高中数学课本典例改编之必修二、三：专题三 直线与圆的方程 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.5一、题之源：课本基础知识1直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°(2)倾斜角的范围为0,)2直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即ktan ,倾斜角是90°的直线没有斜率(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.3直线方程名称几何条件方程局限性点斜式过点(x0,y0),斜率为kyy0k(xx0)不含垂直于x轴的直线斜截式斜率为k,纵截距

2、为bykxb不含垂直于x轴的直线两点式过两点(x1,y1),(x2,y2)(x1x2,y1y2)不包括垂直于坐标轴的直线截距式在x轴、y轴上的截距分别为a,b(a,b0)1不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式axbyc0(a,b不全为0)4.两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1,l2,斜率分别为k1, k2平行k1k2k1与k2都不存在垂直k1k21k1与k2一个为零、另一个不存在5.两条直线的交点6三种距离点点距点p1(x1,y1),p2(x2,y2)之间的距离|p1p2|点线距点p0(x0,y0)到直线l：axbyc0的距离d线线距两条平行线a

3、xbyc10与axbyc20间的距离d7圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a,b),半径：r一般方程x2y2dxeyf0(d2e24f0)圆心：(,),半径：8.点与圆的位置关系点m (x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若m(x0,y0)在圆外,则(x0a)2(y0b)2r2(2)若m(x0,y0)在圆上,则(x0a)2(y0b)2r2(3)若m(x0,y0)在圆内,则(x0a)2(y0b)2r29直线与圆的位置关系设直线l：axbyc0(a2b20),圆：(xa)2(yb)2r2(r>0

4、),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为.方法位置关系几何法代数法相交d<r>0相切dr0相离d>r<010.圆与圆的位置关系设圆o1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0),圆o2：(xa2)2(yb2)2r(r2>0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1,r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|<d<r1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d<|r1r2|(r1r2)无解二、题之本

5、：思想方法技巧1.直线的倾斜角和斜率的关系,可借助ktan的图象(如图)来解决.这里,0,),k的范围是两个不连续的区间.在求直线方程时,若不能确定直线的斜率是否存在,则应对斜率存在或不存在分类进行讨论.2.直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标,它不是距离. 直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0,直线在两坐标轴上的截距相等,直线方程可以理解为,但不要忘记当a=0时,直线y=kx在两条坐标轴上的截距都是0,也是截距相等.3.在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时,应用截距式方程比较简单.4. 直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式注意各种形式的局

6、限性,如点斜式不适用于斜率不存在的直线,所以设方程的点斜式或斜截式时,就应该先考虑斜率不存在的情形.例如：一条直线经过点,且被圆截得的弦长为8,求此弦所在直线的方程.该题就要注意,不要漏掉x+3=0这一解.）5.求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件,选择适当的直线方程形式,求出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程,再根据已知条件求出待定系数,从而写出直线方程.6.无论是判断两条直线平行还是垂直,都是从两方面来讨论的,即两条直线斜率都存在的情况和两条直线至少有一条斜率不存在的情况.7.两条直线平行或垂直时求直线方程中的参数,需分类讨论及数形结合.8.如果能推导出用直线

7、方程一般式表示的两条直线平行、重合或垂直的条件(一般式系数之间的关系),并记住结论,往往会使问题更易于解决.9.求两条直线交点坐标的方法就是解方程组,利用解方程组也可以判断两条直线的位置关系,即将几何问题转化为代数问题.10.运用公式d求两平行直线间的距离时,一定要将两条直线方程中x,y的系数化成相等的系数,求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离,即在一条直线上任取一点,求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离.这一方法体现了化归思想的应用.11.点(x0,y0)到直线ykxb(即ykxb0)的距离公式d记忆容易,对于知d求k,b很方便.12.对称主要分为中心对称和轴对称两种,中心

8、对称仅用中点坐标公式即可,轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴,所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决.13. 注意应用圆的几何性质解题圆的图形优美,定理、性质丰富,在学此节时,重温圆的几何性质很有必要,因为使用几何性质,能简化代数运算的过程,拓展解题思路.14.圆的方程的确定15由圆的标准方程和圆的一般方程,可以看出方程中都含有三个参变数,因此必须具备三个独立的条件,才能确定一个圆,求圆的方程时,若能根据已知条件找出圆心和半径,则可用直接法写出圆的标准方程,否则可用待定系数法.16.求圆的方程的方法(1)几何法：即通过研究圆的性质,以及点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系,求得

9、圆的基本量(圆心坐标和半径长),进而求得圆的方程.(2)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程,其一般步骤是：根据题意选择方程的形式；利用条件列出关于a,b,r或d,e,f的方程组；解中的方程组,求得a,b,r或d,e,f的对应值,代入圆的标准方程或一般方程.17.在解决直线和圆的位置关系问题时,一定要联系圆的几何性质,利用有关图形的几何特征以简化运算；讨论直线与圆的位置关系时,一般不讨论>0,0,<0,而用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系,即d<r,dr,d>r,分别确定相交、相切、相离.18.要特别注意利用圆的性质,如“垂直于弦的直径必平分弦”,“圆的切线垂直

