高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换知识巧解学案新人教A版必修411113104正式版

1、3.2简单的三角恒等变换疱工巧解牛知识？巧学一、半角的三角函数1.在倍角公式 cos2 a =1-2sin 2 a =2cos2a-1中，以 a代替2 a ,以巴代替a,将得出2sin 一=±21 - cosot ,2acos二21 +cosa21 - cos.工 tan 2 .1 cos;,我们称之为半角公式，它们是用单角的余弦函数表示半角的弦函数与切函数的.其正负号的选取由巴所在的2象限确定.sin"2.对于半角的切函数，还可写成tan=in一21 cos：的商数关系出发，逆用aaasin sin *2cos.,222sin;tan =- = =22 -1 cos：co

2、s 2cos -22_ 1 - cos：sin -：倍角公我们可从同角的三角函数式去证明，即asin 一一 一一 a o同理，可把tan= 2的分子、分母同乘以2cos一21 - cos ;2sin 一，即可化成 tan-=2 2 sin ;也可从半角的切函数tan2 - = 1 co9a出发，把被开方数转化成一个完全平方的形式，通2 1 cos：22 -1 - cos (1 - cos- )(1 cos- ) sin -过开万求值.由于tan - = 2L =22 1 cos：(1 cos- )(1 cos-)"： I sin 1 |tan 一|=21 cos：sin a =2si

3、n cos - =2tan - cos 2,2222-1 sin a 与 tan同号.又1+cos a >0,.,二 sin -, " tan =21 cos-同理，若把1 cos”的分子、分母同乘以 1-cos a ,可转化成1 cos 二,:1 - cos：tan=2 sin 二,二sin 工我们也把tan二三一2 1 cos：1 - cos：tan=称之为半角公式，它是用单角的正、2 sin:余弦函数表示半角的切函数的a3 .对于半角公式，也必须明确“半角”是相对而言，不能认为 金才是半角.如2 a是4a的3一：半角、.是3a的半角；反之， £、2a分别是%、a

4、的倍角.正是根据这个思想，才由 二倍角公式得出了半角公式.学法一得 关于半角正切的三个公式：公式1 - cos：皿tan=不带有根号，而且分母为单2 sin 二项式，运用起来特别方便，但要注意它与以下两个公式：tan - = ±J1-c0Sa和2, 1 cos：sin ;、tan=的使用范围不元全相同，后两个公式只要a w(2k+i)兀(k ez),而第一2 1 cos：个公式除a w(2k+1)兀(k C Z)之外，还必须有a W2k兀(k C Z).当然，这三个公式可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用负两个符号；当a或三的2误区警示 当巴所在的象限无法确定时，应保留根

5、号前面的正、2大小确定时，应根据 巴所在的象限，确定根号前的正负号2二、积化和差公式1 .公式：sin a cos 3 =1 sin( a + 3 )+sin( a - 3 );2cos asinsin(+ 3 )-sin( a - 3 )；cos acoscos(sin asin213 =cos(+ 3 )+cos( a -)；a + 3 )-cos( a - 3 ) H .2 .公式推导：积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得如第一个公式，可以由S( 8 +B ) + &a - B )广生，因为sin( a - 3 )=sin a cos 3 - cos

6、 a sin 3 ,所以 sin(sin( a + 3 )=sin a cos 3 +cos aa + 3 )+sin( a - 3 )=2sin a cos 3 ,两边同除以2即得，其他公式同理可以由两角和与差的正余弦公式获得3 .公式特点；同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半，等式左边为单角记忆要诀 积化和差公式可按如下方法记忆:a、3 ,等式右边为它们的和差角(1) “+”两角的正弦、余弦的积都可化为(2)如果两角的函数同为正弦或余弦，则“ “f”表示正弦.(3)当左边含有余弦函数时，右边中间取“ 三、和差化积公式1 一 ，一f(

7、 a - 3 ) ±f( a + 3 )的形式.2f”表示余弦；如果一个为正弦一个为余弦，则+”，否则取“，x y x - y1.公式：sinx+siny= 2sincos；sinx-siny=x2coscosx+cosy=x2coscosx-cosy=一 2sin22y . x - ysin;22y x - y-cos;22x y . x - ysin.x y x y2 .公式推导：在积化和差公式中，令” + 3 =x, / - 3 =y，从而a=-2 , 3=_将上述值代入公式，即有.x y x - y sincos221/ = 21sin(x-y)sin(x- y)=1(sin

8、 x +sin y)，所以sinx+siny= 2sin x ； y cosx； y，这就是和差化积公式中的第一个, 其他公式同理可得3 .三角函数的和差化积公式与积化和差公式实质上是一类公式的正用或逆用，即积化和差公式的逆用就是和差化积公式.辨析比较 积化和差公式的推导用了 “解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了 “换元”思想.只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式.如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积另外对三角函数的和差化积可以理解为代数中的因式分解.因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用

