勾股定理经典例题(含答案)

1、勾股定理经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在 RtA ABC 中,C C=90 °(1)已知 a=6, c=10,求 b,(2)已知 a=40, b=9 ,求 c； (3)已知 c=25, b=15,求 a.思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1)在 4ABC 中，/ C=90(2)在 ABC 中，/ C=90(3)在 ABC 中，/ C=90，a=6,a=40,c=25c=10,b= M -=8b=9,c=b=15,a=-举一反三【变式】如图/ B=/ACD=90° , AD=13,CD=12, BC=3,则AB

2、的长是多少？【答案】一/ ACD=90AD = 13, CD=12AC2=AD 2 CD2=132 122二25AC=5又. / ABC=90 ° 且 BC=3 由勾股定理可得AB2=AC2 BC2 =52-32 =16AB= 4AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在 必犯中，= AC = 70 ,53=30 .求bc的长A精选文档30°AD、DC的长，进而求出 BC的长.思路点拨：由条件/8=60口，想到构造含3口口角的直角三角形，为此作 /于D,则有再由勾股定理计算出解析：作工白工3C于D,则因= 60。, ./取口 =20-6。0 = 31 (由A

3、的两个锐角互余)BD = -AB = A5-(在坨中，如果一个锐角等于那么它所对的直角边等于斜边的一半)根据勾股定理，在用人口中,AD = JAB* - ED* = J3- 15, = 15出 根据勾股定理，在出口仃口中，CD= JB M = 70a-15ax3 = 65求证：二.二，.-.，1 I 匚一二二-二 .举一反三【变式1】如图，已知：上口=9。，用M二CM ,叱，于p.解析：连结BM,根据勾股定理，在中，.而在用AAM产中，则根据勾股定理有 叱二 AM2- AP2 .L'一一广】.二 ，/.I：又 AM = CM （已知）， 一.二厂 一； I - .在陵A3C/中,根据勾

4、股定理有 ?.一 ，- 【变式2】已知：如图，/ B=/D=90,/ A=60,AB=4 , CD=2 。求：四边形 ABCD的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC,或延长 AB、DC交于F,或延长 AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长AD、BC交于E。. / A= / 60° , / B=90° , ./ E=30 °。AE=2AB=8 , CE=2CD=4 ,BE2=AE 2-AB2=82-42=48, BE= 国=4下。d DE2= CE2-CD2=4 2-22=12, .1

5、. DE=1S 四边形 abcd=Saabe-Sacde = AB BE-1 CD DE=推类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A点出发，沿北偏东 60。方 向走了 5口口行m到达B点，然后再沿北偏西 30°方向走了 500m到达目的地 C 点。（1）求A、C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地A的什么方向。解析：（1）过B点作BE/ADDAB= /ABE=60 °.30° + /CBA+ /ABE=180 °止/ CBA=90 °即 ABC为直角三角形由已知可得：BC

6、=500m, AB= 5口口Sm由勾股定理可得：AC 3 = BC 2 + AB(2)在 RtAABC 中，BC=500m, AC=1000m/ CAB=30 ° / DAB=60 °/ DAC=30即点C在点A的北偏东30°的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？【答案】由于厂门宽度足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于 点D在离厂门中线0.8米处，且CD XAB , 与地面交于H.=1米（大门宽度一半），= 0.8米（卡车宽度一半）CH .如图所示,

7、OCD中，由勾股定理得：=打诃智=肝二病=。.6米，CH=O .6 + 2 .3 = 2 .9 （米）>2 .5 （米）.因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.思路点拨：解答本题的思路是： 最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较,得出结论.解析：设正方形的边长为 1,则图（

8、1）、图（2）中的总线路长分别为AB+BC+CD =3, AB+BC+CD =3图（3）中，在RtAABC中同理图（3）中的路线长为图（4）中，延长 EF交BC于H,则FHXBC, BH = CH30。 .班=-由/FBH=上及勾股定理得：EA = ED = FB=FC= 36走. EF= 1 2FH = 1 m，此图中总线路的长为 4EA+EF = '*£*:2.732'''3>2.828>2.732图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线. 一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm,高A B为4cm, B C是上底面

9、的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出爬行的最短路程.解:(提问：勾股定理).AC=小炉+2 / =2" 10. 77( cm)(勾股定理).答：最短路程约为10.77 cm.类型四：利用勾股定理作长为行的线段5、作长为而、再、逐的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为 i的等腰直角三角形，斜边长就等于 J5 ,直角边为 息 和1的直角 三角形斜边长就是 也,类似地可作 出。作法：如图所示(1)作直角边为1 (单位长)的等腰直角(2)以AB为一条直角边，作另一直角边为(3)顺次这样做下去，最后做到直角三角形3和1。ACB,使AB为斜边；1的直角"阴。

10、斜边为凡* ;& 3 ,这样斜边用二、i、 之、的长度就是举一反三【变式】在数轴上表示'历的点。可以把反看作是直角三角形的斜边，=10 了有利于画图，让其他两边的长为整数，10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3 ,作ACXOA且截取AC=1 ,以OC为半径,以O为圆心做弧，弧与数轴的交点 B即为加。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1 .原命题：猫有四只脚.（正确）2 .原命题：对顶角相等（正确）3 .原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.（正确）4 .原命题：角平分线上

11、的点，到这个角的两边距离相等.（正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2 .逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3 .逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.？（正确）4 .逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（正确）总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果AABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断A ABC的形状。思路点拨：要判断A ABC的形状，需要找到 a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ,故只有从该条件入手，解