10、于过切点的半径”,“两圆相切时,切点与两圆圆心三点共线”等等.可以说,适时运用圆的几何性质,将明显减少代数运算量,请同学们切记.19.涉及圆的切线时,要考虑过切点与切线垂直的半径,过圆x2y2dxeyf0外一点m(x0,y0)引圆的切线,t为切点,切线长公式为.20.计算弦长时,要利用半径、弦心距(圆心到弦所在直线的距离)、半弦长构成的直角三角形.当然,不失一般性,圆锥曲线的弦长公式(a(x1,y1),b(x2,y2)为弦的两个端点)也应重视.21.已知o1：x2y2r2；o2：(xa)2(yb)2r2；o3：x2y2dxeyf0.若点m(x0,y0)在圆上,则过m的切线方程分别为x0xy0y

11、r2；(xa)(x0a)(yb)(y0b)r2；x0xy0yd·e·f0.若点m(x0,y0)在圆外,过点m引圆的两条切线,切点为m1,m2,则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程分别为x0xy0yr2；(xa)(x0a)(yb)(y0b)r2；x0xy0yd·e·f0.圆x2y2r2的斜率为k的两条切线方程分别为ykx±r.掌握这些结论,对解题很有帮助.22.研究两圆的位置关系时,要灵活运用平面几何法、坐标法.两圆相交时可由两圆的方程消去二次项求得两圆公共弦所在的直线方程.23.对涉及过直线与圆、圆与圆的交点的圆的问题,可考虑利用过交点的圆

12、系方程解决问题,它在运算上往往比较简便.24.平面上到两定点距离的比为定值(>0且1)的点的轨迹是圆.25.两圆相交所得公共弦方程是两圆方程相减消去二次项所得.x0x+y0y=r2 表示过圆x2+y2=r2上一点（x0,y0）的切线,若点（x0,y0）在已知圆外,x0x+y0y=r2 表示什么？（切点弦）三、题之变：课本典例改编1.原题（必修2第132页习题4.2 a组第三题）求以为圆心,并且与直线相切的圆的方程.改编1 （重庆卷）过坐标原点且与圆相切的直线的方程为（ ）a.或 b.或 c.或 d.或【答案】a.【解析】设直线方程为,即.圆方程可化为,圆心为（2,-1）,半径为.依题意有

13、,解得或,直线方程为或,故选（a）.改编2 （湖北卷）已知直线与圆相切,则的值为 .【解析】圆的圆心为（1,0）,半径为1,解得或.改编3 求经过点,且与直线和都相切的圆的方程. 2.原题（必修2第132页练习第三题）某圆拱桥的水面跨度20,拱高4.现有一船宽10,水面以上高3,这条船能否从桥下通过？改编 某圆拱桥的水面跨度是20,拱高为4.现有一船宽9,在水面以上部分高3,故通行无阻.近日水位暴涨了1.5,为此,必须加重船载,降低船身.当船身至少应降低 时,船才能通过桥洞.（结果精确到0.01）.【解析】建立直角坐标系,设圆拱所在圆的方程为.圆经过点（10,0）,（0,4）,解得.圆的方程是

14、. 令,得.故当水位暴涨1.5后,船身至少应降低,船才能通过桥洞.3.原题（必修2第133页习题4.2a组第九题）求圆与圆的公共弦的长.改编 两圆c1 ：x2+ y2-1=0和c2：x2+ y2-8x+12=0的公切线长为_.【解析】c1 ：x2+ y2=1,c2：（x-4）2+ y2 = 4, |c1 c2|=4图（1）：|ab|=；图（2）：|ab|=,即公切线长和.4.原题（必修2第133页习题4.2b组第2题）已知点,点在圆上运动,求的最大值和最小值.改编1 已知点,点坐标满足,求的最大值和最小值.改编2 已知,点在圆上运动,则的最小值是 .【解析】设,则.设圆心为,则,的最小值为.5

15、.原题（必修2第133页习题4.2b组第3题）已知圆x2+y2=4,直线l: y=x+b.当b为何值时,圆x2+y2=4上恰有3个点到直线的距离都等于1.改编 已知圆x2+y2=4, 直线l: y=x+b. 圆上至少有三个点到直线l的距离都是1,则b 的取值范围是_. 【解析】6.原题（必修2第144页复习参考题b组第2题）已知点与两个定点,距离的比是一个正数,求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形（考虑和两种情形）.改编1 已知两定点,如果动点满足,则点的轨迹所包围的面积等于（ ） a. b. c. d.【答案】b.【解析】设点的坐标是.由,得,化简得,点的轨迹是以（2,0）为圆心,2为半径的圆,所求面积为,故选b.改编2 由动点向圆引两条切线、,切点分别为、,=60