高考数学理一轮考点解析：立体几何综合题的解答

1、高考数学精品复习资料 2019.5专题四立体几何综合题的解答对应学生用书p137考向一三视图与几何体表面积及体积的计算(20xx·高考湖北卷)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()a.b3c.d6【方法分析】题目条件：已知几何体三视图的大小及形状解题目标：求几何体的体积关系探究：由侧视图和俯视图可想象几何体为圆柱，由正视图想象是沿圆柱的一半高度斜截去了一部分()，可补形成整个圆柱【解答过程】将三视图还原为实物图求体积由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的，所以v××12×43.【答案】b【

2、回归反思】(1)对于不规则的几何体可采用割补法，使之成为规则的几何体，再计算体积或表面积本题采用了补形法(2)本圆柱所割去的部分是圆柱的，易当作，错误解答(3)此类问题分三步解答：第一步，定形，即由几何体的三视图确定几何体的形状及其结构特征；第二步，定量，即由三视图中的数据确定几何体的几何度量；第三步，计算，即把相应数据代入柱、锥、台、球等几何体的体积、表面积公式，计算结果考向二空间点、线、面的综合关系及应用(20xx·高考安徽卷)如图，四棱锥pabcd的底面abcd是边长为2的菱形，bad60°，已知pbpd2，pa.(1)证明：pcbd；(2)若e为pa的中点，求三棱锥

3、pbce的体积【方法分析】题目条件：四棱锥pabcd，底面abbccdda，bad60°，adc120°，pdpb，e是pa的中点解题目标：(1)异面直线pcbd.(2)求vpbce.关系探究：(1)连接ac，与bd交于点o，由pbpd以及底面为菱形的条件，线面垂直的判定定理可证bd平面apc，从而可证；(2)利用四面体的等积变换，转化为以b为顶点的三棱锥，进而判断三棱锥pbce的体积是三棱锥bapc的体积的一半，代入公式计算【解答过程】(1)证明：连接ac，交bd于点o，连接po.因为底面abcd是菱形，所以acbd，bodo.由pbpd知，pobd.又因为poaco，所

4、以bd平面apc，因此bdpc.(2)因为e是pa的中点，所以v三棱锥pbcev三棱锥cpebv三棱锥cpabv三棱锥bapc.由pbpdabad2知，abdpbd.因为bad60°，所以poao，ac2，bo1.又pa，所以po2ao2pa2，所以poac，故sapcpo·ac3.由(1)知，bo平面apc，因此v三棱锥pbcev三棱锥bapc··bo·sapc.【回归反思】(1)证明线线垂直，一般采用线面垂直的性质，而证明线面垂直，又要利用线线垂直或线面垂直(2)求三棱锥的体积常进行等积转化，即转化为底面积或高易求的三棱锥，如本题中vpbc

5、evbpcevbapc.考向三线面位置关系的存在性探究(20xx·高考北京卷)如图(1)，在rtabc中，c90°，d，e分别为ac、ab的中点，点f为线段cd上的一点，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1fcd，如图(2)(1)求证：de平面a1cb；(2)求证：a1fbe；(3)线段a1b上是否存在点q，使a1c平面deq？说明理由【方法分析】题目条件：平面图形rtacb，c90°，decb，翻折后成四棱锥a1bcde，bcde为直角梯形，a1fdc(有平行关系、有垂直关系)解题目标：(1)de面a1cb(线面平行)(2)a1fbe(线线垂直)(3)探究

6、点qa1b.关系探究：图(1)图(2)debcde面 a1cb图(1)图(2)de面a1dca1f面cbeda1fbe.取a1c中点p，ab中点qa1c面deqp.【解答过程】(1)证明：因为d，e分别为ac，ab的中点，所以debc.又因为de平面a1cb，所以de平面a1cb.(2)证明：由已知得acbc且debc，所以deac.所以dea1d，decd.来源:所以de平面a1dc.而a1f平面a1dc，所以dea1f.又因为a1fcd.所以a1f平面bcde，所以a1fbe.(3)线段a1b上存在点q，使a1c平面deq.理由如下：如图，分别取a1c，a1b的中点p，q，则pqbc.又因

