一轮北师大版理数学教案：第3章 第3节　三角函数的图像与性质 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.5 第三节第三节 三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质 考纲传真 1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间2，2内的单调性 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数 ysin x，x0,2图像的五个关键点是：(0,0)，2，1 ，(，0)，32，1 ，(2，0) 余弦函数 ycos x，x0,2图像的五个关键点是：(0,1)，2，0 ，(，1)，32，0 ，(2，1) 2正弦函数、余弦函数、正切函数

2、的图像与性质 函数 ysin x ycos x ytan x 图像 定义域 r r x xk2，kz 值域 1,1 1,1 r 单调性 递增区间：2k2，2k2 kz， 递增区间： 2k，2k kz， 递减区间： 2k， 2k递增区间k2，k2(kz) 递减区间：2k2，2k32 kz kz 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心(k，0)kz 对称中心k2，0 kz 对称中心k2，0 kz 对称轴 xk2(kz) 对称轴 xk(kz) 周期性 2 2 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)常数函数 f(x)a 是周期函数，它没有最小正周期( ) (2

3、)函数 ysin x 的图像关于点(k，0)(kz)中心对称( ) (3)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数( ) (4)ysin |x|是偶函数( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(20 xx 云南二次统一检测)函数 f(x)cos2x52的图像关于( ) 【导学号：57962146】 a原点对称 by 轴对称 c直线 x52对称 d直线 x52对称 a 函数 f(x)cos2x52sin 2x 是奇函数，则图像关于原点对称，故选 a. 3函数 ytan 2x 的定义域是( ) a.x xk4，kz bx xk28，kz c.x xk8，kz dx xk24，kz d 由

4、 2xk2，kz，得 xk24，kz， ytan 2x 的定义域为x xk24，kz. 4 (20 xx 长沙模拟(一)函数 ysin12x3， x2， 2的递增区间是( ) 【导学号：57962147】 a.2，53 b2，53和3，2 c.53，3 d3，2 c 令 z12x3，函数 ysin z 的递增区间为2k2，2k2(kz)，由2k212x32k2得 4k53x4k3，而 x2，2，故其递增区间是53，3，故选 c. 5(教材改编)函数 f(x)42cos 13x 的最小值是_，取得最小值时，x 的取值集合为_ 2 x|x6k，kz f(x)min422，此时，13x2k(kz)，

5、x6k(kz)，所以 x 的取值集合为x|x6k，kz 三角函数的定义域与值域 (1)(20 xx 全国卷)函数 f(x)cos 2x6cos2x 的最大值为( ) a4 b5 c6 d7 (2)函数 ylg(sin 2x)9x2的定义域为_ (1)b (2) 3，20，2 (1)f(x)cos 2x6cos2x cos 2x6sin x 12sin2x6sin x2sin x322112， 又 sin x1,1，当 sin x1 时，f(x)取得最大值 5.故选 b. (2)由 sin 2x0，9x20，得 kxk2，kz，3x3， 3x2或 0 x2， 函数 ylg(sin 2x)9x2的

6、定义域为3，20，2. 规律方法 1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解 2求三角函数最值或值域的常用方法 (1)直接法：直接利用 sin x 和 cos x 的值域求解 (2)化一法：把所给三角函数化为 yasin(x)k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域 (3)换元法：把 sin x，cos x，sin xcos x 或 sin x cos x 换成 t，转化为二次函数求解 变式训练 1 (1)已知函数 y2cos x 的定义域为3， ，值域为a，b，则ba 的值是( ) a2 b3 c. 32 d2 3 (

7、2)求函数 ycos2xsin x|x|4的最大值与最小值 (1)b x3， ，cos x1，12，故 y2cos x 的值域为2,1， ba3. (2)令 tsin x，|x|4，t22，22，3 分 yt2t1t12254， 当 t12时，ymax54，当 t22时，ymin1 22，7 分 函数 ycos2xsin x|x|4的最大值为54，最小值为1 22. 12 分 三角函数的单调性 (1)(20 xx 洛阳模拟)已知 0，函数 f(x)sinx4在2， 上递减，则 的取值范围是( ) 【导学号：57962148】 a.12，54 b12，34 c.0，12 d(0,2 (2)函数

