新编北师大版数学必修四课件：3.1两角和与差的三角函数

1、北 师 大 版 数 学 课 件精 品 资 料 整 理 求同一个角的三角函数值求同一个角的三角函数值 利用同角三角函数关系求利用同角三角函数关系求值可以按以下步骤、方法进行：值可以按以下步骤、方法进行：(1)(1)一看：考查题设的条件中是否能确定角的范围，角的范一看：考查题设的条件中是否能确定角的范围，角的范围直接决定三角函数值解的个数围直接决定三角函数值解的个数. .(2)(2)二变：在求值时，往往要在原有关系的基础上先变形，二变：在求值时，往往要在原有关系的基础上先变形，再列方程再列方程( (组组) )，具体如下：，具体如下：若已知若已知sin(sin(或或cos)cos)求求tantan常

2、用以下变形常用以下变形: :若已知若已知tantan求求sin(sin(或或cos)cos)常用以下变形：常用以下变形：(3)(3)三算：利用步骤二建立方程三算：利用步骤二建立方程( (组组) )，并结合步骤一角的范，并结合步骤一角的范围写出该角的三角函数值围写出该角的三角函数值. . 若角若角的范围不确定，涉及开方时，常因三的范围不确定，涉及开方时，常因三角函数值的符号问题，对角角函数值的符号问题，对角进行分区间进行分区间( (象限象限) )讨论讨论. . 【例例1 1】(2011(2011上海春季高考改编上海春季高考改编) )在在abcabc中，中，求求sinasina和和cosacosa

3、的值的值. .【审题指导审题指导】该题中的前提条件该题中的前提条件“在在abcabc中中”实际上暗示实际上暗示了角了角a(0,)a(0,)，又给出，又给出 进一步明确了角进一步明确了角a a是锐是锐角，因此角，因此, ,在利用关系求解待求的三角函数值时应取正值在利用关系求解待求的三角函数值时应取正值. .2tana3，2tana3，【规范解答规范解答】因为因为abcabc中中 所以所以a a是锐角，是锐角，由由 解得解得所以所以2tana03 ，22sina2tanacosa3sin acos a1，22sina113 11cosa11，223 11sina,cosa.1111【互动探究互动探

4、究】本例题中将本例题中将“在在abcabc中中”这个条件去掉，已这个条件去掉，已知知 求求cosacosa和和tanatana的值的值. .【解析解析】由由 得角得角a a是第一或第二象限角，当是第一或第二象限角，当a a为第一象限角时，由为第一象限角时，由sinsin2 2a+cosa+cos2 2a=1a=1得得从而从而 当当a a为第二象限角时为第二象限角时, ,由由sinsin2 2a+cosa+cos2 2a=1a=1得得即即 从而从而22sina,1122sina0113 11cosa,112tana3，29cos a11，3 11cosa,11 sina2tana.cosa3 【

5、例例】已知已知是三角形的内角，且是三角形的内角，且求求tantan的值的值. .【审题指导审题指导】由由 及及sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1，可求，可求sin,cossin,cos的值的值. .1sincos,5 1sincos5 【规范解答规范解答】方法一：方法一：由得由得 将其代入，整理得将其代入，整理得25sin25sin2 2-5sin-12=0.-5sin-12=0.是三角形的内角，是三角形的内角，221sincos5sin acos a1 1cossin ,5 4sin45,tan.33cos5 方法二：方法二：即即 且且0 0,sinsin0,cos0,cos0

6、,sin-cos0,sin-cos0, 0, 由由 得得1sincos,5 q221sincos,5（ ）12412sin cos,2sin cos,2525 12sin cos025 q ，7sincos,5 1sincos57sincos5 ，4sin45,tan.33cos5 22449sincos12sin cos1,2525 【变式备选变式备选】若若(0,)(0,)，且，且 求求sincossincos及及sin-cossin-cos的值的值. .【解析解析】 又又(0,),sin(0,),sin0,cos0,cos0,0,关于关于sinsin、coscos齐次式的求值齐次式的求值1

