中职数学基础模块上册知识点

1、第一章  集合一、集合的概念1.集合与元素由一些确定的对象所组成的整体就称为集合（简称集）。集合中的每个确定的对象叫做这个集合的元素。集合通常用大写的字母A,B,C，.表示。集合中的元素通常用小写的字母a,b,c，.表示。元素与集合的关系：如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：aÎA，读作“a属于A”；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A，记作：，读作“a不属于A”集合的三个特性：确定性：作为集合的元素，必须是能够确定的。互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素是互异的。无序性：集合中的元素没有前后顺序。集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：

2、含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：x|x2=5常用数集及其记号：非负整数集（即自然数集）       记作：N   正整数集（即自然数集中排除0）  记作：N*或 N+ 整数集（整数全体）             记作：Z 有理数集（有理数全体）        

3、0;记作：Q 实数集（实数全体）             记作：R2、集合的表示方法列举法：当集合元素不多时，把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。如： a,b,c描述法：将集合中所有元素的公共特性描述出来，写在大括号内表示集合。如：xÎR| x-3>2 ,x| x-3>2  |具有的性质，其中为集合的代表元素.图示法：用韦恩图来表示集合.二、集合之间的关系1.“包含”关系子集（1）定义：如果集合A的任何一个元素

4、都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：（或B）。读作“A包含于B”，“B包含于A”。反之，集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA，读作“A不包含于B”，“B不包含于A”。注意：有两种可能：（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。2“相等”关系集合相等、真子集 集合相等：如果两个集合的元素完全相同，那么我们就说这两个集合相等。记作：A=B。    由相等的定义可知：如果AÍB，且BÍA,那么A=B；反之，如果A=B，那么AÍB且BÍA。也就是说

5、任何一个集合是它本身的子集。AÍA真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA),读作“A真包含于B”，或“B真包含A”。或若集合AÍB，存在xB且x  A，则称集合A是集合B的真子集。如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B3.子集与真子集的区别如下：名称记号意义性质示意图子集A中的任一元素都属于B(1)AA(2)(3)若且，则(4)若且，则或真子集AB（BA），且B中至少有一元素不属于A（1）（

6、A为非空子集）(2)若且，则集合相等A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BA4. 不含任何元素的集合叫做空集，记为。约定: 空集是任意一集合的子集， 对于任何集合A，都有A。空集是任何非空集合的真子集。集合的子集个数：有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集。   5. 注意区分:0、0、。三：集合的运算运算类型交   集并   集全集、补集定 义对于两个给定的集合A,B,由既属于A又属于B的所有元素所组成的集合,叫做A与B的交集，记作AB，读作“A交B”，即AB=x|

7、xA，且xB。对于两个给定的集合A,B,由集合A，B的所有元素所组成的集合，叫做A,B的并集，记作：AB，读作“A并B”，即AB =x|xA，或xB)如果一些集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为这些集合的全集，通常用U表示。设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作，读作“A在S中的补集”。即：CSA=性 质A  A=A A =AB=BAABAA BBAUA=A  AU=AAUB=BUAAUBAUBB(CuA)(CuB)= Cu(AUB)(CuA) 

8、;U (CuB)= Cu(AB)AU(CuA)=UA(CuA)=名称记号意义性质示意图交集且（1）（2）（3）     并集或（1）（2）（3）     补集(1)  （2）(3) (4) 全集U(CuA)(CuB)= Cu(AUB)(CuA) U (CuB)= Cu(AB)AU(CuA)=UA(CuA)=四：充分条件与必要条件1.   一般地，“如果p，那么q”为真命题，是指由p通过推理可以得出

9、q，这时，我们就说，由p可推出q,记作：pq，读作“p推出q”。并且说p是q的充分条件，或q是p的必要条件。2.   一般地，如果既有pq，又有qp,就记作：pq,此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件。读作“p与q等价”或“p与q互为充要条件”。 p是q的充分条件，q是p的必要条件；   q是p的充分条件，p是q的必要条件     p是q的充要条件小技巧：1.“大范围小范围，小范围大范围”      

