高考数学江苏专用理科专题复习：专题8 立体几何与空间向量 第55 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.51(20xx·全国乙卷)如图，在以a，b，c，d，e，f为顶点的五面体中，平面abef为正方形，af2fd，afd90°，且二面角dafe与二面角cbef都是60°.(1)证明：平面abef平面efdc；(2)求二面角ebca的余弦值2已知三棱锥pabc中，pa平面abc，abac，paacab，n为ab上一点，ab4an，m，s分别为pb，bc的中点(1)证明：cmsn；(2)求sn与平面cmn所成角的大小3.如图，ab是圆的直径，pa垂直圆所在的平面，c是圆上的点(1)求证：平面pac平面pbc；(2)若ab2，ac1，pa1

2、，求二面角cpba的余弦值4(20xx·浙江)如图，在三棱台abcdef中，平面bcfe平面abc，acb90°，beeffc1，bc2，ac3.(1)求证：bf平面acfd；(2)求二面角badf的平面角的余弦值答案精析1(1)证明由已知可得afdf，affe，dffef，df，fe都在平面efdc中，所以af平面efdc，又af平面abef，故平面abef平面efdc.(2)解过d作dgef，垂足为g，由(1)知dg平面abef.以g为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系gxyz.由(1)知dfe为二面角dafe的平面角，故dfe60&

3、#176;，则df2，dg，可得a(1,4,0)，b(3,4,0)，e(3,0,0)，d(0,0，)由已知，abef，所以ab平面efdc，又平面abcd平面efdccd，故abcd，cdef，由beaf，可得be平面efdc，所以cef为二面角cbef的平面角，cef60°，从而可得c(2,0，)所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)设n(x，y，z)是平面bce的法向量，则即所以可取n(3,0，)设m是平面abcd的法向量，则同理可取m(0，4)，则cosn，m.故二面角ebca的余弦值为.2(1)证明设pa1，以a为原点，射线ab，ac，ap分别为x，y

4、，z轴正方向，建立空间直角坐标系axyz，如图则p(0,0,1)，c(0,1,0)，b(2,0,0)，m(1,0，)，n(，0,0)，s(1，0)(1，1，)，(，0)，·00，即cmsn.(2)解由(1)得(，1,0)设平面cmn的一个法向量为a(x，y，z)，则得可取a(2,1，2)设sn与平面cmn所成的角为，sin|cosa，|，直线与平面所成的角属于0°，90°，45°，即sn与平面cmn所成角为45°.3(1)证明由ab是圆的直径，得acbc.由pa平面abc，bc平面abc，得pabc.又paaca，pa平面pac，ac平面pac

5、，bc平面pac.又bc平面pbc，平面pbc平面pac.(2)解方法一过点c作cmap，则cm平面abc.如图，以点c为坐标原点，分别以直线cb，ca，cm为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系cxyz.ab2，ac1，bc.pa1，a(0,1,0)，b(，0,0)，p(0,1,1)(，0,0)，(0,1,1)，(0,0,1)，(，1,0)设平面bcp的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即不妨令y11，则n1(0,1，1)设平面abp的法向量为n2(x2，y2，z2)，则，即不妨令x21，则n2(1，0)于是cosn1，n2.所求二面角cpba的余弦值为.方法二如图，过点c作cmab于m.p

6、a平面abc，cm平面abc，pacm，又paaba，pa平面pab，ab平面pab，故cm平面pab.过点m作mnpb于n，连结nc，由三垂线定理得cnpb，cnm为二面角cpba的平面角在rtabc中，由ab2，ac1，得bc，cm，bm.在rtpab中，由ab2，pa1，得pb.rtbnmrtbap.，mn.在rtcnm中，cn，coscnm，所求二面角cpba的余弦值为.4(1)证明延长ad，be，cf相交于一点k，如图所示因为平面bcfe平面abc，平面bcfe平面abcbc，且acbc，所以ac平面bcfe，因此bfac.又因为efbc，beeffc1，bc2，所以bck为等边三角

7、形，且f为ck的中点，则bfck，且ckacc，ck，ac都在平面acfd内，所以bf平面acfd.(2)解方法一过点f作fqak于点q，连结bq.因为bf平面acfd，ak在平面acfd内，所以bfak，则ak平面bqf，bq在平面bqf内，所以bqak.又bf，fq平面acfd，bffqf，所以bqf是二面角badf的平面角在rtack中，ac3，ck2，得fq.在rtbqf中，fq，bf，得cosbqf.所以二面角badf的平面角的余弦值为.方法二如图则bck为等边三角形取bc的中点o，连结ko，则kobc，又平面bcfe平面abc，所以ko平面abc.由题意得b(1,0,0)，c(1,0,0)，k(0,0，)，a(1，3，0)，e，f.因此(0,