线的表示形式2021年11月14日星期日数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group 2第二节 平面与空间直线的方程一、平面及其方程一、平面及其方程 1、平面方程平面方程 2、平面间的位置关系平面间的位置关系 二、二、空间直线及其方程空间直线及其方程 1 、空间直线的方程空间直线的方程 2

2、、直线间、直线与平面的位直线间、直线与平面的位置关系置关系数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group 3 1、平面方程、平面方程 法向量法向量(normal vector):与一平面垂直的向量向量(vector)称为该平面的法向法向量量(normal vector). 点法式方程点法式方程（point-normal form equation）一、一、平面及其方程平面及其方程1mn000()()()0a xxb yyc zz),(cban ),(0001zyxm 的坐标数学与生物信息学教研室mathematics & bioinf

3、ormatics group 4 2、二维空间：位于一个平面（一直线平动或转动形成）上、二维空间：位于一个平面（一直线平动或转动形成）上点的全体。点的全体。 （1）特征与代表：平面（）特征与代表：平面（plane）是二维空间的代表）是二维空间的代表. 可以可以向两个独立的方向发生移动和转动向两个独立的方向发生移动和转动. （2）数形结合：平面直角坐标系；极坐标系；其它坐标系，）数形结合：平面直角坐标系；极坐标系；其它坐标系，本质是二维空间中的点与实数对之间形成的一一对应关系本质是二维空间中的点与实数对之间形成的一一对应关系. （3）度量）度量:两点间距离公式两点间距离公式 （4）物理模型：台面

4、、墙面、（假想的）地平面）物理模型：台面、墙面、（假想的）地平面一、几何空间一、几何空间22)()(bdacmn数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group 5 3、三维空间：空间（、三维空间：空间（一个平面沿一直线方向（不在该平面内）一个平面沿一直线方向（不在该平面内）移动或作旋转移动移动或作旋转移动一直线平动或转动形成）点的全体。一直线平动或转动形成）点的全体。 （1）特征与代表：可以向三个独立的方向发生移动和转动；）特征与代表：可以向三个独立的方向发生移动和转动；现实世界的物体是其代表现实世界的物体是其代表. （2）数形结合：空间直角

5、坐标系；其它坐标系，本质是三）数形结合：空间直角坐标系；其它坐标系，本质是三维空间中的点与实数对之间形成的一一对应关系维空间中的点与实数对之间形成的一一对应关系. （3）度量）度量:两点间距离公式两点间距离公式 （4）物理模型：现实世界的物体；）物理模型：现实世界的物体；一、几何空间一、几何空间数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group 一、平面的点法式方程平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 数学与生物信息学教研室mathematics &a

6、mp; bioinformatics group zyxo0mn一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程),(0000zyxm设一平面通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzcyybxxam称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.,),(zyxm任取点),(000zzyyxx法向量.量, ),(cban nmm000nmmmm0则有 故的为平面称n机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group kji例例1.1.求过三点,1m又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx01591

7、4zyx即1m2m3m解解: 取该平面 的法向量为),2,3, 1(),4, 1,2(21mm)3,2,0(3m的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程346231nn3121mmmm机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group 此平面的三点式方程三点式方程也可写成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情况一般情况 : 过三点)3,2, 1(),(kzyxmkkkk的平面方程为说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研

8、室mathematics & bioinformatics group 特别特别, ,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(crbqap1czbyax时,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程为 pozyxrq分析:利用三点式 按第一行展开得 即0ax yzab0a0c机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group 二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两

9、式相减 , 得平面的点法式方程此方程称为平面的一般平面的一般0dzcybxa任取一组满足上述方程的数,000zyx则0)()()(000zzcyybxxa0000dzcybxa显然方程与此点法式方程等价, )0(222cba),(cban 的平面, 因此方程的图形是法向量为 方程方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group 特殊情形特殊情形 当 d = 0 时, a x + b y + c z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 a = 0 时, b y + c z + d = 0 的法向量

10、平面平行于 x 轴; a x+c z+d = 0 表示 a x+b y+d = 0 表示 c z + d = 0 表示 a x + d =0 表示 b y + d =0 表示0dczbyax)0(222cba平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(icbn机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group 例例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.解解: 因平面通过 x 轴 ,0 da故设所求

11、平面方程为0zcyb代入已知点) 1,3,4(得bc3化简,得所求平面方程03 zy机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group 三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为 cos即212121ccbbaa222222cba212121cba两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.122n1n),(1111cban ),(2222cban 2121cosnnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研室mathematics &am

12、p; bioinformatics group 2特别有下列结论特别有下列结论：21) 1 (0212121ccbbaa21/)2(212121ccbbaa),(:),(:2222211111cbancban1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group 因此有例例3. 一平面通过两点垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 设所求平面的法向量为,020cba即ca2的法向量,0cbaccab)()0(0) 1() 1

13、() 1(2czcycxc约去c , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zcybxa)1, 1, 1(1m, )1, 1,0(2m和则所求平面故, ),(cban方程为 n21mmn且机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group 外一点,求),(0000zyxp0dzcybxa例例4. 设222101010)()()(cbazzcyybxxa222000cbadzcybxad0111dzcybxa解解: :设平面法向量为),(1111zyxp在平面上取一点是平面到平

14、面的距离d .0p,则p0 到平面的距离为01prjppdnnnpp010p1pnd, ),(cban (点到平面的距离公式)机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group xyzo0m例例5.解解: 设球心为求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx , 1000zyxrzyx000因此所求球面方程为000zyx633331, ),(0000zyxm四面体的球面方程.从而)(半径r2222)633()633(633)633(zy

15、x机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group 内容小结内容小结1.平面平面基本方程:一般式点法式截距式0dczbyax)0(222cba1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzcyybxxa)0(abc机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group 0212121ccbbaa212121ccbbaa2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角

16、公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222dzcybxa),(2222cban , 0:11111dzcybxa机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(1111cban 数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group 一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及其方程数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group 一、空间直线方程一、空间直线方程xyzo01111dzcybxa0222

17、2dzcybxa1 2 l因此其一般式方程1 1. 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group ),(0000zyxm2. 对称式方程对称式方程故有说明说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.mxx000yyxx设直线上的动点为 则),(zyxmnyy0pzz0此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)直线方程为s已知直线上一点),(0000zyxm),(zyxm例如, 当,0, 0时pnm和它的方向向量 , ),(pnms

18、 smm/0机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group 3. 参数式方程参数式方程设得参数式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group 例例1 1.用对称式及参数式表示直线解解: :先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .)2,0,

19、 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group 故所给直线的对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思路解题思路: 先找直线上一点;再找直线的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group 2l1l二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1. 两直线的夹角

20、两直线的夹角 则两直线夹角 满足21, ll设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group 特别有特别有:21) 1(ll 21/)2(ll0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研室mathematics &

21、 bioinformatics group 例例2. . 求以下两直线的夹角解解: 直线直线二直线夹角 的余弦为13411:1zyxl0202:2zxyxl cos22从而4的方向向量为1l的方向向量为2l) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研室mathematics & bioinformatics group 当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;l2. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 l 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足.2222222cbapnmpcnbma直线和它在平面上的投影直),(pnms ),(cban ),cos(sinnsnsns sn机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学与生物信息学教研室mathematics &