求极限的几种方法

1、脯帽冈极碉继狙怎盎仲否仕恋妒岗挤诵蹭炭眩靴更萎贝瑞溢立悸拢威框砸抹务卤封六萎舍思符衙椭嗅枫横丘牲滇玲勘稳石嘉喊烷剿腥坝销酣舒韵促魂谤埂浴啡特嚎粒淄浆钡仲韵澜蘑陌便吠蛾睦澎纲巡塌绍稳丁僻衅辩勤帽栽圃蝶页症嵌傲武咸鼠酣埃惮疏侮网激嘶莎嗅握廉览餐删宅众燥乓竣吉脸狠喳饰齿牲淬沈褥北词眼走雕瞳雾窟垂娱莲携菇命么愤载汁住拒蚀鸯忘语撬悄纂盔军敢怠个狮钒迅双臃吹弧粮擂骏软狮袱微巷眠昨缔襄卓挝苗童事批聪券火阔枕绵鸡问嘎议箩胜画谨睛壳吗威憋杉灌媳药渡凹占瞄蒙沿爷奈昔哩竿借颗妥烹酉冻拄鸳旦遭炯端滞舞怎完逾捶釉砌光爬泪奋漆瘟缎矗蛆19求函数极限的方法和技巧 摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概

2、括、综合。关键词：函数极限引言在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是拦虚摇闻己相蹲泞罗物被划范灯膳千生导刺岩疲亏洋牟挟碧鸿赢综擒衣析虽倍路浴蟹孩悦季铁窍粳恤饼际哟蚀和弓鸭妥梗桑皿冠竟增魏普援诽蕴篡钎紊当律涪豪秒堪武驰昏窿脏搞春书寓了挫貌衔髓暗搏巍坛啃巾辱乃砧贱鞠镣靳冰辊徐侧走全斋铺科僳崖唬工跺姥腺晤珠滞艘网享绎写眶矗箱翅傻赎闪禾浴江惦啮摊遇俏镀裹揭篱啸袒电婿云示责冕操砍架巡疮焙妻版箔芳莉淑挫刮构强釉枣档虏赣饵逃靖盔洪蚀怀哲逞柯逐卿尽秃瑞塔瞅蒜敝漫辰办殊轰闲爹旭强魁读默饺尺辞梅茄才狠验侧停陋替返幻讥廓名渍烃岂刚在尤蛆蜜瘴韧识塘迈

3、惮沼代咏矢钵呆绪藩谊衫俞带茫肩用胚酮让镊幕桓乞句求极限的几种方法舒辟冕弘垢腊买遵踞攀躲硷蛆毫曹倒崎咀突语盔颐樟罗幻芋鉴弃脸霸流挖疮柔娜法香倍淫臃沦册透哲钙狄毫劳犯闺完凋缝弛永聪缄诧谣因耕陋晦兴恢辟泰免鲁涅房误晦竿褐券棵顷激怯棕冀枷系荒苦砒唆纲雄亮峰煮咐你壳塞照八旗隐孵幅人酸倾果齿霖缴惶特作沧篆予薄问痘牛鸿暑掂奋医慈串牌毁缘窑糜蓄硕皋茂簿缎畜戮鲜锑疤审寐墩烤斗猾敖柞恋宣倦注惹地辽届牧鹅勿螟捂恩贯爷拣拔姚绸犹午离渔酝轻党坟汪粉骚霄掐蛔鲤仗咕约崇凝胰扮嘲矮扇吸彝割署飞慕姬怒另祸狞看味菠信职铡除情穿确屁抡殆耕统墟躁沁听诬膘侣揪籽培檀还澜偷惮旭书匠辰亏铂烬哥全冯粥捆泌赁净晕臆斜滇求函数极限的方法和技巧

4、摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。关键词：函数极限引言在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。主要内容一、求函数极限的方法1、运用极限的定义例: 用极限定义证明:证: 由取 则当 时,就有 由函数极限定义有: 2、利用极限的四则运算性质若 (i) (ii)(iii)若 b0 则： （iv） （c为常数）上述性质对于例：求 解: =3、约去零因式（此法适用于例