7、为debc，所以depq.所以平面deq即为平面dep.来源:由(2)知，de平面a1dc，所以dea1c.又因为p是等腰三角形da1c底边a1c的中点，来源:所以a1cdp.所以a1c平面dep.从而a1c平面deq.故线段a1b上存在点q，使得a1c平面deq.【回归反思】(1)平面图形翻折到立体图形，位于折线同一侧的平面中的位置关系及度量不变：如本题图(2)中仍有bcde，debc，bcdc，dedc.(2)存在性问题，可以先假设特殊的位置(元素)就是所求，然后证明这个位置(元素)是否适合题意，同时要牢牢抓住“转化”这一武器，线与线、线与面、面与面之间的平行(垂直)，都可互相转化证明线面

8、平行与垂直关系的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线和辅助面时一定要以相关性质、定理为依据，绝不能主观臆断考向四空间向量与空间角的计算(20xx·高考湖北卷)如图，ab是圆o的直径，点c是圆o上异于a，b的点，直线pc平面abc，e，f分别是pa，pc的中点(1)记平面bef与平面abc的交线为l，试判断直线l与平面pac的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l与圆o的另一个交点为d，且点q满足.记直线pq与平面abc所成的角为，异面直线pq与ef所成的角为，二面角elc的大小为，求证：sin sin sin .【方法分析】题目条件：三棱锥pabc，底面acbc，pc面

9、abc，面bef面abcl，l交o于d，pq与面abc的角为.异面直线pq与ef的角为，elc的角为.解题目标：(1)判断l与面pac的关系(2)证明、的正弦值的关系关系探究：(1)efacef面abcefll面pac.(2)建系，用向量分别计算sin ，sin 及sin .【解答过程】(1)直线l平面pac.证明如下：连接ef，因为e，f分别是pa，pc的中点，所以efac.又ef平面abc，且ac平面abc，所以ef平面abc.而ef平面bef，且平面bef平面abcl，所以efl.因为l平面pac，ef平面pac，所以直线l平面pac.(2)(向量法)：如图，由，作dqcp，且dqcp.

10、连接pq，ef，be，bf，bd.由(1)可知交线l即为直线bd.以点c为原点，向量，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设caa，cbb，cp2c，则有c(0,0,0)，a(a,0,0)，b(0，b,0)，p(0,0,2c)，q(a，b，c)，e，f(0,0，c)于是，(a，b，c)，(0，b，c)，所以cos ，从而sin .取平面abc的一个法向量为m(0,0,1)，可得sin .来源:设平面bef的一个法向量为n(x，y，z)由，可得取n(0，c，b)于是|cos |，从而sin .故sin sin ·sin ，即sin sin sin .对应学生用书p

11、1391(20xx·高考山东卷)已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若p为底面a1b1c1的中心，则pa与平面abc所成角的大小为()a.b.c. d.解析：选b.画出三棱柱abca1b1c1，作出pa与平面abc所成的角，解三角形求角来源:如图所示，p为正三角形a1b1c1的中心，设o为abc的中心，由题意知：po平面abc，连接oa，则pao即为pa与平面abc所成的角在正三角形abc中，abbcac，则s×()2，vabca1b1c1s×po，po.又ao×1，tanpao，pao.2(20xx·高

12、考全国新课标卷)已知正四棱锥oabcd的体积为，底面边长为，则以o为球心，oa为半径的球的表面积为_解析：本题先求出正四棱锥的高h，然后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解v四棱锥oabcd××h，得h，oa2h226.s球4oa224.答案：243(20xx·高考湖北卷)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸(注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸)解析：求出水面的半径，根据圆台的体积公式求出雨水的

13、体积，除以盆口面积即得圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，降水量为3(寸)答案：34(20xx·高考北京卷)如图，在三棱柱abca1b1c1中，aa1c1c是边长为4的正方形平面abc平面aa1c1c，ab3，bc5.(1)求证：aa1平面abc；(2)求二面角a1bc1b1的余弦值；(3)证明：在线段bc1上存在点d，使得ada1b，并求的值解析：(1)证明：因为aa1c1c为正方形，所以aa1ac.因为平面abc平面aa1c1c，且aa1垂直于这两个平面的交线ac，所以aa1平面abc.(2)由(1)知aa1ac，aa1ab.由题知ab3，bc5，ac4，所以abac.如图，以a为原点建立空间直角坐标系axyz，则b(0,3,0)，a1(0,0,4)，b1(0,3,4)，c1(4,0,4)设平面a1bc1的法向量为n(x，y，z)，则即令z3，