8、f(x)sin2x3的单调减区间为_ (1)a (2)k12，k512(kz) (1)由2x 得24x44，由题意知24，42，32， 所以 242，432，解得1254. (2)由已知函数为 ysin2x3，欲求函数的单调减区间，只需求 ysin2x3的单调增区间即可 由 2k22x32k2，kz， 得 k12xk512，kz. 故所求函数的单调减区间为k12，k512(kz) 规律方法 1.求三角函数单调区间的两种方法 (1)求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减” (2)求形如 yasin(x)(0)的单调区间时， 要视“x”为一个整体，通过解

9、不等式求解若 0，应先用诱导公式化 x 的系数为正数，以防止把单调性弄错 2已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解 变式训练 2 (1)函数 f(x)tan2x3的递增区间是_. 【导学号：57962149】 (2)若函数 f(x)sin x(0)在区间0，3上递增，在区间3，2上递减，则_. (1)k212，k2512(kz) (2)32 (1)由2k2x32k(kz)， 得k212xk2512(kz) (2)f(x)sin x(0)过原点， 当 0 x2，即 0 x2时，ysin x 是增函数； 当2x32，即2x32时，ysin x 是减函数 由 f(

10、x)sin x(0)在0，3上递增， 在3，2上递减知，23，32. 三角函数的奇偶性、周期性、对称性 角度 1 奇偶性与周期性的判断 (1)(20 xx 全国卷)在函数：ycos|2x|，y|cos x|，ycos2x6，ytan2x4中，最小正周期为 的所有函数为( ) a b c d (2)函数 y12sin2x34是( ) a最小正周期为 的奇函数 b最小正周期为 的偶函数 c最小正周期为2的奇函数 d最小正周期为2的偶函数 (1)c (2)a (1)ycos|2x|cos 2x，t. 由图像知，函数的周期 t. t. t2. 综上可知，最小正周期为 的所有函数为. (2)y12sin

11、2x34cos 2x34sin 2x，所以 f(x)是最小正周期为 的奇函数 角度 2 求三角函数的对称轴、对称中心 (20 xx 安 徽 江 南十 校 3 月联 考) 已知 函 数 f(x) sin(x )0，|2的最小正周期为 4，且对任意 xr，都有 f(x)f3成立，则f(x)图像的一个对称中心的坐标是( ) 【导学号：57962150】 a.23，0 b3，0 c.23，0 d53，0 a 由 f(x)sin (x)的最小正周期为 4， 得 12.因为 f(x)f3恒成立，所以 f(x)maxf3， 即12322k(kz)， 32k(kz)，由|2， 得 3，故 f(x)sin12x

12、3. 令12x3k(kz)， 得 x2k23(kz)，故 f(x)图像的对称中心为2k23，0 (kz)，当 k0 时，f(x)图像的一个对称中心的坐标为23，0 ，故选 a. 角度 3 三角函数对称性的应用 (1)如果函数 y3cos(2x)的图像关于点43，0 中心对称，那么|的最小值为( ) a.6 b.4 c.3 d.2 (2)已知函数 f(x)sin xacos x 的图像关于直线 x53对称，则实数 a 的值为( ) 【导学号：57962151】 a 3 b33 c. 2 d.22 (1)a (2)b (1)由题意得 3cos243 3cos232 3cos23 0， 23k2，k

13、z， k6，kz，取 k0，得|的最小值为6. (2)由 x53是 f(x)图像的对称轴， 可得 f(0)f103， 即 sin 0acos 0sin103acos103， 解得 a33. 规律方法 1.对于函数 yasin(x)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线 xx0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行判断 2求三角函数周期的方法： (1)利用周期函数的定义 (2)利用公式：yasin(x)和 yacos(x)的最小正周期为2|，ytan(x)的最小正周期为|. (3)借助函数的图像 思想与方法 1讨论三角函数性质，应先把函数式化成 yasin(x)(0)的形式，再用换元法令 tx，将其转化为研究 ysin t 的性质 2求三角函数值域(最值)的常用方法： (1)将函数变形化为 yasin(x)k 的形式，逐步分析 x 的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值) (2)换元法： 把 sin x 或 cos x 看作一个整体， 可化为求二次函数在区间上的值域(最值)问题 3若 f(x)asin(x)(a0，0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是 2k(kz)； (2)