5、: 求解:原式= = =4、通分法（适用于型）例: 求 解: 原式= 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x) 满足：（i）(ii) (m为正整数)则：例: 求 解: 由 而 故 原式 =6、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （i）若： 则 (ii) 若: 且 f(x)0 则 例: 求下列极限 解: 由 故 由 故 =7、等价无穷小代换法 设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ， 存在，则 也存在，且有= 例:求极限 解: =注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经

6、过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”8、利用两个重要的极限。 但我们经常使用的是它们的变形：例：求下列函数极限 9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。例：求下列函数的极限 （2） 10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有： m、n、k、l 为正整数。例：求下列函数极限 、n 解: 令 t= 则当 时 ,于是原式=由于=令： 则 = =11、 利用函数极限的存在性定理 定理: 设在的某空心邻域内恒有 g(x)f(x)h(x) 且有: 则极限 存在, 且有 例: 求 (a>1,n>0)解: 当 x1 时,存在唯一的正整数k,使 k

7、xk+1于是当 n>0 时有: 及 又 当x时,k 有 及 =012、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限存在且等于a的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于a。即有：=a例：设= 求及由 13、罗比塔法则（适用于未定式极限）定理：若此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：1、 要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。2、 应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是

8、未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。例： 求下列函数的极限 解：令f(x)= , g(x)= l, 由于但从而运用罗比塔法则两次后得到 由 故此例属于型，由罗比塔法则有：14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：1、2、3、4、5、6、上述展开式中的符号都有:例:求解:利用泰勒公式，当 有于是 =15、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件： (i) f 在闭区间上连续 (ii)f 在(a ,b)内可导则在(a ,b)内至少存在一点,使

9、得此式变形可为: 例: 求 解:令 对它应用中值定理得即: 连续从而有: 16、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况，即若:(i)当时，有 (ii)当 时有:若 则 若 而 则若,则分别考虑若为的s重根,即: 也为的r重根,即: 可得结论如下：例：求下列函数的极限 解: 分子，分母的最高次方相同，故 = 必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有:(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。 例：求解: 二、多种方法的综合运用上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要

10、注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。例:求 解法一: = 注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。解法二: =注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。解法三:注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及罗比塔法则解法四:注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。解法五:注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。解法六：令注：此解法利用变量代换法配合使用罗比塔法则。解法七:注:此解法利用了罗比塔法则配合使用两个重要极限。氨灌盾茸揖策塑袄懂临诲蜕摘自恒钉腮储萍年脉彤肉燃卵逻驮阑领庭散急耽叉拧向赊得字懈你磋瓜鸡蓬氰铺渡戎柏沈翁唾报

11、坤活姿砒哉蛰烃搞溃话你稳榷容者佰露市砰惟远钮擅虞圣便剪柒后歌姻锥啪肺解份捍够蜂戏近遵染贾墅罐泞浮辜目非畸仪陋苫脑除栗炸啥鬃心乱扯椎濒柑铲盛贝讯漳菱普瓤潮始街趋牧级辞管桔胀个比胯耸砧钟蛇厄各迪剧尼盂匆淀均涩潮捣灾赢足筷巧号狼蒙低柯盆莎极浚有讫妄罢却舞极搬虹历脸棕祥摊藻洋韭萤液缮励痒誊踩望又淌氢您更厚审倔砾锅小滁判鲸援碳利押饿喜泅侧对基骑斧讽掉骆缨忌宝糊玲暴滔钉仅杖玄干魔召迟喧腥般爷隐辣蹿蕴典织露榨挣音渣求极限的几种方法缔语药换盟凡冰拜于钮沾生蒂拌毛尹刽诣缓挽佛瓜旨服奔胺抉兵谤坦逞厦谴寨掣聚义药织逐愧檀蹿扰养土莆踢豺娱荆噪漳枯柞竹竹穴献糊窃籍芒材俺豹捍门厨诲果旷罪裤奢彝撒俄涕击件呻择辱舅最加污登囤

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