高考数学复习 课时规范练42　直线与圆、圆与圆的位置关系

1、高考数学精品复习资料 2019.5课时规范练42直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1.已知p:“a=”,q:“直线x+y=0与圆x2+(y-a)2=1相切”,则p是q的()a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案:a解析:由直线x+y=0与圆x2+(y-a)2=1相切,可得=1,即a=±.pq.而qp,p是q的充分而不必要条件.2.已知直线l1与圆x2+y2+2y=0相切,且与直线l2:3x+4y-6=0平行,则直线l1的方程是()a.3x+4y-1=0b.3x+4y+1=0或3x+4y-9=0来源:数理化网c.3x+4y+9=0d.3x+4

2、y-1=0或3x+4y+9=0答案:d解析:设直线l1的方程为3x+4y+m=0.直线l1与圆x2+y2+2y=0相切,=1.|m-4|=5.m=-1或m=9.直线l1的方程为3x+4y-1=0或3x+4y+9=0.3.在平面直角坐标系xoy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于a,b两点,则弦ab的长等于()a.3b.2c.d.1答案:b来源:解析:如图所示,设ab的中点为d,则odab,垂足为d,连接oa.由点到直线的距离得|od|=1,|ad|2=|oa|2-|od|2=4-1=3,|ad|=,|ab|=2|ad|=2.4.若直线x+my=2+m与圆x2+y2-2x-2y+1

3、=0相交,则实数m的取值范围为()a.(-,+)b.(-,0)c.(0,+)d.(-,0)(0,+)答案:d解析:由圆的方程可知圆心坐标为(1,1),半径为1,因为直线与圆相交,所以有<1,解得m2>0,所以实数m的取值范围为(-,0)(0,+).5.过圆x2+y2=1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于a,b两点,则|ab|的最小值为()a.b.c.2d.3答案:c解析:设圆上的点为(x0,y0),其中x0>0,y0>0,则切线方程为x0x+y0y=1.分别令y=0,x=0,得a,b,|ab|=2当且仅当x0=y0时,等号成立.6.若圆x2+y2-ax+2y+1=

4、0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,过点c(-a,a)的圆p与y轴相切,则圆心p的轨迹方程为()a.y2-4x+4y+8=0b.y2+2x-2y+2=0c.y2+4x-4y+8=0d.y2-2x-y-1=0答案:c解析:由圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y=x-1上,故可得a=2,即点c(-2,2),所以过点c(-2,2)且与y轴相切的圆p的圆心的轨迹方程为(x+2)2+(y-2)2=x2,整理得y2+4x-4y+8=0.二、填空题7.圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为. 答案:x

5、2+y2=2解析:圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离d=.圆的方程为x2+y2=2.8.已知abc的三个顶点分别为a(3,1,2),b(4,-2,-2),c(0,5,1),则bc边上的中线长为. 答案:解析:bc中点坐标为d,所以|ad|=.9.设o为坐标原点,c为圆(x-2)2+y2=3的圆心,且圆上有一点m(x,y)满足=0,则=. 答案:或-解析:·=0,omcm,om是圆的切线.设om的方程为y=kx,由,得k=±,即=±.10.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为2,则a=. 

6、答案:111.在平面直角坐标系xoy中,圆c的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆c有公共点,则k的最大值是. 答案:解析:根据题意将x2+y2-8x+15=0化成标准形式为(x-4)2+y2=1,得到该圆的圆心为m(4,0),半径为1,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆c有公共点,只需要圆心m(4,0)到直线y=kx-2的距离d1+1即可,所以有d=2,化简得k(3k-4)0,解得0k,所以k的最大值是.三、解答题12.过点(,0)引直线l与曲线y=相交于a,b两点,o为坐标原点,当

7、aob的面积取最大值时,直线l的斜率为多少.解:曲线y=的图象如图所示:若直线l与曲线相交于a,b两点,则直线l的斜率k<0,设l:y=k(x-),则点o到l的距离d=.又saob=|ab|·d=×2·d=,当且仅当1-d2=d2,即d2=时,saob取得最大值.,k2=,k=-.13.已知圆o:x2+y2=4和点m(1,a),(1)若过点m有且只有一条直线与圆o相切,求实数a的值,并求出切线方程;(2)若a=,过点m的圆的两条弦ac,bd互相垂直,求|ac|+|bd|的最大值.解:(1)由条件知点m在圆o上,所以1+a2=4,解得a=±.当a=时