9、四、辅助角公式般地，通过三角变换，可把形如y=asinx+bcosx的函数转化为y=Qa2+b2 sin(x+ 9),.ba其中sin 0 = , cos 0 =.的形式.a2 b2. a2 b2ab证明：如图3-2-1，设点 P(a,b)是角 0 终边上一点，贝U cos 0 = ,= , sin 0 二 一a2b2a2 b2图 3-2-1于是 y =4a2 +b2 ( . a sinx + . b cosx) a2 b2,a2 b2= 4a2 +b2 (cos 0 sinx+sin 0 cosx)= va2 +b2 sin(x+ 0 ).其中 sin 0 = . b = a2 b2八a,c

10、os 0 =.=-a2 b2特别地，当- = ±1, 土 , ± J3时，0是一特殊角，0所在的象限由点 P(a, b)所在的a3象限唯一确定，可先由tan=| -|找到一个符合条件的锐角，再由诱导公式导出一个符合a条件的角学法一得利用上述公式可把形如asinx+bcosx 的三角函数式转化成一个角的一个函数的形式，对我们研究函数的最值、周期、单调区间、对称中心、对称轴等都是大有裨益的 典题？热题知识点一半角公式的应用例 1 已知 sin2 010 ° = - 1 ,求 sinl 005 ° , cosl 005 ° , tanl 005 &#

11、176; 的值 .2解：2 010° =5X 360° +210°是第三象限的角，cos2 010 ° =一2 2010 V2又1 005° =2X360° +285°是第四象限的角,1 -cos2010 sin1005 =cos1005 =1 cos201022tan1005sin1005cos10052-3JTcos8,tan一的值.12解：由于2 cosji1 cos4冗cos8由于tan2ji1 -cos 612ji1 cos 62 - <-32(= =(2 “3 , 2-3=2 -3.jitan 一12例3已

12、知sin21213'7t3 二,求tan a .2解：Tt < 2 aJl一 <由 cos2： - - 1 -sin2 ：1213)21 21 - cos2-(1312或 tan 二sin 2：13或tan工方法归纳sin 2：12131 cos2 :1 _-13,1 cos 2：1 5131一513已知角a所在的象限，则巴所在的象限是角2a的平分线及其反向延长线所12在的象限ota位于三、四象限时，一位2已知单角的弦函数，求半角的切函数时，使用公式tan-=2sin： 二 1 - cos：或 tan二1 cos：2 sin：可避开符号的讨论.若角a的倍角2 a是特殊角，则

13、可用半角公式求的函数值，以 a为桥梁，可把2 a与巴的角的函数值连在一起.2知识点二积化和差公式的应用例4求下列各式的值：5 二二(1) cossin ; (2)2cos50 cos70 -cos20 .12125二二1 _. .5二二、.，斛：(1) cossinsin(一)-sin(12122121212n12)1 , .二 二、=- (sin - -sin ) 二223.3巧解提示：5二.二 cos-sin一 = cos12125 二1 cos一一cos一 = cos 121212ji1 - cos61 -史2_2-70° )-cos20°(2)原式=cos(50&#

14、176; +70° )+cos(50 =cos120° +cos20° -cos20° =cos120° = - cos60° =例 5 求证：(1)sin80cos40。= g+1sin40*；42(2)sin37.5 ° sin22.5 ° = l + cos15° .4 2证明：(1)左边=1 sin(80 ° +40° )+sin(80 °-40° )2=-(sin120 ° +sin40 ° )= 3 +- sin40 ° =

15、右边，所以原式成立 242(2)左边=-cos(37.5 ° +22.5° ) - cos(37.5 ° -22.5° )21 11，-、二一一(cos60 -cos15尸一一十cos15=右边，所以等式成立.2 4 2方法归纳只有同名或异名弦函数积的形式，才能积化和差，它也实现了角的重组，出现了( a ± 3 )这样的角.在积化和差的过程中， 构成积的两个因式的顺序不同时，使用的公式也不同， 但最终结果是相同的.三角函数式的化简、恒等变形和证明三角恒等式都是化归思想中的等价化归在实际问题中 的应用.知识点三和差化积公式的应用 例6求下列各式的

16、值：cos75° -cos15解：(1)cos75 °sin20 -sin40;(2)cos20 - cos40-cos15°=-2sin275 1575 -15sin=-2sin45 ° sin30 ° =巧解提示：cos75° -cos15° =cos(45 ° +30° )c 2040. 20 -402 cossin (2)原式=22. 2040 . 20 -40-2 sinsin22例 7 求证:(1)cos40 ° - cos80° = V3 sin2040 80 . 40证

