等差数列(判定、性质、通项及求和)

1、考点1 等差数列（判定、性质、通项及求和）1. （15盐城市盐都区时杨中学届高三上学期1月调考）已知是等差数列，若，则的值是_.【考点】等差数列的性质.【答案】3【分析】在等差数列中， ，得.2. （15泰州一模）数列， ， 满足：，2，nN*（1）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列；（2）若数列，都是等差数列，求证：数列从第二项起为等差数列；（3）若数列是等差数列，试判断当+ =0时，数列是否成等差数列？证明你的结论【考点】数列递推式；等差关系的确定【解】（1）证明：设数列的公差为d，数列是公差为d的等差数列（2）当n2时，数列，都是等差数列，为常数，数列从第二项起为等差数列（3）数列成

2、等差数列解法1：设数列的公差为d'，设，两式相减得：，即，令n=2，得，数列（n2）是公差为-的等差数列，令n=1，即，数列是公差为d'的等差数列解法2：，令n=1，即，数列是等差数列，数列 是等差数列3(江苏省淮安市淮阴区南陈集中学2015届高三上学期10月调考数学试卷) 已知在等差数列中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为_.【考点】等差数列的性质.【答案】【分析】等差数列中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项， ，23+5d0，且23+6d0，解得：，又d为整数，d=.4(江苏省南通市2015届高三第一次模拟考试数学试题)在等差数列中，已知首项，

3、公差.若，则的最大值为_.【考点】等差数列的性质.【答案】200【分析】在等差数列中，已知首项，公差，又，解得，.5（江苏2015高考冲刺压轴卷）已知正项数列的前n项和为，对N有令，设的前n项和为，则在中有理数的个数为_【考点】本题考查数列求通项公式及其等差数列的通项公式、裂项求和方法【答案】9【分析】由可得 ，两式相减得 化简得，即，正项数列是等差数列，当 时，解得 ，故；，故当时前n项和为为有理数，故在中有理数的个数为9个6（徐州市2014届高考信息卷）设数列的前项和为，若和都是公差为的等差数列，则 【考点】等差数列的通项公式，不等式恒成立问题.【答案】 【分析】因为 是公差为的等差数列，

4、所以对于始终成立，平方整理得对于始终成立，即解得故答案为7（南通市2015届高三第三次调研）在等差数列中，若，则该数列的通项公式= 【考点】考查等差数列，数列的通项公式，考查学生的运算能力，灵活运用有关知识解决问题的能力.【答案】【分析】设通项公式为，由，再通过比较系数得出，则通项公式为.8（15江苏模拟（三）已知为等差数列，其前n项和为，若，则 【答案】10.2【分析】由条件得，故.9（15江苏模拟（三）已知数列、满足：.（1）求； （2）证明：是等差数列，并求数列的通项公式；（3）设，求实数a为何值时恒成立【解】（1） （2） 数列是以4为首项，1为公差的等差数列 （3） ，由条件可知恒成

5、立即可满足条件设，a1时，恒成立, a>1时，由二次函数的性质知不可能成立a<l时，对称轴，f(n)在为单调递减函数 ，a<1时恒成立综上知：a1时，恒成立10（15江苏高考压轴）已知数列中， =a(a为非零常数)，其前n项和满足 (n)（1）求数列的通项公式；（2）若a=2，且，求m、n的值；（3）是否存在实数a、b，使得对任意正整数p，数列中满足的最大项恰为第项？若存在，分别求出a与b的取值范围；若不存在，请说明理由【解】（1）由已知，得= =0，则有，即，两式相加，得，即，故数列是等差数列又=0， =a，（2）若a=2，则，由，得，即，(2m+2n-3)(2m2n-1)

6、=4343是质数，2m+2n-3>2m-2n-1，2m+2n-3>0，解得m=12，n=11（3）由，得若a<0，则，不合题意，舍去；若a>0，则不等式成立的最大正整数解为3p2，即2ab<(3a1)p3ab对任意正整数p都成立3a1=0，解得a=，此时，b01b，解得b1故存在实数a、b满足条件，a与b的取值范围是a=，b111（15南通市直调考）已知无穷数列满足： =1，2=+，且对于任意n，都有0， = +4（1）求，的值；（2）求数列的通项公式考点：数列递推式 【解】（1）由条件，n， = +4，令n=1，得= +4（2分）又2=+，且=1，解得=3，=5

7、（4分）再令n=2，得 = +4，解得=7 （6分）（2） = +4， = +4，由得， =（+4）（+4）= （8分），（+）=（+），数列为常数数列（12分）=2，+=2，数列为等差数列 （14分）又公差d=2，=2n1（16分）12. (15江阴市高三上学期月考数学试卷）已知数列满足（nN*），它的前n项和为，且若，求数列的前n项和的最小值为 【考点】数列递推式；数列的求和 【答案】225【分析】由题知数列为等差数列，在等差数列中，由，得，解得=2，d=4，由=2n310，得n，前15项为负值，数列bn的前n项和的最小值= =22513. （15无锡市高三上学期期中试卷）若一直角三角形的

8、三边长构成公差为2的等差数列，则该直角三角形的周长为_【考点】等差数列的性质 【答案】24【分析】由题意设一直角三角形的三边长分别为：a、a+2、a+4，所以，即，解得，a=6或a=2（舍去），所以直角三角形的三边长分别为：6、8、10，所以该直角三角形的周长为24，故答案为：2414. （15南京一中等五校联考）各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有_项【考点】等差数列的通项公式 【答案】7【分析】=，为了使得n尽量大，故，（n1）（3n+1）132，当n=6时，5×19132，当n=7时，6×22=132，故答案为71

9、5. (2015·北京海淀区一模)在等差数列中，则_.【答案】16【分析】在等差数列中，即，故，则，所以16. (2015·合肥一模)以表示等差数列的前n项和，若，则_.【答案】42【分析】依题意得，.17. (2015·合肥质量检测)已知数列的前n项和为，并满足：，则_.【答案】14【分析】 依题意，数列是等差数列，且，.18. (2014·海口调研)已知等差数列，前n项和用表示，若14，则_.【答案】26【分析】依题意得，.19. (2015·银川质量检测)已知数列为等差数列，若，且，则使的前n项和有最大值的n为_【答案】10【分析】依题意

10、得，即，因此在等差数列中，前10项均为正，从第11 项起以后各项均为负，使数列的前n项和有最大值的n为10.20. (2014·荆州质检)公差不为零的等差数列的前n项和为，若是与的等比中项，且，则_.【答案】320【分析】由题意可知，由于是等差数列，所以，解得 (d0舍去)，又，所以，从而d2，.所以.21. (2015·南通模拟)在数列中，若p(n1，p为常数)，则称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：若是等方差数列，则是等差数列；是等方差数列；若是等方差数列，则(，k为常数)也是等方差数列其中真命题的序号为_【答案】【分析】正确，因为，所以，于是数列为等差数列正确，因为为常数，于是数列为等方差数列正确，因为，则 (，k为常数)也是等方差数列22. (2014·南京、盐城模拟)记等差数列的前n项和为.(1)求证：数列是等差数列；(2)若1，且对任意正整数n，