勾股定理详解与经典例题解析

1、勾股定理（基础）学习目标1 .掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想;2 .能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3 .通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题.要点梳理4 点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为“ & ,斜边长为C ,那么也.要点诠释:（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.c2 -+8），-

2、 2ab（3）理解勾股定理的一些变式：货二二一占 心二t 一盘要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.“方 35 二二图（1）中-方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）皿"="+43，所以方法三：如图(3)所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.Db2 X 口分+ c,T 口22 ，所以4十占二e要点三、勾股定理的作用1 .已知直角三角形的任意两条边长，求第三边;2 .用于解决带有平方关系的证明问题；3 .与勾股定理有关的面积计算；4 .勾股定理在实际生活中的应用.典型例题类型一、勾股定理的直接应用1、在 AB

3、C中，/ C=90°，/ A、/ B、/ C的对边分别为靠、小(1)若口 =5,匕=12,求白；(2)若二=26, & =24,求厘.举一反三【变式】在 ABC中，Z C=90° , / A、/ B、Z C的对边分别为(1)已知=6,仁=10,求出； (2)已知口 ：=至5 ,匕=32,求出、心.类型二、与勾股定理有关的证明2、如图所示，在 RtABC中，/ C= 90° , AM是中线，MN XAB,垂足为 N,试说举一反三【变式】如图，在 ABC中，/ C=90° , D为BC边的中点,DE LAB 于 E,贝U AE2-BE2等于（）A.

4、AC2 B. BD2C. BC2D . DE精选文档ABCD中，已知AD =8,折叠纸片使 AB边与对角线 AC重合,AE,且EF=3,则AB的长为（）C. 5 D. 6类型三、与勾股定理有关的线段长3、如图，长方形纸片点B落在点F处，折痕为A. 3 B. 4类型四、与勾股定理有关的面积计算4、如图，直线l上有三个正方形 a, b, c,若a, c的面积分别为5和11,则b的面积为（）A. 6 B. 5类型五、利用勾股定理解决实际问题5、一圆形饭盒，底面半径为 8e招，高为1炉明，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖?巩固练习一.选择题1 .在 ABC 中，AB

5、 = 12, AC = 9, BC= 15,则 ABC 的面积等于（）A. 108B. 90 C. 180 D. 542 .若直角三角形的三边长分别为2, 4,丑，则K的值可能有（）A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个3 .小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是 （）A. 12 米 B. 10 米C. 8 米 D. 6 米4 . RtAABC中，斜边BC=2,则用,4工的值为（）A. 8B. 4C. 6D.无法计算5 .如图， ABC中，AB = AC=10, BD是AC边上的高线， DC = 2,则B

6、D等于（A. 4B. 6C. 86 .如图，RtABC中，/ C=90° ,若AB=1求徵,则正方形 ADEC和正方形BCFG的面积和为（）A. 150B. 200s如,C. 225D,无法计算.填空题7.甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4m ,乙往南走了初，此时甲、乙两人相距8 .如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一 条“路”，他们仅仅少走了 米路，却踩伤了花草.9 .如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位: 计算两圆孔中心 A和B的距离为 mm.10 .如图，有两棵树，一棵高 萨，另一棵高产，两树相距潸,一

7、只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞 鹤.11 .如图，直线经过正方形 ABCD的顶点B,点A、C到直线的距离分别是6、8, 则正方形的边长是.12.如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽2. 4m,高3. 2m,长15m,棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积是m2.三.解答题13 .如图四边形 ABCD 的周长为 42, AB=AD=12, /A = 60° , / D = 150° ,求 BC 的长.14 .已知在三角形 ABC 中，/C=90° , AD 平分/ BAC 交 BC 于 D , CD = 3, BD = 5,

8、 求AC的长.勾股定理逆定理(基础)学习目标1 .理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2 .能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3 .理解勾股数的含义；4 .通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力要点梳理要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长 晟 瓦满足货+A =匕,那么这个三角形是直角三角形 .要点诠释：(1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形(2)勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为 直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形(1)首先确定最大边(如 白).(2)

9、验证，与1十产是否具有相等关系.若1=/+，则 ABC是/ C=90。的直角三角形；若C手也+，则4ABC不是直角三角形.要点诠释：当十C时，此三角形为钝角三角形；当M+z? 时，此三角形为锐角三角形，其中匕为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程+乎?三/的三个正整数，称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数)显然，以M产”为三边长的三角形一定是直角三角形 .熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5; 5、12、13; 8、15、17; 7、24、25; 9、40、41如果小 瓦匕是勾股数，当E为正整数时，以酿 尻，以为三角形的三边长， 此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）是-1,

10、2%期+1（*二1,题是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）2储-2% 28+ L 2筋*2期+ 1（都是自然数）是直角三角形的三条边长；用炉，加（溶；，况腿只是自然数）是直角三角形的三条边长；典型例题类型一、勾股定理的逆定理1、判断由线段 a 乱亡组成的三角形是不是直角三角形.（1）邕=7,占=24,已=25;43（2）5=号，3=1,白=1 ;（3）值二檄一次，b=rn十片，亡二2叱（海）苑二口）；举一反三【变式】一个三角形的三边之比是3:4:5则这个三角形三边上的高之比是（）A. 20:15:12 B. 3:4:5 C. 5:4:3 D. 10:8:2类型二、勾股定理逆定理的应用例3、

11、已知：明瓦1s为的三边且满足* +占'+33£ = 1°q+24占+ 2&T，试判断山叱的形状.例：4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行 12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？巩固练习一.选择题1 .在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（）.A. 9, 12, 15 B. 3, 4, 5 C. 1.4, 4.8,5 D. 4, 7, 5AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构2 .如图，在单

12、位正方形组成的网格图中标有 成一个直角三角形三边的线段是（）.A. CD、EF、GHAB、CDB. AB、EF、GHC. AB、CF、EF D. GH、3 .下列说法：（1）在 ABC中，若 才+b2w c2,则 ABC不是直角三角形；（2）若4 ABC 是直角三角形，ZC=90°,贝Ua2+b2=c2;（3）在4ABC 中，若a2+b2=c2,贝U/C=90° ：60（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12,则斜边上的高为13.其中说法正确的有（ ）.A. 4个B. 3个 C. 2个 D. 1个4 .下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的

13、是（）.A. 1 ： 1 ： 2C. 9 ： 25 ： 26B. 1 ： 3 ： 4D. 25 ： 144： 1695.已知三角形的三边长为 一，, LA. 一定是等边三角形C. 一定是直角三角形附（其中明=2总+1）,则此三角形（）.B. 一定是等腰三角形D.形状无法确定6.三角形的三边长分别为M+火2而、M孑（必都是正整数），则这个三角形是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定填空题7.若一个三角形的三边长分别为6, 8, 10,则这个三角形中最短边上的高为8 .已知两条线段的长分别为1仔徵和6c附，当第三条线段的长为 匕限时，这3条线段能组成一个直角三角形（要求三边长均为整数）.9 .已知卜.巾卜-3叱4| = °,则由此W为边的三角形是 三角形.10 .在4ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15,则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是.11 .若一个三角形的三边之比为 5: 12: 13,且周长为60M ,则它的面积为 .12 .如图，AB = 5, AC =3, BC边上的中线 AD = 2,则 ABC的面积为 .解答题1广口C n13 .已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且 CE