高考数学兵法10招10以退为进走也风流

1、高考数学精品复习资料 2019.5（10）以退为进 走也风流数学解题中遇到难题怎么办？答曰：以退为进，“36着，走为上着”.这种“走”，当然不是消极的逃. 考场上遇到难题，如同战场上遇到强敌.应该“打得赢就打，打不赢就走.”（ 毛泽东语）打是为了消灭敌人，而走的目的，既是为了保全自己，又是为了更有效的消灭敌人.这种思想完全应该而且能够移植到考场上.在具体操作上，有如下几种 “走”法.（1） 一般不易，向特殊走一个问题在普遍意义上难以认识辨别与掌握，在特殊情况下往往清楚明白.既如此，我们解题时，何不以退为进，由一般退到特殊呢？用这种“特殊化思想”去解那些“不小的小题” 是特别优质而且高效的，这种

2、退法是一切退法中的首选.【例1】如方程表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（ ）a. b.c. d. 【解析】取，则双曲线为，其焦点.而此时a、b、d轨迹都不存在，故选c.评注：注意到选择题都有“4选1”的特点。这里一次特值即可否定其三，从而肯定其一，这不正是“向特殊走”的功劳吗？（2） 代数不易，向几何走；【例2】直线y=2k与曲线（kr且k0）的公共点的个数为 （ ）a.1 b.2 c.3 d.4【解析】不妨取k=1，有：，即.此方程的图象是如图的双椭圆，它与直线y=2与有4个不同的交点.故选d.评注：题设两个方程都含有参变量，是抽象型的题型。我们先取特值k=1，使其简单化，再画

3、图象使其具体化。于是所要答案就自动浮出水面.（3）解几不易，平几铺路【例3】已知圆和直线y=mx交于p、q两点则的值为（ ）【解析】如图，圆的圆心为c（3，0），半径r=2,圆交x轴于a(1,0),b(5,0).由平面几何知识;1×5=5.故选c.【例4】已知圆的方程，过作直线与圆交于点，且关于直线对称，则直线的斜率等于 （ ）（a） （b）   （c）  （d）【解析】（几何法：利用垂径定理及圆的对称性）如图, 显然点在圆上.例4图点m关于y轴的对称点n（4,3）也在圆上.连on.mn平分amb,n为的中点.必onab.评注;各位试想：这两题如果局限于

4、用高中解析法去做，难度会增加多少倍？ 这说明;有时候，最原始的方法。可能是最好的方法.（4）空间不易，向平面走【例5】如图，在三棱柱abc-abc中，点e、f、h、k分别为的中点，g为abc的重心，从k，h，g，b中取一点作为p，使得该棱柱恰有2条棱与平面pef平行，则p为 （ ） a.k b.h c.g d.b【解析】如图，过g、e、f作三棱柱的截面pqmn，由于g为abc的重心，且mnab，故m、n必不是ac、ab的中点，而e、f分别是侧面的中心，故四边形mnpq是梯形而非平行四边形，因之该棱柱恰有二条棱与平面pef平行，故选c.评注：空间问题的基础在平面.正是注意到三角形重心的性质特点，

5、才有如上优质高效的解题速度，否则“按部就班”地逐一分析鉴别，很可能陷入“欲进不得，欲罢不忍”的两难境地.（5）正面难攻，反面去做在战争中，一切高明的军事家总是提倡“攻其无备，避实击虚”的.考场上也是一样，“正难则反”往往是破题的良策.【例6】已知函数满足且.求证：.【分析】本题直接由条件推证结论比较难于下手，而证明结论的反面不成立则相对容易.故采用反证法证之.【证明】由及，知.将两边同除以正数，得：.假定，即，则，这与的条件矛盾.假定，即，则.从而，这又与的条件矛盾.于是，都不能成立，故必有.评注：凡命题都有题设（即已知条件）和题断（即待定结论），通过推倒题断反面而达到肯定题断正面的证题方法称