17、明：(1)左边二 -2sinsin。2-cos(45 -30 )=-2sin45 sin30 = -2 '32 cos30 sin(-10 ) = _ 三=_ 3-2sin30 sin(-10 ) J 2sin (xy)sin x-sin y 2；(2) L = 一亍.sin(x y)sin；(x y)80.=-2sin60 ° sin( - 20 ° )=.3sin20 ° =右边.所以原式成立(2)右边=2sin -(x - y) cos- (x y)八.1 ,' F "2sin -(x y) cos- (x y)1 1sin (x

18、- y) (x y) sin (x - y) (x y)2 2sinx sin(-y) sin x - sin y =/sin(x y)sin(x y) sin(x y)边.所以原式成立.方法归纳只有系数绝对值相等的同名弦函数的和、差的形式才能化积，化积后实现了角的重组，出现了 这样的角.2在运用积化和差或和差化积公式化简三角函数式时，若解析式中存在三个或三个以上因式，当进行积化和差时，应选择两角的和或差是特殊角的形式相结合；当进行和差化积时，应选择两角和或差的一半是特殊角或与其他角一致的因式相组合积化和差与和差化积公式与同角的三角函数的基本公式、诱导公式、两角和差与二倍角公式、半角公式一样，

19、也是进行三角恒等变换的工具例8求函数y=sin 4x+ 2<3 sinxcosx-cos 4x的最小正周期与最小值，并写出该函数在0,兀上的单调增区间.思路分析：本题考查三角函数的基础知识.根据题设结构特征，先用a2-b 2=(a+b)(a-b)，再用 asin 0 +bcos 0 =.a2 b2 sin( 0+(j)求解.解：y=sin 4x-cos 4x+2 . 3 sinxcosx=(sin2x+cos2x)(sin 2x-cos 2x)+ . 3 sin2x=3sin2x-cos2x=2( -sin2x- 1 cos2x)=2sin(2x-).226该函数的最小正周期是兀，最小值

20、是-2.A3T31TE 曰31JI令 2k 兀W2x - W2kjt+ ,得 knWxWkjt+ , kCZ.5 二4 二取k=0,信wx< 一;取k=1,信 W x W .由于0w x w兀，所以该函数在0,兀63635上的增区间是0,'或彳，兀.例 9 设函数 f(x)= a - b,其中向量 a=(2cosx , 1) , b=(cosx , 33 sin2x) , xC RIK JI若f(x)=1-J3且xC 求x;(2)若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m, n)(|m|<：)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m n的值.思路分析：本小题主要考查平面向

21、量的概念和计算、三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力.解：(1)依题设，f(x)=2cos 2x+J3 sin2x=1+cos2x+ V3sin2x6).=1+2( cos2x+ - sin2x)=1+2sin(2x+3由 1+2sin(2x+ )=1- 33 ,得 sin(2x+ )= 一 ji-w x wji一,jiJT31 -2x+ =63JT不即3x=- 一45 二<(2)函数y=2sin2x的图象按向量 c=(m y=f(x)的图象.n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象，即函数由(1)得 f(x)=2sin2(x+ji )+1.12冗,一|m|

22、 V 231 m=-12,n=1.方法归纳为使辅助角公式形式最简,可通过提取公因式 Va2+b2或- da2+b2使辅助角0是一锐角的形式.辅助角公式是化特殊为一般的化归思想的具体运用，它把y=asin w x+bcos w x的函数式转化为 y=Asin( w x+()的形式，以进一步研究函数的性质一般地，函数 y=asin w x+bcos w x, xC R的最大值是 Ja2 + b2 ,最小值是 da2 + b2 ;2 二 22周期是T =；可把化间后的解析式 y= va +b sin( co x+()的 w x+(), 3 >0视为一个整体，结合初等三角函数的性质求单调区间问题

23、？探究思想方法探究问题积化和差与和差化积公式在形式上非常相似，其实质是一类公式的正用或逆用，那么在使用这些公式时，通常怎样变化？探究过程：积化和差与和差化积是一对挛生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两 者的交替使用.探究结论：在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降哥公式，然后和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角； 结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值.正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个

24、故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做 300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手 300下，哪个同学坚持了，有 90%的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80%。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请 告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学

25、们，柏拉图之所以能成为大 哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲： “锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。 ”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬

26、几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！ 当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本学会学习在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势

27、。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉， 除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己， 不论对学习还是生活都有帮助。 除了 “针对性” 强外， 本书第二大特点就是 “全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划” 、 “笔记” “阅读”直到“

28、考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货” ，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法”、 “错误的方法”和“积极的行为” 、 “消极的行为” ，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果， “正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为， “错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果

29、，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法 -青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力” ，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包

30、括 7 个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动