12、决问题。解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ,得：a2-6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0,（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0。（a-3）2>0, （b-4）2>0, （c-5）2> 0。a=3, b=4, c=5。32+4 2=52,a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得A ABC是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常要用到。,AB=3 , BC=4 , CD=12 , AD=13 ,求四边形 ABCD 的面举一反三 【变式1】四边形 ABCD中，/ B=90 积。【答案】

13、：连结AC/ B=90° , AB=3 , BC=4AC2=AB2+BC2=25 （勾股定理）AC=5 AC2+CD 2=169, AD 2=169. . AC2+CD 2=AD 2/ ACD=90 ° （勾股定理逆定理）£西功霞心二口 = t OABC .）皿SC CD =36【变式2】已知： ABC的三边分别为 m2n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数，且m>n）,判断 ABC是否为直角三角精选文档形.分析:本题是利用勾股定理的的逆定理,只要证明：a2+b2=c2即可证明:所以 ABC是直角三角形._1【变式3】如图正方形 ABCD, E为BC中点，

14、F为AB上一点，且BF= 4AB。请问FE与DE是否垂直叫说明。DE ±EFo明：设 BF=a,则 BE=EC=2a, AF=3a , AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;DE 2=CE2+CD 2=4a2+16a2=20a2。连接DF （如图）DF2=AF2+AD 2=9a2+16a2=25a2。df2=ef2+de2, FEXDE o经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3: 4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数, 勾股定理列出方

15、程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是3x, 4x,根据题意得：（3x） 2+ （4x） 2=202化简得x2= 16;再根据，直角三角形的面积= 之X 3xX 4x= 6x2= 96总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。举一反三 【变式1】等边三角形的边长为 2,求它的面积。【答案】如图，等边 ABC,作ADLBC于D2则：BD=之BC （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合） AB = AC = BC= 2 （等边三角形各边都相等）BD = 1在直角三角形 ABD 中，AB2=AD2+BD2,即：AD2 = AB

16、2-BD2=4- 1 = 3AD =Sa abc =注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为 &精选文档a。精选文档【变式2】直角三角形周长为 12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x, y,根据题意得：卜十*十5 二 12+ V = 5a (2)由(1)得：x+y = 7,(x+y) 2=49, x2+2xy+y 2= 49 (3)(3)(2),得:xy= 122 J，直角三角形的面积是 之xy=之X 12= 6 (cm2)【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1 , n+2, n+3 ,求n。思路点拨：首先要确定斜边(

17、最长的边)长 n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：(n+1 ) 2+ (n+2) 2= (n+3) 2化简彳导:n2= 4，n=±2,但当 n = 2 时，n+1 = 1<0 ,，n=2总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边 哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是()A、8,15,17 B、4,5,6 C、5,8,10D、8, 39, 40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用 c2= a2+

18、b2的变形：b2=c24=(c a) (c+a)来判断。例如：对于选择 D,82w ( 40+39) X ( 4039),.以8, 39, 40为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。【答案】：ACD=12 , AD=13 ,求四边形 ABCD的面积。【变式5】四边形 ABCD中，/ B=90° , AB=3 , BC=4, 解：连结AC / B=90 ° , AB=3 , BC=4 . AC2=AB2+BC2=25 (勾股定理)AC=5 AC2+CD 2=169, AD 2=169AC2+CD 2=AD 2/ ACD=90 ° (勾股定理逆定理) S四边

19、形ABCD 二S ABC +S ACD二 '匚 AB - BC+ 上 AC - CD=36类型二：勾股定理的应用2、如图，公路 MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN = 30° ,点A处有一所中学，AP = 160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于 100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段 AB

20、并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束 影响学校。解析：作ABXMN ,垂足为B。在 RtMBP 中，. / ABP = 90° , / APB=30° , AP=160,1AB=2aP=80。(在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半)点 A到直线MN的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶到点 C处学校开始受到影响，那么AC=100(m),由勾股定理得：BC2= 1002-802= 3600,.

21、,. BC=60。同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么， AD = 100(m), BD=60(m),CD = 120(m)。拖拉机行驶白速度为：18km/h =5m/st= 120m + 5m/s = 24&24秒。答：拖拉机在公路 MN上与旨PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为总结升华：勾股定理是求线段的长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件，则可以通过作辅助垂线的方法，构,在花园内走出造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”2步为1m),却踩伤了花草。解析：他们原来走的路为 3+4

22、= 7(m)了一条“路”设走“捷径”的路长为 xm,则邑=J'+4' =5故少走的路长为 7 5= 2(m)又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了 4步路。【答案】4【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为 这样的三角形称为单位正三角形。1的正三角形,(1)直接写出单位正三角形的高与面积。(2)图中的平行四边形 ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少?(3)求出图中线段 AC的长(可作辅助线)。出1 I 币4Y | V_ _【答案】（1）单位正三角形的高为2 ,面积是Q 2424 X -=（2）如图可直接得出平行四边形

23、 ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积4。（3）过A作AKLBC于点K （如图所示），则在RtAACK中,H广一 1 5 AC = +KC5 = J J2 =相KC = 14 1 + * ? k2 j上2 ,故/'类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问 题来解决.3、如图所示， ABC是等腰直角三角形，AB=AC , D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点,且DE，DF ,若BE=12 , CF=5.求线段 EF的长。路点拨：现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD .解：连接AD .因为/ BAC=90 ° , AB=AC . 又因为AD为 ABC的中线，所以 AD=DC=DB . AD ± BC.且/ BAD= / C=45° .因