6、之为反证法.反证法证题的步骤是：(1)反设：即假定题设反面为真；(2)归谬：即通过正确的推理引出矛盾；(3)结论：追究产生矛盾原因，必为反设之不当，从而推倒反面，肯定正面.（6）纵深不易，回归源头【例7】ab是抛物线的一条弦，若ab的中点到x轴的距离为2，则弦ab长度的最大值是 【解析】抛物线的焦点为，准线是.连结fa，fb，作aa于a，bb于bmm于m那么.评注：是根据抛物线的定义，是三角形的边角关系（当且仅当a,f,b共线时取等号），又是梯形中位线的性质.正是根据这些再原始不过的知识，将本题解析得淋漓尽致.（7）抽象难啃，以形配数.【例8】已知集合，若ab=Æ，求实数a的值.【分

7、析】表面上看，这是一道代数的题.可是你若用纯代数的方法去做又何其难也.可是我们若给出题中的两个集合的几何解释，不难看出问题的实质是考察两条直线平行的条件.因而有如下比较轻松的解法：【解析】ab=Æ的含义是：直线平行.当a=1时， 显然（2）恒不成立，此时b=Æ，从而ab=Æ；当a=-1时，显然两直线平行，亦有ab=Æ.当a±1时，由于两方程中x，y的系数不成比例，即，两直线恒不平行.但由于直线（1）中x2，不含点（2，3），将点（2，3）代入方程（2），得.于是所求实数a的值是1，-1，-5.8.逢无穷题，走有穷路.自从接触高中数学，所有学生都

8、会接触到一个怪物无穷大!无穷大是什么？是可望而不可求的无法计程的太空，是可以想象但实际无法到达的数学之神的领地，无穷大不是一个具体的数，它比任何人所能想象得到的大数还要大得多，在“无穷大”的领域里，你不能比较它的一半或它的两倍的大小；它们实际上“一样大”！由于无穷大具有这种“怪僻”的性质，所以处理起来会十分困难，怎么办？还是退，先从无限退到有限，摸清规律，再返回无限.【例9】数列中，是这个数列的第几项？【分析】这个数列虽然是无穷数列，但是数之前只有有限多项.尽管如此，不准确摸清这个数列的规律，也是难以探明它的位置的.对这个数列，我们应从如下两个方面认识：（1）这个数列除第一项外，其他各项都是由

9、1，2，n，组成的分数.分子由1逐渐递增到n，而分母则由n逐渐递减到1.例如由数字1，2，3，4组成的分数有四个：由此还可知道，由数字1，2，n组成的分数有n个.（2）每一组分数中，分子与分母两数字之和是一个比n大一的常数.例如这四个分数，分子与分母两数字之和是比4大1的数，也就是5.弄清楚了这两点，以下的解法便是轻而易举的事.【解析】由数字1，2，n组成的分数有n个：.这n个分数的分子与分母两数字之和都是n+1.的分子与分母两数字之和是15，所以它属于由数字1，2，3，14所组成的分数之中的第8个.而前面各组共有1+2+3+13=91个分数，故是这个数列中的第91+8=99项.【例10】设n

10、为正整数，规定.已知，求的值.【分析】面对题目中这种“无穷”的架势，你大可不必惊慌，任何无穷都是从有限开始的，唯一的办法是从无穷退到有限，老老实实地从1做起.【解析】；.可见，由当n=1，2，3，时，其函数值组成的数列是周期数列，其周期为4，每一个周期的数依次为：.由于20xx恰为4的倍数多2，故.【小结】对待数学高难题的基本策略是“以退为进”，因为题难，不充分熟悉题设环境，进入解题角色，制定解题对策，就不能攻克难题，所以当你面对难题，一时束手无策时，必须退，具体地说，有如下几种退法：一般不易，向特殊走；不易不易，向几何走；解几不易，平几铺路；空间不易，向平面走；正面难攻，反面去做；纵深不易，回归源头；抽象难啃，以形配数；逢无穷题，走有穷路；灵活