第四部分常微分方程数值解

1、 第四部分第四部分 常微分方程常微分方程数值解法数值解法本章主要介绍本章主要介绍一阶一阶常微分方程初值问题的常微分方程初值问题的数值解法数值解法。 初值问题及其初值问题及其数值解数值解的概念的概念1 引言引言常用的一些常用的一些解析解法解析解法：常数常数变易变易法、积分因子等法、积分因子等分离变量分离变量法、变量法、变量变换变换、一阶一阶常微分方程初值问题：常微分方程初值问题：00( , );()dyf x y axbdxy xy ( ) ( , )f x y对于初值问题对于初值问题 ，如果，如果 在下列区域内连续：在下列区域内连续：( ) （解的（解的存在唯一存在唯一性）性）;|gaxby

2、且关于且关于 满足满足lipschitz条件，即存在常数条件，即存在常数 ，使，使y0l 1212|( ,)( ,)|;,f x yf x yl yyx yg 则初值问题则初值问题 存在唯一解，且解是存在唯一解，且解是连续可微连续可微的。的。( ) 所谓所谓数值解数值解是指：在解的是指：在解的存在区间存在区间上取一系列点上取一系列点012.nxxxx 逐个求出逐个求出 的近似值的近似值1 2 3(, , ,.)iy i ()iy x0;ixxih 等距等距节点：节点：:h步长步长 初值问题初值问题 的解析解及其数值解的的解析解及其数值解的几何几何意义：意义：( ) oxy初值问题初值问题 的解

3、表示过点的解表示过点 的一条的一条曲线曲线( ) 00(,)xynx (,)nnxy ),(00yx( )yy x 0 x),(00yx 2x),(22yx 1x),(11yx 初值问题初值问题 的数值解表示一组的数值解表示一组离散点列离散点列( ) (,)iixy可用可用拟合拟合方法求该组数据方法求该组数据 的的近似曲线近似曲线(,)iixy积分积分曲线曲线2 euler方法方法 euler方法的导出方法的导出212()()()()!nnnnh yy xy xhy x 将将 在点在点 处进行处进行taylor展开展开1()ny x nx略去略去 项：项：2h然后用然后用 代替代替 ，即得，即

4、得ny()ny x1()()(, ()nnnny xy xhf xy x 10 1 21(,), , ,nnnnyyhf xynn 称上述公式为向前称上述公式为向前euler 公式。公式。y0 x1x)(xyy 0 x 0 x1x2x3xnx0y1y2y3ynynx1nxnx1nx)(,(xyxfx0yeuler，1707-178318世纪数学巨星世纪数学巨星“分析的化身分析的化身”),(1nnnnyxfhyy欧拉迭代格式：欧拉迭代格式：2112()()()()!nnnnh yy xy xhy x 若将若将 在点在点 处进行处进行taylor展开展开()ny x1nx 略去略去 项：项：2h然

5、后用然后用 代替代替 ，即得，即得ny()ny x111()()(, ()nnnny xy xhf xy x1110 1 21(,), , ,nnnnyyhf xynn称上述公式为向后称上述公式为向后euler 公式。公式。向后向后euler 公式为公式为隐式隐式格式，需要利用格式，需要利用迭代法迭代法求解求解解：解：向前向前euler公式：公式：1(,)nnnnyyhf xy 101( )dyxydxy 例例1：分别利用向前和向后分别利用向前和向后euler方法方法求解初值问题求解初值问题的的数值数值0 1 .h 解解（取步长为（取步长为 ）10 10 90 1.nnnyxy 向后向后eul

6、er公式：公式：111(,)nnnnyyhf xy1110 10 11 1( . ).nnnyxy局部截断误差局部截断误差和和阶阶假设假设 是是准确准确的，用某种方法计算的，用某种方法计算 时产生的截时产生的截ny称称 为某方法在点为某方法在点 的的整体截断整体截断误差误差()nnney xy nx1ny 断误差，称为该方法的断误差，称为该方法的局部局部截断截断误差。误差。其中其中 为自然数，则称该方法是为自然数，则称该方法是 阶的或具有阶的或具有 阶精度。阶精度。如果给定方法的如果给定方法的局部截断局部截断误差为误差为11()pnto h ppp如向前如向前euler方法的方法的局部局部截断

7、截断误差误差2()o h 一阶一阶方法方法)(2)(211yhyxynn ),(1nnnnyxhfyy ),(),(2111 nnnnnnyxfyxfhyy预测预测： 校正校正：隐式的处理隐式的处理：3 龙格龙格- -库塔（库塔（runge-kutta）方法）方法 ),(),(12122111phkyphxfkyxfkkkhyynnnnnn 若取其一组解若取其一组解21(,)nnkf xh yhk1122()nnhyykk 1()nnkf x y 若取其另一组解若取其另一组解1,2121 p 21, 1,021 p 类似前面的处理方法，可以得到类似前面的处理方法，可以得到四级四级方法方法5()

8、o h局部截断局部截断误差误差最常用的一种最常用的一种四阶四阶方法：方法：11234226()nnhyykkkk 1(,)nnkf xy 2122(,)nnhhkf xyk3222(,)nnhhkf xyk43(,)nnkf xh yhk解：解：101( )dyxydxy 0 1 , x 例例2：用用四阶四阶runge-kutta方法求解下列初值问题方法求解下列初值问题 。0 1 .h 经典的四阶经典的四阶runge-kutta公式：公式：11234226()nnhyykkkk 11;nnkxy21122nnhhkxyk431.nnkxhyhk 32122;nnhhkxyk 4 方程组方程组与

9、与高阶高阶方程的数值解法方程的数值解法一、一、一阶微分方程组初值问题的一阶微分方程组初值问题的一般形式一般形式1112221212( ,)( ,)( ,)mmmmmdyfx yyydxdyfx yyydxdyfx yyydx 初始条件初始条件:1122( )( )( )mmy ay aya 写成写成向量向量的的形式形式:12( )( )( )( )my xy xy xyx 12( )( )( )( )my xy xy xyx 12( , )( , )( , )( , )mf x yf x yf x yfx y 12m ( )( , )( )y xf x yy a n=2对应的对应的runge-

10、kutta公式公式( , , )( , , )dyf x y zdxdzg x y zdx 0000()()y xyz xz 11234226()nnhyykkkk 11234226()nnhzzllll 1(,)nnnkf xyz 211222(,)nnnhhhkf xyk zl322222(,)nnnhhhkf xykzl433(,)nnnkf xh yhk zhl1(,)nnnlg xyz 211222(,)nnnhhhlg xyk zl322222(,)nnnhhhlg xykzl433(,)nnnlg xh yhk zhl作下列作下列变量代换变量代换可将其化为可将其化为一阶方程组一阶方程组的初值问题的初值问题:(1)(1)000101( , ,)(),(),()nnnnnd yf x y yy