江西财经大学数学与决科学系制作华长生

1、120001)2)12(2)1(21)(kjkkabjafabktktnkknknxfcabi0)()()()()(2)0(0bfafabtbadxxfa)(, 3 ,2 , 1k江西财经大学数学与决策科学系制作：华长生第四章 数值积分与数值微分 4.3 romberg算法算法华长生制作2 4.3 romberg算算法法 综合前几节的内容,我们知道梯形公式,simpson公式,cotes公式的代数精度分别为1次,3次和5次复合梯形、复合simpson、复合cotes公式的收敛阶分别为2阶、4阶和6阶无论从代数精度还是收敛速度,复合梯形公式都是较差的有没有办法改善梯形公式呢?华长生制作3一、复合

2、梯形公式的递推化等份分割为的积分区间将定积分nbadxxfiba,)(njjhaxj, 1 , 0,nabh各节点为 )()(2)(211njjnbfxfafnabt复合梯形(trapz)公式为则不变等份，而分割为如果将,/)(2,nabhnba)()(2)(2)(41021112bfxfxfafnabtnjjnjjn-(1)-(2)华长生制作4)()(2)(2)(41021112bfxfxfafnabtnjjnjjnhjahxxjj)21(2121其中102111)(24)()(2)(4njjnjjxfnabbfxfafnab1021)(221njjnxfnabt10)21(221njnhj

3、afnabt-(3)10)2)12(221njnnabjafnabt华长生制作5abhn 时，1则由(1)(2)(3)式,有)()(21bfafabt)21(22112hafabtt)0(0t)1(0t)1(0kttn记12kn若,2 , 1kjhaxj12kabhhxxjj212112)21(kabja12kabjakabja2)12(华长生制作6因此(1)(2)(3)式可化为如下递推公式)()(2bfafab)0(0t120001)2)12(2)1(21)(kjkkabjafabktkt,2 , 1k(4)-上式称为递推的梯形公式 递推梯形公式加上一个控制精度,即可成为自动选取步长的复合梯

4、形公式具体的方法请同学们完成思考华长生制作7二、外推加速公式由复合梯形公式的余项公式)(3122nnntttinntti31342可得nnjjntxfnabti31) )(221(341021由(3)式1021)(6)(431njjnxfnabt华长生制作812kn设)1(31)(3400ktkt102111)(6)(4 )(2)()(231njjnjjxfnabxfbfafnabi )(4)(2)()(6102111njjnjjxfxfbfafnabns复合simpson公式nntti31342令引入),1(1kt)1(1kt)1(31)(3400ktktns12ks-(5)-(6)华长生制

5、作9)(15122nnnsssi因此由复合simpson公式的余项可得nnssi15115162)1(1kt12ks即)1(151)(151611ktktns)(1ktns2当然)1(2kt)1(151)(151611ktkt令nc自己证明-(6)nc-(7)华长生制作10)1(2kt12kcnc-(8)即)(2ktnc2当然同样由复合cotes公式的余项)(63122nnncccinncci63163642)1(631)(636422ktkt得)1(3kt令)1(631)(636422ktkt-(9)华长生制作11)1(1kt)1(31)(3400ktkt)1(151)(151611ktkt

6、)1(2kt)1(3kt)1(631)(636422ktkt)()(2bfafab)0(0t120001)2)12(2)1(21)(kjkkabjafabktkt,2 , 1k外推加速公式以上整个过程称为romberg算法将上述结果综合后华长生制作12)1()(4141)1(11ktktktmmmmm其中外推加速公式可简化为-(9)0(0t)1(0t)0(1t)2(0t)1(1t)0(2t)3(0t)2(1t)1(2t)0(3t,2 , 1mm可以推广到并且,2 , 1kromberg算法的收敛阶高达m+1的两倍romberg算法求解步骤romberg算法的代数精度为m的两倍华长生制作13ro

7、mberg.m例:0sinxdx计算积分前侧矩形公式 z1 = 0.99212545660563 z11 = 0.99212545660563后侧矩形公式 z2 = 1.00783341987358 z22 = 1.00783341987358梯形公式 z3 = 0.99997943823961simpson公式 z4 = 1.000000002016138阶simpson公式 z5 =1.00000000000000自选步长梯形公式 z6 = 0.99999921563419自选步长simpson公式 z7 =1.00000051668471romberg公式 z8 = 0.99999999999802mote-carlo算法 z9 = 0.99821071589516 -0.00787454339437 -0.00787454339437 0.00783341987358 0.00783341987358 -0.00002056176039 0.00000000201613 -0.0000000000