高考数学二轮：4.4推理与证明试题含答案

1、高考数学精品复习资料 2019.5第4讲推理与证明1(20xx·湖北)已知集合a(x，y)|x2y21，x，yz，b(x，y)|x|2，|y|2，x，yz，定义集合ab(x1x2，y1y2)|(x1，y1)a，(x2，y2)b，则ab中元素的个数为()a77 b49 c45 d302(20xx·北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最

2、多有()a2人 b3人c4人 d5人3(20xx·山东)观察下列各式：c40；cc41; ccc42；cccc43；照此规律，当nn*时，c c c c_.4(20xx·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2xn(nn*)，其中xk(k1,2，n)称为第k位码元二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)已知某种二元码x1x2x7的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为000,011,101,110.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于_1.以

3、数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.热点一归纳推理(1)归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理(2)归纳推理的思维过程如下：例1(1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n，记第n个k边形数为n(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数n(n,3)n2n，正方形数 n(n,4)

4、n2，五边形数 n(n,5)n2n，六边形数 n(n,6)2n2n可以推测n(n，k)的表达式，由此计算n(10,24)_.(2)已知f(n)1(nn*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则有_思维升华归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用其思维模式是“观察归纳猜想证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想跟踪演练1(1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的

5、个数是()a26 b31 c32 d36(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()a48,49 b62,63 c75,76 d84,85热点二类比推理(1)类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理(2)类比推理的思维过程如下：例2(1)在平面几何中有如下结论：若正三角形abc的内切圆面积为s1，外接圆面积为s2，则.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体abcd的内切球体积为v1，外接球体积为v2，则_.(2)(20xx·日照高三第一次模

6、拟考试)已知双曲正弦函数sh x和双曲余弦函数ch x与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论_思维升华类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比跟踪演练2(1)若数列an是等差数列，bn，则数列bn也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为()ad

7、nbdncdn ddn(2)若点p0(x0，y0)在椭圆1(a>b>0)外，过点p0作该椭圆的两条切线，切点分别为p1，p2，则切点弦p1p2所在直线的方程为1.那么对于双曲线1(a>0，b>0)，类似地，可以得到切点弦所在直线的方程为_热点三直接证明和间接证明直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果，而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证明方法例3已知数列an满足：a1，anan1<0 (n1)；数列bn满足：bnaa (n1)(1)求数列an，bn的通项公式；(2)证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列思维升华(1)有关否定性结论的证

8、明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可(2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用跟踪演练3(1)已知abc的三个内角a，b，c成等差数列，a，b，c的对边分别为a，b，c.求证：；(2)已知f(x)ax(a>1)，证明：方程f(x)0没有负根热点四数学归纳法数学归纳法证明的步骤(1)证明当n取第一个值n0(n0n*)时结论成立(2)假设nk(kn*，且kn0)时结论成立，证明nk1时结论也成立由(1)(2)可知，对任意nn0，且nn*时，结论都成立例4已知f(n)1，g(n)，nn*.(

9、1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明思维升华用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项难点在于寻求等式在nk和nk1时的联系跟踪演练4设a>0，f(x)，令a11，an1f(an)，nn*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论1把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表设aij(i，jn*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a428

10、.若aij2 011，则i与j的和为_2已知下列不等式：x2，x3，x4，则第n个不等式为_3设数列an是公比为q的等比数列，sn是它的前n项和，证明：数列sn不是等比数列提醒：完成作业专题四第4讲二轮专题强化练专题四 第4讲推理与证明a组专题通关1观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于()a28 b76c123 d1992观察下列事实：|x|y|1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|y|2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|y|3的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为()a76 b80 c

11、86 d923(20xx·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理()a结论正确 b大前提不正确c小前提不正确 d全不正确4下列推理是归纳推理的是()aa，b为定点，动点p满足|pa|pb|2a>|ab|，则p点的轨迹为椭圆b由a11，an3n1，求出s1，s2，s3，猜想出数列的前n项和sn的表达式c由圆x2y2r2的面积r2，猜想出椭圆1的面积sabd以上均不正确5已知函数f(x)是r上的单调增函数且为奇函数，数列an是等差数列，a3>0，则f(a1)f(a3)f(a5)的值()a恒为正数 b恒为负

12、数c恒为0 d可正可负6(20xx·山东)定义运算“”：xy(x，yr，xy0)，当x0，y0时，xy(2y)x的最小值为_7平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为_8如果函数f(x)在区间d上是凸函数，那么对于区间d内的任意x1，x2，xn，都有f()若ysin x在区间(0，)上是凸函数，那么在abc中，sin asin bsin c的最大值是_9某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213°cos217°sin 13°cos 17°；sin215°cos215

13、76;sin 15°cos 15°；sin218°cos212°sin 18°cos 12°；sin2(18°)cos248°sin(18°)cos 48°；sin2(25°)cos255°sin(25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论10已知a，b，m为非零实数，且a2b22m0，12m0.(1)求证：；(2)求证：m.b组能力提高11(20xx&

14、#183;西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个“整数对”是()a(7,5) b(5,7)c(2,10) d(10,1)12对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，.仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为_13在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2a2b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱

15、锥olmn，如果用s1，s2，s3表示三个侧面面积，s4表示截面面积，那么类比得到的结论是_14蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明：<.学生用书答案精析第4讲推理与证明高考真题体验1c如图，集合a表示如图所示的所有圆点“”，集合b表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”，集合ab显然是集合(x，y)|x|3，|y|3，x，yz中除去四个点(3

