勾股定理经典例题详解

1、勾股定理经典例题详解知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a, b,斜边长为c,那么s2 + b2= c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三 角。（3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2, b2=c2-a2 ,c2=（a+b） 2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。'=（* *二1 * * x 不"*2 .j.21图（1）中-,所以厘+6 =

2、63;(1)q da方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。o 一a图（2）中=（ic?）2 -f4x （3口 q *之，所以二/十上方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3） 1和（3） 2所小的两个形状相同的正方形在（3） 1中，甲的面积=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积） 精选文档在（3） 2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积）所以，甲的面积二乙和丙的面积和，即： d二M十方 方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。D= 2M工岫+1-之 2,所以0 +8=E知识点三：勾股定理的作用1 .已知直角三角形的两条边长求第三边

3、; 边的关系；2 .已知直角三角形的一条边，求另两3 .用于证明平方关系的问题;段。4 .利用勾股定理，作出长为 厩 的线精选文档2.在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数） 显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：3、4、55、12、13; 8、15、17;7、24、25; 10、24、26;9、40、41.如果（a,b,c是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在 RtAABC 中，/

4、C=90°（1）已知 a=6, c=10,求 b,（2）已知 a=40, b=9,求 c；（3）已知 c=25, b=15,求a.思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变 形使用。解析：（1）在 ABC 中，/ C=90° ,在 ABC 中，/ C=90° ,a=40总结升华:在 ABC 中，/ C=90° , 有一些题目的图形较复杂,c=25c=10,b=一 b=9,c="''' b=15,a=J不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解, 把四边形面积转化为三角形面积之差或和。但中心思想还

5、是化为直角三角形来解决。如:本题通过将图形转化为直角三角形的方法，举一反三【变式】：如图/ B=/ACD=90° , AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少？【答案】/ ACD=90°4AD = 13, CD=12 . .AC2 =AD 2CD2=132 122二25：AC=5又ABC=90° 且 BC=3：由勾股定理可得AB2二AC2 BC2=52-32二16 AB= 4：AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图,已知：在1ABe中,BC的长.思路点拨:由条件上5二60口4 = 50、=30.求:ADrBCBD = -AB = 5N皿。=3

6、012，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作用刀,AC于d ,则因/方=60c',.N24D = gy60°三3-（点A的两个锐角互余）BD = -AB = A5 2（在澄中，如果一个锐角等于3Q ,那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在触题中，AD=虚 -B炉二3Q J= 15、回根据勾股定理，在温电四。中，CZ）三 J心-3 = 70a-l5X3 = 65 .三一二二二-匚二二一5-15 二 M .总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理分析：如何

7、构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的 边选第三种较为简单。解析：延长AD、BC交于E精选文档举一反三【变式1】如图，已知：=, /亚=CM , MP±AB于p.求证:而在知AAMF中，则根据勾股定理有MP2 二工小-AP2.国=-为到）月下在中，根据勾股定理有BM* -CM） =耽三二二-必.【变式2】已知：如图，/ B=/D=90° , / A=60° , AB=4, CD=2。求：四边形ABCD的面积。/ A= / 60° , / B=90 ，:

8、/ E=30:S 四边形 ABCD =Saabe-Sa cde= 2 AB . BE-2 CD . DE=A AE=2AB=8 , CE=2CD=4 ,. BE2=AE 2-AB2=82-42=48 , BE=巫="立。DE2= CE2-CD2=42-22=12, : DE= "1" =21 1C M 4思路点拨：图中已有两个直角三角形，但是还没有以 BP为边的直角三角形.因此， 我们考虑构造一个以 BP为一边的直角三角形.所以连结BM.这样，实际上就得到了 4 个直角三角形.那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系 解析：连结BM,根据勾股定理，在如皿

9、?中，又 AM = CM （已知），精选文档类型三：勾股定理的实际应用(一)用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了知口在m到达b点，然后再沿北偏西30。方向走了 500m到达目的地C点。(1)求A、C两点之间的距离。(2)确定目的地C在营地A的什么方向思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。解析：(1)过B点作BE/ADDAB= ZABE=60 °30° +/CBA+/ABE=180°CBA=90°即 ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m, a

10、b=51口心m由勾股定理可得： 口 J-十所以一'kL(2)在 RtAABC 中，BC=500m, AC=1000m：/ CAB=30 vZ DAB=60 ：/ DAC=30即点C在点A的北偏东30°的方向总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出 ABC是直角三角形是解 决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图 的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？II .叫«工来一【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图