10、60;  2.,(子集与推出的关系)五、康托尔与集合论1、康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家。2、康托尔在世界数学史上创造了数学中的一个全新领域：集合论。3、集合论：如果两个无限集M，N的元素之间存在一一对应，那么它们所含元素个数是相等的。第二章  不等式一、不等式的基本性质：1、实数的大小比较原理：     作差比较法：作差比较的步骤：作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。2、不等式的基本性质

11、：（1）传递性：  ， （2）加法法则：，故 推论： （3）乘法法则：，推论1：推论2：推论3：具体细分如下：(对称性)   (传递性)  （加法法则）（同向可加）；（异向可减）； (乘法法则) (乘法法则推论) ( n>0)  (成方法则) （倒数法则） 二、区间1、开区间：满足不等式a<x<b的所有实数的集合，叫做开区间，记作（a，b）。在数轴上用介于a，b两点之间而不包括端点的一条线段上所有的点表示，也

12、可以用形如xa<x<b的集合表示。2、闭区间：满足不等式axb的所有实数的集合，叫做闭区间，记作a，b。在数轴上用介于a，b两点之间并包括端点在内的一条线段上所有的点表示，也可以用形如xaxb的集合表示。3、半开半闭区间：满足不等式ax<b或a<xb的所有实数的集合，叫做半开半闭区间，记作a，b）或（a，b。其中a，b）在数轴上用介于a，b两点之间并包括a端点而不包括b端点的一条线段上所有的点表示，也可以用形如xax<b的集合表示；（a，b在数轴上用介于a，b两点之间并不包括a点但包括b点的一条线段上所有的点表示，也可以用形如xa<xb的集合表示。4、实数集

13、R也可以用区间（-，+）表示，“”读作“无穷大”，它不是一个具体的数，只是一个记号。它前面的“+”和“-”号表示方向。三、一元一次不等式（组）的解法1、一元一次不等式的解法解题步骤依次为：第一步：去分母；第二步：去括号；第三步：移项；第四步：合并同类项，化成不等式ax>b（b0）的形式；第五步：不等式两边都除以未知数的系数，得出不等式的解集为xx>ba（x的系数化为1）。       2、一元一次不等式组的解法：就是求各个一元一次不等式解集的交集。遵循原则规律：大大取大、小小取小，大小小大取中间，大大小小没有解。

14、四、一元二次不等式1、一元二次不等式的解法：形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0 (a 0)的叫作一元二次不等式。其解法：（1）开方绝对值法：1）两边同除以a,得到二次项系数为1的不等式。2）移项，配方得到（x+s）²>t或（x+s）²<t     (t>0)的形式。3）等价于| x+s |>  或| x+s |<4）解绝对值不等式，得到原不等式的解集。（2）分解因式法：把ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<

15、0 (a 0)分解成两个一次因式乘积的形式，将一元二次不等式转化成两个一元一次不等式组求解。（3）提取公因式法：提取公因式分解成两个一次因式乘积的形式，将一元二次不等式转化成两个一元一次不等式组求解。（4）一般的方法为：如果ax²+bx+c=0 (a 0)有两个实数根x1,x2，那么ax²+bx+c=0可以分解为a（x-x1）(x-x2)=0。这样利用一元二次方程求根公式，可达到分解二次三项式的目的。（5）图像法：先做出ax²+bx+c=0的图像，然后找出图像在x轴上方的点（或下方的点），进而找到上方的点（或下方的点）对应的x的范围，就是一元二次不等式ax

16、8;+bx+c>0或ax²+bx+c<0 (a 0)的解集。判别式二次函数的图象一元二次方程的根（其中无实根的解集或的解集2、一元二次不等式解集为R或解集为的情形五、含有绝对值的不等式1、含有绝对值的不等式在实数集R中，当m>0时，那么 |x| < m <=> x ²< m ² <=> -m<x<m， |x| > m <=> x ²> m ² <=> x>m或x<-m。当m0时，|x| < m的解集为空集。2、含有绝对值的不等