16、，3)，(3,3)，(3，3)，(3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合ab表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”所有圆点“”，共45个故ab中元素的个数为45.故选c.2b假设满足条件的学生有4位及4位以上，设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数学成绩不一样(或4位同学中必有两个数学成绩一样，且这两个人语文成绩不一样)，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过3人当有3位学生时，用a，b，c表示“优秀”“合格”“不合格”，则满足题意的有ac，ca，bb，所以最多有3人34n1解析观察每行等式的特点，

17、每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有cccc4n1.45解析()x4x5x6x711011，()x2x3x6x710010；()x1x3x5x710111.由()()知x5，x7有一个错误，()中没有错误，x5错误，故k等于5.热点分类突破例1(1)1 000(2)f(2n)>(n2，nn*)解析(1)由n(n,4)n2，n(n,6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，n(n，k)n2n，n(10,24)×100×101 1001001 000.(2)由题意得f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(

18、25)>，所以当n2时，有f(2n)>.故填f(2n)>(n2，nn*)跟踪演练1(1)b(2)d解析(1)有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65×(61)31.故选b.(2)由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有d符合条件例2(1)(2)ch(xy)ch xch ysh xsh y解析(1)平面几何中，圆的面积与圆的半

19、径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以.(2)ch xch ysh xsh y··(exyexyexyexyexyexyexyexy)(2exy2e(xy)ch(xy)，故知ch(xy)ch xch ysh xsh y，或sh(xy)sh xch ych xsh y，或sh(xy)sh xch ych xsh y.跟踪演练2(1)d(2)1解析(1)由an为等差数列，设公差为d，则bna1d，又正项数列cn为等比数列，设公比为q，则dnc1，故选d.(2)设p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，p0(x0，y0)，则过点p1，p2的切线的方程分别

20、为1，1.因为p0(x0，y0)在这两条切线上，所以1，1，这说明p1(x1，y1)，p2(x2，y2)都在直线1上，故切点弦p1p2所在直线的方程为1.例3(1)解已知化为，而1a，所以数列1a是首项为，公比为的等比数列，则1a×n1，则a1×n1，由anan1<0，知数列an的项正负相间出现，因此an(1)n1，bnaa×n×n1×n1.(2)证明假设存在某三项成等差数列，不妨设为bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整数，可设m<n<p，而bn×n1随n的增大而减小，那么只能有2bnbmbp，可得2&#

21、215;×n1×m1×p1，则2×nm1pm.当nm2时，2×nm2×2，上式不可能成立，则只能有nm1，此时等式为1pm，即pm，那么pmlog，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等所以假设不成立，那么数列bn中的任意三项不可能成等差数列跟踪演练3证明(1)要证，即证3，也就是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又abc三内角a，b，c成等差数列，故b60°，由余弦定理，得b2c2a22accos 60°，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立(2)假设x0是

22、f(x)0的负根，则x0<0，且x01，a，所以0<a <10<<1，解得<x0<2，这与x0<0矛盾，故方程f(x)0没有负根例4解(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，所以f(2)<g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，所以f(3)<g(3)(2)由(1)，猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明当n1,2,3时，不等式显然成立，假设当nk(k3)时不等式成立，即1<.那么，当nk1时，f(k1)f(k)<.因为<0，所以f(k1)<g(k1)由

23、可知，对一切nn*，都有f(n)g(n)成立跟踪演练4(1)解a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想an(nn*)(2)证明易知，n1时，猜想正确假设nk时猜想正确，即ak，则ak1f(ak).这说明，nk1时猜想正确由知，对于任何nn*，都有an.高考押题精练1108解析由三角形数表的排列规律知，aij2 011，则i必为奇数设i2m1.在第i行上面，必有m行为奇数行，m行为偶数行在前2m行中，共有奇数m2个最大的奇数为1(m21)×22m21，由2m21<2 011得m的最大值31.i63.最大的奇数为1 921，在第63行中，首项为1 923

24、，即1 923(j1)×22 011，j45，故ij108.2xn1解析已知所给不等式的左边第一个式子都是x，不同之处在于第二个式子，当n1时，为；当n2时，为；当n3时，为显然式子中的分子与分母是对应的，分母为xn，分子是nn，所以不等式左边的式子为x，显然不等式右边的式子为n1，所以第n个不等式为xn1.3证明假设sn是等比数列，则ss1s3，即a(1q)2a1·a1(1qq2)因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与q0矛盾，故sn不是等比数列二轮专题强化练答案精析第4讲推理与证明1c观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11，其规律为从第三项起，每项等于其

25、前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，第十项为123，即a10b10123.2b由|x|y|1的不同整数解的个数为4，|x|y|2的不同整数解的个数为8，|x|y|3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|y|n的不同整数解的个数为4n，故选b.(本题用列举法也不难找出|x|y|20的80个不同整数解)3c因为f(x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提不正确4b从s1，s2，s3猜想出数列的前n项和sn，是从特殊到一般的推理，所以b是归纳推理5a由已知得f(0)0，a1a52a3>0，所以a1>a5.由于

26、f(x)单调递增且为奇函数，所以f(a1)f(a5)>f(a5)f(a5)0，又f(a3)>0，所以f(a1)f(a3)f(a5)>0.故选a.6.解析由题意，得xy(2y)x，当且仅当xy时取等号7f(n)解析1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域；3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域；，n条直线最多可将平面分成1(123n)1个区域8.解析由题意知，凸函数满足f()，又ysin x在区间(0，)上是凸函数，则sin asin bsin c3sin3sin.9解方法一(1)选择式，计算如下：sin215°cos215°sin 15°cos 15°1sin 30°1.(2)三角恒等式为sin2cos2(30°)sin cos(30°).证明如下：sin2cos2(30°)sin cos(30°)sin2(cos 30°cos sin 30°sin )2sin (cos 30°cos sin 30°sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.方法二(1)同方法一(2)三角恒等式为sin2cos2(3