7、sincos,2 221sincos,21sin2sin coscos,4332sin cos,sin cos,48 q7sincos12sin cos.2 关于关于sin,cossin,cos的齐次式的求值的齐次式的求值 关于关于sin,cossin,cos的齐次式的求值问题的齐次式的求值问题. .关于关于sin,cossin,cos的齐次式就是式子中的每一项都是关于的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin,cossin,cos的式子，且它们的次数之和相同，其求解策略的式子，且它们的次数之和相同，其求解策略为：可用为：可用coscosn n(nn(nn* *) )去除原式分子、分母的各项，这

8、样去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于可以将原式化为关于tantan的表达式，再整体代入的表达式，再整体代入tan=mtan=m的值，从而完成求值任务的值，从而完成求值任务. .具体如下：具体如下：(1)(1)形如形如的分式，分子、分母分别同时除以的分式，分子、分母分别同时除以coscos、coscos2 2，将正、，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值余弦转化为正切或常数，从而求值. .(2)(2)形如形如asinasin2 2+bsincos+ccos+bsincos+ccos2 2的式子，将其看成的式子，将其看成分母为分母为1 1的分式，再将分母的分式，再将分母1 1变形为变

9、形为sinsin2 2+cos+cos2 2,转化为转化为形如形如 的式子的式子. .2222asinbcosasinbsin cosccoscsindcosdsinesin cosfcos、2222asinbsin cosccossincos【例例2 2】(2011(2011天津高一检测天津高一检测) )已知已知sin=2cos,sin=2cos,求求 的值的值. .【审题指导审题指导】根据条件根据条件sin=2cossin=2cos得得tan=2,tan=2,再利用平再利用平方关系方关系sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1代替式子中的常数，最终利用商数代替式子中的常数，最终利用

10、商数关系转化成关系转化成tantan的式子求值的式子求值. .22sin cossin1【规范解答规范解答】由由sin=2cos,sin=2cos,得得tan=2,tan=2,分子、分母同时除以分子、分母同时除以coscos2 2,得上式得上式代入代入tan=2tan=2，上式，上式2222222 sincossin cos2sin cossin1sinsincos ，222tantan2,2tan18.9【变式训练变式训练】已知已知tan(-)=3tan(-)=3，计算：，计算：(1)sincos;(1)sincos;(2)(sin+cos)(2)(sin+cos)2 2. . 【解题提示解

11、题提示】将正余弦函数转化为关于正切的表达将正余弦函数转化为关于正切的表达式式. .【解析解析】由由tan(-)=3,tan(-)=3,可知可知tan=-3,tan=-3, 2222222sin costan331 sin cos.sincostan1( 3)1102sincossincos2sin cos34212.10105 （） 化简三角函数式化简三角函数式 用同角三角函数关系式化简三角函数式是用同角三角函数关系式化简三角函数式是检验对公式掌握的灵活程度和驾驭能力，化繁为简是根本检验对公式掌握的灵活程度和驾驭能力，化繁为简是根本原则，常用以下的技巧方法：原则，常用以下的技巧方法：(1)(1

12、)化切为弦，即把正切函数化成正、余弦函数，从而减少化切为弦，即把正切函数化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的函数名称，达到化简的目的. .(2)(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后根对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后根据选取的正负号去根号达到化简的目的据选取的正负号去根号达到化简的目的. .(3)(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造或构造sinsin2 2+cos+cos2 2=1,=1,以降低函数次数，达到化简的目的以降低函数次数，达到化简的目的. .例例3 3 化简化简【审题指

13、导审题指导】从式子结构出发，解决该题先开方，再化从式子结构出发，解决该题先开方，再化简，角的范围的不确定性需要分情况讨论简，角的范围的不确定性需要分情况讨论. .【规范解答规范解答】原式原式 21tan1sin22sincossincoscossincossing【变式训练变式训练】化简化简【解析解析】原式原式sintansin.1 costansing22sinsinsincossin1 cossincossin1 cos1 cos1cos1 cossin1 cos1 cossin1 cos1.1 cos|singggg 证明三角恒等式证明三角恒等式 证明三角恒等式，实际上就是将左右两端证明