11、所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CDLAB,与地面交于H.解：OC=1米（大门宽度一半），OD = 0.8米 （卡车宽度一半）在RtOCD中，由勾股定理得：CD =8、= JF - q 炉=0 . 6 米，CH=0 .6 + 2 .3 = 2 .9 （米）2 .5 （米）.因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进 行电网改造，某地有四个村庄 A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计 划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助 计算一下，哪种

12、架设方案最省电线.思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算 线路长，然后进行比较，得出结论.解析：设正方形的边长为1,则图（1）、图（2）中的总线路长分别为AB+BC+CD =3, AB+BC+CD =3图（3）中，在Rt ABC中同理'图（3）中的路线长为图（4）中，延长 EF交BC于H,则FHXBC, BH=CH30SAf =-由/ FBH =2 及勾股定理得：EA = ED = FB= FC= 36加：EF=1-2FH=1- 3：此图中总线路的长为 4EA+EF =1+力讨2一7323>2.828>2.732;图（4）的连接线路最短，即

13、图（4）的架设方案最省电线.总结升华：在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学 知识进行计算，比较从中选出最优设计.本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等 三角形的性质.举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm, B C是上底面的直径.一只蚂蚁从点 A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出爬行的最短路程.解:如图，在RtABC中，；6。=底面周长的一半=1 0 cm,根据勾股定理得（提问：勾股定理）.ac = J庚=汗 +1。，= 2a = 10, 7 7 （ cm）（勾股定理）.答：最短路程约为1 0.77 cm.类型四：利用勾股定理作长为

14、赤的线段5、作长为金、拈、的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为 1的等腰直角三角形，斜边长就等于 忑，直 角边为6和1的直角三角形斜边长就是 胆,类似地可作 后。作法：如图所示（1）作直角边为1 （单位长）的等腰直角 ACB,使AB为斜边；（2）以ab为一条直角边，作另一直角边为i的直角。斜边为出* ;（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形 羔岛，这样斜边上春、幽、身比、 曲的长度就是上、旧、币、眄。总结升华：（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位，如 1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位 即可。举一反三【变式】在数轴上表示

15、/市的点。解析：可以把血 看作是直角三角形的斜边，（W 三io,为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1O A B作法：如图所示在数轴上找到 A点，使OA=3 ,作ACXOA且截取AC=1 ,以OC 为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点 B即为J历。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1 .原命题：猫有四只脚.（正确）2 .原命题：对顶角相等（正确）3 .原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.（正确）4 .原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.（正确） 思路点拨：掌握原命题与逆

16、命题的关系。解析：1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2 .逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3 .逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.？（正确）4 .逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（正确） 总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果 ABC的三边分别为 a、b、c,且满足a2+b 2+c2+50=6a+8b+10c ,判断AABC 的形状。思路点拨：要判断 ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ,故只有从该条件入手，解决问题。解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10

17、c ,得：a2-6a+9+b 2-8b+16+c2-10c+25=0,;(a-3f+(b-4)2+(c-5)2=0。v (a-3f > 0, (b-4)2> 0, (c-5)2> 0。; a=3, b=4, c=5。V 32+42=52,:a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得 ABC是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常要用到。举一反三【变式 1】四边形 ABCD 中，/ B=90° , AB=3, BC=4, CD=12, AD=13 , 求四边形ABCD的面积。【答案】：连结ACvZ B=90 °

18、 , AB=3 , BC=4AC2=AB2+BC2=25 （勾股定理）：AC=5. AC2+CD 2=169, AD 2=169：AC2+CD 2=AD 2：/ ACD=90 ° （勾股定理逆定理）S他照= iiABC - =豆岫- EC他【变式2】已知: ABC的三边分别为 m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数，且m>n),判断ABC是否为直角三角形.分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明：a2+b2=c2即可证明：一：.一"J力 个-m 2 浇禺 +/=(加+犬-所以 ABC是直角三角形.2【变式3】如图正方形 ABCD, E为BC中点，F为AB上一

19、点，且BF=4 AB。 请问FE与DE是否垂直？青说明。【答案】答:DE ±EFo证明：设 BF=a,则 BE=EC=2a, AF=3a , AB=4a, ：EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;DE2=CE2+CD 2=4a2+16a2=20a2。连接DF （如图）DF2=AF 2+AD 2=9a2+16a2=25a2。：DF2=EF2+DE2,FEXDEo经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是 3: 4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过 比值设未知数，再根据

