学习基本不等式注意三事项

1、学习基本不等式注意三事项基本不等式是高中阶段的重要内容，是学生不容易掌握的重点知识之一，关键是其变形a b灵活，形式多姿多样，基本不等式“Ob(a 0,b 0) ”沟通了两个正数的“和”2与“积”之间的关系，利用它可以解决求最值或者不等式证明问题.在运用基本不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形，造条件满足应用情境后再解决问题因此需要掌握一些变形技巧，注意三大方面【一个技巧】运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2 b2 2ab逆用就是ab a -，山 .乔(a 0,b 0)逆用就是ab (山

2、)2等还要注意“添、2 2 2拆项”技巧和公式等号成立的条件等.【两个变形】(1)aba bb?(a,b R ),即调和平均数 几何平均数 算术1 12 2a b平均数平方平均数；(当且仅当a b时取等号)(2)a b、2 ab ()2 2a b(a,b R)(当且仅当a b时取等号).2 2这两个不等式链用处很大，注意掌握它们.【三个注意】(1) 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等” 的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.(2) 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼” “凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.(3) 连续

3、使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一 致.下面举例析之、注意运用不等式链从某种意义上来讲要学好基本不等式的变形关键是掌握上述两个不等式链不等式中的常见变形主要围绕这两个基本不等式链进行1 1例1已知a 0, b 0, a b 1，求的最大值a b解析：由a 0 , b 0，又U，因为a b 1，所以】，所以 丄丄2丄丄 2a ba b1 114，当且仅当a b 时，等号成立a b2评注：本题利用基本不等式链简化了问题，是题目的证明思路一目了然二、注意结论成立的条件对. Ob U a b来讲，一是要求a,b R，二是和或积或平方和为定11 2 2a bab三是等号

4、要成立即a b .即所谓的定、三相等；但是对不等式(a b(_2_b2来讲a,b R均可.错解:且仅当x求函数yX 4 x 9的最值.4x92x 13x 36“36“ c13 x 132Jxx 3625，当x36即x6时取等号x.所以当x6时，y的最小值为25，此函数没有最大值.错因分析： 上述解题过程中应用了基本不等式，却忽略了应用基本不等式求最值时的条件一两个数都应大于零，x 4 x 9因而导致错误.因为函数y的定义域为(,0)(0,），所以必须对x的正负加以分类讨论正解:(1)当 x0时,132 x 36 x25当且仅当6时取等号所以当x6时,y min25.(2)当x 0时,362-3

5、6 12，36y 13 ( x)()x13121 当且仅当366时取等号，所以当 x 6 时，ymax 13121.评注：在利用基本不等式链时,定要注意使用范围例3 已知x 0, y 0 ,且1-1，求x y的最小值.x y错解：-x 0,y0，且丄 91， x y 1 9 xx yx y29 2 xy 12.xyy，在1 9 2亘等号成立条件是x y , xy9x ,取等号的条件的不一致，产生错误正解:x 0,y0,-xi,io16当且仅当-x9x时，上式等号成立,y1又_x-1，可得yx 4, y12 时，x¥ min16 .评注：在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立条件是解

6、题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法三、要掌握三种拼凑方法由基本不等式链可以看出在运用基本不等式解决问题时主要是凑定和、定积或平方和为常数.例4当0 x 4时，求y x(8 2x)的最大值.解析：由0 x 4知，8 2x 0，利用基本不等式求最值， 必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2x(8 2x)8为定值，故只需将y x(8 2x)凑上一个系数即可.y x(82x)-2 x(822x)(2x 8 2x)28.2 -当2x 8 2x，即x 2时取等号，所以当 评注：本题无法直接运用基本不等式求解，x 2 时，y但凑系数后可得到和为定值,x(8 2x

7、)的最大值为8.从而可利用基本不等式求最大值.5已知x 5，求函数y 4x 2的最大值.4x 5解析：因4x 50,所以首先要“调整”符号，又(4x 2)|号,1厂不是常数，所以对4x 2要进行拆、凑项,5 4x 0，y 4x 24x 55 4x5 4x故 X y min 12 .错因分析：解法中两次连用基本不等式，在x y 2 xy等号成立条件是当且仅当5 4x -5 4x，即x 1时，上式等号成立，故当 x 1时，ymax 1.评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值2 例6、已知x，y为正实数，且x2 专 1，求x1 y2的最大值.解析：因条件和结论分别是二次和一次,故

8、米用公式aba2 b2同时还应化简中前面的系数为y2x成两个因式：则X22I2y下面将x，12y、22 2212y3 二2224分别看当且仅当辽时，等号成立.2所以x 1 y2的最大值为34-.评注：本题注意到适当添加常数配凑后,两项的平方和为常数,故而进行变形利用基本不等式链解决问题【链接练习】1、 已知0x 1，求函数y41的最小值x 1x解：因为0 x1，所以1 x0.所以y41x(1 x)454(1 x) x 9x 1xx1 xx1 x当且仅当4(1x)x时，即x2，上式取“=”，故 ymin9 x1 x32、已知a 0,b 0，3a 2b 8，求函数 3a2b的最大值.解：利用不等关系心b， ,3a22当