奥数质数、合数、分解质因素讲义及答案

1、数的整除（2）质数、合数、分解质因数教室姓名学号【知识要点】1、质数与合数自然数按其因数的个数可以分成三类：（1）单位1：只含有1这一个因数的自然数。（2）质数（也称为素数）：只含有1与它本身这两个因数的自然数。（质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2,而且2是质数中唯一的偶数。）（3）合数：含有三个或三个以上因数的自然数。（4）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。（5）因数个数定理：例如：1980=22 X 32X 5X 11所以：（T 表示因数个数） T （佃80） = （ 1+2）X（ 1+2）X（ 1+1 ）X（ 1+1） =36（6）因数和的

2、定理：例如：1980=22 X 32X 5X 11所以：S （佃80） = （ 2° + 21 + 22 ）X（ 30 + 31 + 32 ）x（ 5° + 51 ）x（ 11° +11）=7X 13 X 6 X 12=6552【典型例题】例1、两个质数的和是 49,这两个质数的积是多少？解：因为两个质数的和 49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数中只有2是质数，于是另一个质数是49 2=47，从而得到它们的积是 2 X 47=94。例2、有三张卡片，上面分别写着 2、3、4三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按任意顺序排列起来，可以得到

3、不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。解：由于2+3+4=9是3的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。任意取两张卡片排出的两位数，末尾数字不能是2和4,只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23和43.取一张卡片排出的质数有2和3所以最后排出的质数有 2、3、23、43这四个。例3、360这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？解：360=2 X 2X 2X 3X 3X 5=23X 32 X 5,所以 360 有（3+1 ）X（ 2+1 ）X（ 1+1） =24 个因 数。因数的和是：(1+2+22+23)X( 1+3+32 )X( 1+5) =1170例 4、筐里共有

4、96 个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同 样多，拿完时，又正好不多不少，有多少种不同的拿法？解：每次拿的个数都是 96的因数(除96和1之外) ，这样问题转化为求 96的因数个数， 将96分解质因数，得96=2 X 2 X 2X 2X 2X 3,除去96和1之外，96的因数有10个：2、3、4、 6、 8、 12、 16、 24、 32、 48.有 10 种不同拿法。【精英班】例5、504乘一个自然数a,得到一个平方数，求 a的最小值和这个平方数。解：一个数的平方数所含不同的质因数的个数为偶数。504=23X 32X 7=22X 32X( 2X 7)，还少(2 X

5、7)，使得504X a是个平方数，所以所求的a的最小值是2X 7=14;这个平方数是504 X 14=7056 。【竞赛班】例 6、将下列八个数平均分成两组,使这两组数的乘积相等,可以怎样分？说明理由。14, 33, 35, 30, 75, 39, 143, 169.解： 14=2X 7, 33=3X 11, 35=5X 7, 30=2X 3X 5, 75=3X 5X 5, 39=3X 13, 143=11X 13,169=13 X 13这八个数分解质因数后共有质因数 18个(包括相同的)，其中：质因数 2有两 个,质因数 3有4个,质因数 5有4个,质因数 7有 2个,质因数 11有2个,质

6、因数 13 有 4 个。相同的质因数应该平均分摊在两个乘积里,因此可以分为：(1)(14, 75, 33, 169)和( 30, 35, 39, 143)或( 2)(14, 75, 39, 143)和( 30, 35, 33, 169) .【课后分层练习】A 组：入门级1、 有 7个不同的质数,它们的和是60,其中最小的质数是多少？解： 6个奇质数的和是偶数, 60减去偶数仍是偶数, 所以剩下的一个质数应当是唯一的 偶质数 2,即这 7 个数中最小的是 2.2、 如果“O”是一个质数，“”是一个合数，下列第(4 )项的值一定是一个质数。(1)0 + (2 )0 口(3)OXD(4 )OX-3、

7、210的因数有几个。这些因数的和是多少？解：210=2 X 3X 5X 7,根据因数个数和及因数和定理有：210的因数有(1 + 1) X (1 + 1)X( 1 + 1)X( 1 + 1) =16 个。这些因数的和是 1+2)X( 1+3)X( 1+5)X( 1+7) =576.2、用 105 个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？解：105=3X 5X 7; 105 共有（1 + 1）X（ 1 + 1 ）X（ 1+1） =8 个因数，所以共有不同8-2=4（种）拼法。3、 有三个学生，他们的年龄一个比一个大3 岁，他们三人年龄的乘积是 1620.这三个学生 的年龄分别是几岁

8、。解：1620=2X 2X 3X 3X 3X 3X 5=9 X 12X 15他们的年龄分别是 9岁、12岁、15岁。B 组：进阶级1、2、 哥德巴赫猜想是说：每个大于 2的偶数都可以表示为两个质数之和，问： 168是哪两个 两位数的质数之和，并且其中一个的个位数字是 1？解：个位数字是 1 的两位质数有 11， 31， 41， 61， 71；其中 16811=157， 16831=137， 16841=127， 16861=107，都不是两位数，只有16871=97是两位数，而且是质数，所以 168=71+97.2、 甲、乙二人轮流在黑板上写下不超过10的自然数， 规定禁止在黑板上写已写过的数

9、的因 数。最后不能写的人为失败者。 如果甲第一个写数， 试问谁一定获胜？给出一种获胜的方法。 解：甲必胜。甲先写 6，这样除去 6 的因数 1， 2， 3， 6，乙只能写 4， 5， 7， 8， 9， 10中的 一个数，甲心中把（ 4， 5），（7， 9），（8， 10）分组，乙写任何一组中的某个数，甲写这一 组中的另一个数，则甲总可获胜。3. 将 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 这九个数分成三组，第一组数的连乘积与第三组数的连乘 积相等，第二组各数的和是 15，问每组的数各是多少？解： 2， 4=2X2， 6=2X3， 8=2 X 2 X 2 ，由于两组的积相等，显然是

10、4和 6在一组， 1、 2、 5、 7只出现一次，其和正好为 15.这样 3， 4， 6， 8， 9分成两组，即为 3， 4， 6和 8， 9.因此三 组数是：（3， 4， 6）；（1， 2， 5， 7）；（8， 9）。4、1X 2X 3X-X 40 能否被 90909 整除?解：首先将 90909分解质因数，得 90909=3 3X 7X 13X 37。因为33 (=27), 7, 13 , 37都在140中，所以1X 2X 3XX能被90909整除。C 组：挑战级1、 学区举行团体操表演，有 1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100 至 200 之间，共有几种分法？解

11、：按题意，每队人数X队数 =1430,每队人数在100至200之间，所以问题相当于求 1430 有多少个在100至200之间的因数。为此，先把1430分解质因数，得1430 = 2X 5X 11X 13。 从这四个质数中选若干个, 使其乘积在 100到200之间, 这是每队人数, 其余的质因数之积 便是队数。 2X5X11=110, 13；2X5X13=130, 11；11X13=143, 2X5=10。所以共有三种分法,即分成 13队,每队 110人；分成 11队,每队 130人；分成 10队,每 队 143 人。2、3、试求不大于 50 的所有因数个数为 6 的自然数。解 ：因为这个数有六个因数, 6=5+1=(2+1)X( 1+1),所以,当这个数只有一 个质因数a时，这个数是a5；当这个数有两个质因数a和b时，这个数是a2x b。 因为这个数不大于50,所以对于a5,只有a=2,即25=32;对于a2X b,经试算 得到， 22X3=12， 22X5=20， 22X7=28， 22X11=44， 32X 2=18， 32X5=45， 52X2=50。 所以满足题意的数有八个： 32, 12, 20, 28, 44, 18, 45, 50