8、,点m为(1,),kom=,k切线=-,此时切线方程为y-=-(x-1),即x+y-4=0.当a=-时,点m为(1,-),kom=-,k切线=,此时切线方程为y+(x-1),即x-y-4=0.所以所求的切线方程为x+y-4=0,或x-y-4=0.(2)设o到直线ac,bd的距离分别为d1,d2(d1,d20),则=|om|2=3.于是|ac|=2,|bd|=2.所以|ac|+|bd|=2+2.则(|ac|+|bd|)2=4(4-+4-+2)=45+2=4(5+2).因为2d1d2=3,所以,当且仅当d1=d2=时取等号.所以.来源:所以(|ac|+|bd|)24×=40.所以|ac|

9、+|bd|2,即|ac|+|bd|的最大值为2.14.已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a4)的圆心为c,直线l:y=x+m.(1)若m=4,求直线l被圆c所截得弦长的最大值;(2)若直线l是圆心c下方的切线,当a在(0,4上变化时,求m的取值范围.解:(1)x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0,(x+a)2+(y-a)2=4a,圆心为c(-a,a),半径为r=2.设直线l被圆c所截得的弦长为2t,圆心c到直线l的距离为d,当m=4时,直线l:x-y+4=0,圆心c到直线l的距离为d=|a-2|,t2=(2)2-2(a-2)2=-2a2+12a-8=-2(a

10、-3)2+10,又0<a4,当a=3时,直线l被圆c所截得弦长的值最大,其最大值为2.(2)圆心c到直线l的距离为d=|m-2a|,直线l是圆c的切线,d=r,即=2,m=2a±2,直线l在圆心c的下方,m=2a-2=(-1)2-1,a(0,4,m-1,8-4.来源:15.已知圆c经过点a(-2,0),b(0,2),且圆心c在直线y=x上,又直线l:y=kx+1与圆c相交于p,q两点.(1)求圆c的方程;(2)若=-2,求实数k的值;(3)过点(0,1)作直线l1与l垂直,且直线l1与圆c交于m,n两点,求四边形pmqn面积的最大值.解:(1)设圆心c(a,a),半径为r.因为

11、圆c经过点a(-2,0),b(0,2),所以|ac|=|bc|=r,易得a=0,r=2.来源:所以圆c的方程是x2+y2=4.(2)因为·=2×2×cos<>=-2,且的夹角为poq,所以cospoq=-,poq=120°,所以圆心c到直线l:kx-y+1=0的距离d=1,又d=,所以k=0.(3)设圆心o到直线l,l1的距离分别为d,d1,四边形pmqn的面积为s.因为直线l,l1都经过点(0,1),且ll1,根据勾股定理,有+d2=1.又易知|pq|=2×,|mn|=2×,所以s=·|pq|·|mn

12、|,即s=×2××2×=2=22=2=7,当且仅当d1=d时,等号成立,所以四边形pmqn面积的最大值为7.四、选做题1.设m,nr,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是()a.1-,1+b.(-,1-1+,+)c.2-2,2+2d.(-,2-22+2,+)答案:d解析:由题意可得,=1,化简得mn=m+n+1,解得m+n2-2或m+n2+2,故选d.2.已知p是直线l:kx+y+4=0(k>0)上一动点,pa,pb是圆c:x2+y2-2y=0的两条切线,切点分别为a,b.若四边形pa

13、cb的最小面积为2,则k=. 答案:2解析:圆c:x2+y2-2y=0的圆心为(0,1),半径为1,因为四边形pacb的面积s=pa·ac=·ac=,而s最小值为2,所以pc的最小值为,即圆心(0,1)到直线l距离,解得k=2.3.已知圆c的圆心c与点a(2,1)关于直线4x+2y-5=0对称,圆c与直线x+y+2=0相切.(1)设q为圆c上的一个动点,若点p(1,1),m(-2,-2),求的最小值;(2)过点p(1,1)作两条相异直线分别与圆c相交于a,b,且直线pa和直线pb的倾斜角互补,o为坐标原点,试判断直线op和ab是否平行?请说明理由.解:(1)设圆心c(a,b),则ac中点坐标为,圆心c与点a(2,1)关于直线4x+2y-5=0对称,解得圆心c(0,0)到直线x+y+2=0的距离r=,圆c的方程为x2+y2=2.设q(x,y),则x2+y2=2,·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2