20、勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是3x, 4x,根据题意得：(3x) 2+ (4x) 2= 202化简得x2=16;直角三角形的面积= 之X3xx4x= 6x2= 96总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解。举一反三【变式1】等边三角形的边长为 2,求它的面积。【答案】如图，等边 ABC,作ADLBC于DJ.则：BD = 2 BC (等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)-. AB=AC = BC = 2 (等边三角形各边都相等).BD= 1在直角三角形 ABD 中，AB2=AD2+BD2,即：AD

21、2= AB2-BD2= 4-1.AD = 2Sa ABC = 2 BC AD =招正注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为a a。【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x, v,根据题意得：a十尸十5 = 121一+/ =，"由(1)得：x+y = 7,(x+y) 2 = 49, x2+2xy+y2 = 49 (3)(3)(2),得：xy=12J _：直角三角形的面积是 2 xy=2 x 12= 6 (cm2)【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1 , n+2, n+3 ,求n。思路点拨：首

22、先要确定斜边(最长的边)长 n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：(n+1) 2+ (n+2) 2= ( n+3) 2化简得：n2 = 4：n = ±2,但当 n=2 时，n+1= 1<0,n= 2精选文档精选文档总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目 没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是()A、8, 15, 17B、4,5,6C、5,8, 10 D、8,39,40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较

23、大的可以用 c2= a2+b2的变形：b2 = c2a2= (ca) (c+a)来判断例如：对于选择D,82W ( 40+39) X ( 40 39),;以8, 39, 40为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。【答案】：AAB=3, BC=4, CD=12, AD=13 ,求四边【变式5】四边形ABCD中，/ B=90 形ABCD的面积。解：连结AC / B=90° , AB=3, BC=4 .AC2=AB2+BC2=25 （勾股定理）：AC=5. AC2+CD 2=169, AD2=169 .AC2+CD 2=AD 2：/ ACD=90 ° （勾股定理逆定理）

24、1：S 四边形 ABCD =S A ABC +Sa ACD = 2 AB - BC+ 2 AC - CD=36类型二：勾股定理的应用2、如图，公路 MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN = 30° ,点A处有一所中 学，AP=160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在 公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响， 已知拖拉机的速度为18km/h ,那么学校受影响的时间为多少秒？版PA 0思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A,实质上是看A到公路的距 离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则

25、不受影响，故作垂线段 AB并计 算其长度。(2)要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A的影响所行驶 的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作AB± MN ,垂足为Bo在 RtMBP 中，/ ABP = 90° , / APB = 30° , AP = 160,2：AB=2ap=80。(在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一 半).点 A到直线MN的距离小于100m, ;这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,BC2= 1002-802=

26、 3600,： BC=60。那么 AC=100(m),由勾股定理得:同理，拖拉机行驶到点 D处学校开始脱离影响，那么，AD = 100(m), BD =60(m),：CD = 120(m)。拖拉机行驶的速度为：18km/h = 5m/s t = 120m- 5m/s = 24s。答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的 时间为24秒。总结升华勾股定理是求线段的长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件则可以通 过作辅助垂线的方法，构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走步路(假设2步为“捷径”，在花园内

27、走出了一条“路”。他们仅仅少走了 1m),却踩伤了花草。解析：他们原来走的路为 3+4设走“捷径”的路长为xm,则£ = /y+4*=5故少走的路长为 75=2(m)又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了 4步路。【答案】4【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是 边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。(1)直接写出单位正三角形的高与面积。(2)图中的平行四边形 ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？(3)求出图中线段 AC的长(可作辅助线)正 L3电【答案】(1)单位正三角形的高为 2 ,面积是224（2）如图可直

28、接得出平行四边形 ABCD含有24个单位正三角形，因此其24乂虫=6布面积 4。（3）过A作AKLBC于点K （如图所示），则在 RtAACK中，5AC = VAKi + KC上万，故4-类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题 转化为直角三角形问题来解决.3、如图所示， ABC是等腰直角三角形，AB=AC , D是斜边BC的中点，E、F分 别是AB、AC边上的点，且 DEXDF,若BE=12 , CF=5.求线段 EF的长。思路点拨：现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，解：