14、三角恒等式，实际上就是将左右两端表面看似存在较大差异的式子通过巧妙变形后消除差异，表面看似存在较大差异的式子通过巧妙变形后消除差异，实现联通，使其左右两侧相等，为了达到这个目的，我们实现联通，使其左右两侧相等，为了达到这个目的，我们经常采用以下的策略和方法：经常采用以下的策略和方法：(1)(1)从一边开始，证明它等于另一边；从一边开始，证明它等于另一边；(2)(2)证明左右两边都等于同一个式子；证明左右两边都等于同一个式子；(3)(3)变更论证，采用左右相减，化除为乘等方法，转化成与变更论证，采用左右相减，化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式原结论等价的命题形式. .【例例4 4】 求

15、证：求证：【审题指导审题指导】所要求证等式左右两边均比较繁琐时，由一所要求证等式左右两边均比较繁琐时，由一边推导出另一边比较困难，此时可将两边分别化简再比较边推导出另一边比较困难，此时可将两边分别化简再比较. .222sinsincos1.tan 【规范解答规范解答】证明：左边证明：左边(sin+cos)(sin+cos)2 2= =sinsin2 2+cos+cos2 2+2sincos=1+2sincos,+2sincos=1+2sincos,右边右边左边右边，即左边右边，即222sincos112sin12sin costansin g，222sinsincos1.tan 【变式训练变式

16、训练】 求证求证: :【证明证明】方法一方法一:左边左边 = =右边右边原等式成立原等式成立. .方法二方法二:右边右边 = =左边左边. .原等式成立原等式成立. .2112costan.tansin cos222sincossincos12coscossinsin cossin cos222222sincos2cossincossin cossin costan11tantantan【典例典例】(12(12分分) )已知已知sin=tsin=t，且，且-1-1t t1 1，求角，求角的余弦的余弦值和正切值值和正切值. .【审题指导审题指导】已知角已知角的正弦值的正弦值sin,sin,可用平

17、方关系求余弦可用平方关系求余弦值值cos,cos,再利用商数关系求正切值再利用商数关系求正切值tan,tan,求解过程中要讨论求解过程中要讨论的范围的范围. .【规范解答规范解答】sin=tsin=t，且，且|t|t|1 1，角角可能为四个象限角或可能为四个象限角或x x轴上的轴线角轴上的轴线角. . 2 2分分(1)(1)当当为第一、四象限和为第一、四象限和x x轴非负半轴上的角时，有轴非负半轴上的角时，有 6 6分分(2)(2)当当为第二、三象限和为第二、三象限和x x轴非正半轴上的角时，有轴非正半轴上的角时，有 1212分分222sintcos1 sin1t ,tan;cos1t 22c

18、os1 sin1t , 2sinttan .cos1t 【误区警示误区警示】对解答本题易犯的错误具体分析如下：对解答本题易犯的错误具体分析如下：【即时训练即时训练】若若tan=m(m0) ,tan=m(m0) ,且且 则角则角是是( )( )(a)(a)第一、三象限的角第一、三象限的角(b)(b)第二、四象限的角第二、四象限的角(c)(c)第二、三象限的角第二、三象限的角(d)(d)第一、四象限的角第一、四象限的角2msin ,1m 【解析解析】 选选c.c.因为因为sinsin2 2+cos+cos2 2=1,=1,所以所以sinsin2 2=1-cos=1-cos2 2. 即即因为因为tan=m0,tan=m0,故故终边不在终边不在x x轴上，当轴上，当是第二、三象限是第二、三象限角时角时. .故选故选c.c.222222sin1 cos1tan1,coscoscos 2211tan.cos 221cos.1tan 21cos,1m 2msincostan,1m g1.1.已知已知 且且是第四象限角，则是第四象限角，则sinsin等于等于( )( )【解析解析】选选d.d.在第