17、式的解法：不等式解集 (小于号取中间)或 (大于号取两边)把看成一个整体，化成，型来解3、分式不等式的解法 （关键：转化整式不等式来解）    ；       【注意】分式不等式中的不等号为或时，转化过程中一定要使分母cx+d不为04、不等式的应用  一元一次、一元二次不等式在实际问题中的应用（解应用题）5、均值定理的应用六、著名数学家华罗庚1、华罗庚（1910-1985）是国际著名的数学家，他出生在江苏省坛县一个贫苦家庭。他是自学成才的典范，他

18、刻苦学习、勤奋钻研的精神永远是我们学习的榜样。2、1985年6月，华罗庚在访日学术报告的讲台上不幸逝世，给人类留下了近300篇学术论文及多种学术专著，还有10多种科普读物。第三章  函数一、函数的概念及表示方法1、函数的概念一般地，在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。（1）定义域的求法：是整式时，定义域是全体实数如y=kx+b、等是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数型函数的底数中含变量时，底数须大

19、于0且不等于1中，由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（2）求函数值：如根据函数解析式求f(1)、f(0)、f(a)、f(2x)等。（会求基本初等函数值域）2、函数的表示方法（1）列表法：用表格的形式来表示两个变量之间的函数关系的方法。（2）解析法：把两个变量之间的函数关系用一个等式来表达。这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。（3）图像法：用图像来表示两个变量之间的函数关系的方法。二、函数的性质1、函数的单调性（注意：说单调性时指明单调区间）增(减)函数：函数值y随自变量x的增大而增大(减小)，减小而减小(增大)。证明函数单调性的方法：第一步：计算和；第

20、二步：计算k=,通过化简变形等得出k的正负;第三步：根据k的正负得出结论.k>0时，函数在给定区间上是增函数，k<0为减函数。2、函数的奇偶性定义及判定方法函数性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(x)=f(x),那么函数f(x)叫做奇函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(x)=f(x),那么函数f(x)叫偶函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）若函数为奇函数，且在处有定义，则奇函数在轴两侧相对称的

21、区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反三、函数的实际应用列举1、函数应用的例子：（1）商品件数和总价格的函数关系；（2）运行总路程和运动时间的函数关系；（3）行李费用和行李质量的函数关系；（4）月销售量和价格的函数关系；（4）总利润和产量的函数关系；（4）总长度和长、宽的函数关系；2、一次函数的图像和性质解析式：其中k，b为常数，且。（图像为一条直线）当b=0时，为正比例函数，图像经过原点，图像关于原点对称，函数是奇函数；当时，y=kx+b图像不过原点，函数没有奇偶性。当k>0时，图像主要经过一三象限，函数在R上是增函数；当k<0时，图像主要经过二四象限，函数在R上是

22、减函数重点：一次函数主要掌握一次函数解析式的求法。3、反比例函数定义: 叫做反比例函数1）定义域：x；值域：y；2）是奇函数，图像关于原点对称3）当k>0时，函数在区间（-，0）与区间（0，+）内是减函数；当k<0时，函数在区间（-，0）与区间（0，+）内是增函数4、求二次函数解析式( )待定系数法求二次函数解析式：   一般式顶点式两根式      5、二次函数的图象及性质a>0a<0图象开口向上向下对称轴直线x=直线x=顶点坐标最值x=时，y有最小值x=时，

23、y有最大值单调性时单调递减单调递增时单调递增单调递减奇偶性b=0时偶函数，图像关于y轴对称 ()时没有奇偶性 第四章 指数函数与对数函数一、实数指数幂1. 有理数指数幂（1）整数指数幂正整数指数幂：当n是正整数时，a的n次幂。   （n个a相乘）约定1：负整数指数幂 约定2：零指数幂        (0的0次幂无意义)(2) n次根式若，则b叫a的n次方根当n为奇数时；当n 为偶数时； 当n为奇数时，实数a的n次方根只有一个，

24、记作，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数；当n为偶数时，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，记作，其中叫算术根；0的n 次方根是0。 （n）;      （3）分数指数幂一般地，当，且n>1时，规定：   (a0）； (a>0）； 特别地：根据上述规定，可以把整数指数幂的概念推广到有理数指数幂。3、实数指数幂及其运算性质有理指数幂的运算法则：有理指数幂的运算性质与整数指数幂的完全相同。整数指数幂的运算性质是有理数的特殊情况。当a>0时，还可以把有理指数幂推广到实数指数幂，有理指

25、数幂的运算性质对于实数指数幂仍然成立，即：二、幂函数列举幂函数的图像与性质一般地，函数 叫做幂函数。其中，x是自变量，n是实常数。性质：1.都通过固定点(1,1)；2.在上，当时，函数是增函数；n<0时是减函数。三、指数函数指数函数的定义、图象及性质 函数名称指数函数定义图象a>10<a<1定义域R值域过定点图象过定点（0，1），即当x=0时，y=1奇偶性非奇非偶函数单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高，在第二象限内，a越大图象越低。四、对数1、对数及其性质1)定义：一般地，（a>0且

26、），就是a的b次幂等于N，b叫做以a为底与N对应的指数，我们把这个对应的指数，简称对数，记作（N>0）,读作b是以a为底的N的对数。其中a叫做底数（）简称底，N叫做真数。我们把叫做指数式，叫做对数式。事实上，对数式不过是指数式的另一种表达形式特别地，以10为底的对数叫做常用对数，通常记为；以e为底的对数叫做自然对数，e2.7182818，通常记作。2)根据对数定义，可以得到两个恒等式：3)根据对数定义，对数具有下列性质：Ø  ，N>0，零和负数没有对数Ø  ，当底数和真数相同时等于1Ø  ，当

27、真数等于1的对数等于02、对数的运算法则（1）（2）（3）（真数的次数n可以移到前面来）（4）（底数的次数n变成 可以移到前面来）（5）3、换底公式            4、指数式与对数式的互化 （，N>0）（注意a、b、N在指数式和对数式中时的名称）五、对数函数的图象及性质：a>10<a<1图象性质（1）定义域：（2）值域：R(3)过点（1，0），即当x=1时，y=0(4)在上是增函数(4)在上是减函数六、指数不等式、对数不等式

28、     1)     2)第五章 三角函数一、角的概念推广1、在平面内，角可以看作是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。旋转起始时的射线叫做角的始边。终止时的射线叫做角的终边。射线的端点叫做角的顶点。2、我们规定:角分为正角(逆时针旋转)、负角(顺时针旋转)、零角(没有旋转的角)。3、角的“标准位置”：角的顶点和坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合。4、象限角：角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角（或称这个角属于第几象限）。轴限角：角的终边落在坐标轴上，这个角就不属于任何一个象限。5、终边相同的角：以

29、顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，且有相同终边的角。与角终边相同的角的集合：终边在x轴上的角的集合：终边在y轴上的角的集合：二、弧度制1、将一个周角分成360等分，规定其中的每一等分为1度的角，这种以“度”为单位来度量角的制度叫做角度制。而弧度制就是以“弧度”为单位来度量角的制度。2、在一个圆中，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。 3、弧度制与角度制的互化 ； ；4、弧长与面积计算公式弧长：；面积：，注意：这里的均为弧度制三、任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数1、任意角的三角函数定义2、三角函数的求值（1）常用角的三角函数值：角角度

30、弧度0三角函数值010101010101不存在10不存在0（2）三角函数值在各象限的符合及轴限角的三角函数值   口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c”）3、单位圆与三角函数线正弦线：余弦线：正切线：四、同角三角函数的基本关系式平方关系：商数关系：                              倒数关系： 五、诱导公式诱导公式一：           &