一元二次方程韦达定理2讲义

1、精品资料欢迎下载特尔教育一对一个性化辅导讲义学科：数学任课教师：徐老师授课时间： 2015年月日(星期 )姓名年级性 别总课时 _ 第_ 课教学通过根与系数的关系的发现与推导韦达定理，进一步培养学生分析、 观察、归纳、目猜想的能力和推理论证的能力；标难韦达定理与推论是重点。难点是如何灵活应用韦达定理与推论。点重点一、知识回顾1复习提问（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？2写出问题（ 2）的正确答案，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元二次方程教 ax2+bx+c 0，如果方程有两个不相等的实数根，则 0；

2、如果方程有两个相等的实学 数根，则 =0；如果方程没有实数根，则 0”即根据方程的根的情况，可以决定过值的符号，的符号，可以确定待定的字母的取值范围程不解一元二次方程，判断根的情况。不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）2x23x-4 0；（ 2） 16y2924y；（ 3） 5（ x2 1）-7x 0精品资料欢迎下载已知 ax2+bx+c=0（ a 0）且 b2-4ac 0 ，试推导它的两个根x1= bb24ac ，2ax2= bb24ac2a分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a、b、c? 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去解：移项，得： ax2+bx=

3、-c二次项系数化为1，得 x2+ b x=- caa配方，得： x2 + b x+（ b ） 2=-c +（ b ） 2a2aa2a2即（ x+ b ）2 = b4ac2a4a2b2-4ac 0 且 4a2>0 b24ac 04a2直接开平方，得： x+ b =± b24ac2a2a即 x=bb24ac2ax1=bb24ac ，x2= bb24ac2a2a由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c 而定，因此：ax2+bx+c=0，当 b-4ac 0（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式时， ? 将 a、b、c 代入式子 x= bb2

4、4ac 就得到方程的根2a（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根二、新课讲解精品资料欢迎下载2如果这个一元二次方程是一般形式 ax +bx+c=0（a0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题问题：已知 ax2+bx+c=0（a0）且 b2-4ac 0，试推导它的两个根 x1= bb24ac ，2ax2= bb24ac2a. b 24ac0由此得出，一元二次方程的根与系数的关系 （一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）韦达定理bc设方程 ax2 bxc0 (a0)

5、的两根为 x 11 , x 2则 x 11 x 2 a，x 11 x 2 a ，这个方程的根与系数 a,b,c 的关系叫做根与系数的关系定理，也叫韦达定理。bc111121. 若两个数 x 1 ，x 2满足 x 1x 2 a ，x 1 x 2 a ，则 x 1 ，x 2是方程 axbxc0 (a0) 的两个根，这个定理称为韦达定理的逆定理。2. x 11 ，x 2是方程 ax 2 bxc0 (a0) 的两个实数根，则必有 b 2 4ac0 ,反之亦成立。若 x1, x2 是方程 x22x20070 的两个根，试求下列各式的值：精品资料欢迎下载(1) x12x22； (2)11 ； (3) (x

6、1 5)( x25) ；(4) | x1 x2 |x1x2【典型例题】例 1：已知 x 11 ，x 2 是方程 x 2223x10 的两个根，求 x 1 x 2 x 11x 2的值。解： x 1 x23, x1 x21原式 x 1 x2 x1x23例 2：如果 a，b 是方程 x 2 x10 的两个实数根， 求代数式 a 3 a 2 b ab 2 b 3的值。解： ab 1 , ab 1 .又 a2b 2a b 22ab 3原式 a2 a b b2 a bab a 2b 23y例 3.若实数 x，y 满足（ x1） 2 33(x 1), 3(y1) 3 (y 1) 2 ，求 x xy 的值。解

7、： （ x1） 2 3 x 13 0 , （ y 1） 2 3 y 1 3 0 .且210若 xy . 则 x,y 为方程 t 2 5t 1 0 的两实根 x y 5，xy 1x2y 222xyx y23原式xyxy若 xy ，则原式 2 .原式 2 或 23精品资料欢迎下载例 4：验证 x 11 3 1， x 2 23 1 为方程 x 2 33 x53 0 的实数根。解：若是，则 x 1 x23 3, x1 y153以 x 1,2 为根的一元二次方程为 x23 3x53 0显然 x 1,2 为给定方程的两实根。例 5：请写出一个两个实数根之和为1 的一个一元二次方程。解：设 x 1 x21,

8、x 1 x2k k为常数 , 则由韦达定理之逆，得x2x k0但 x 1 x21为方程两实根 .14k0 . k41x212x10比如设 x2 . 则方程为 x4等等。例 6：已知 2 x 2 5x3 0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根是原方程两根的倒数。y11 , y21解：设所求方程两根为 y1 、y2，则x1x2 ,1y2x1x2, y1 y21x1x2x1 x2 y1x25, x1 x23但 x22 .1y25, y1 y22y3325 y2025y2 0所求的方程为 y33.即 3y例 7：设 x1，x 2 为方程（ xa）(x b) cx 的实根，求证：关于 x 的方

9、程（ x x 11 ）（ x x 2 ） cx 0 的两实根为 a， b精品资料欢迎下载解： （ x a）（ xb） cx x 2abc xab0 x1x2abcx1x2ababx1x2c ab x1x2 x 2x1x2 c x x1 x20 x 2x1x2 x x1 x2cx 0命题得证【巩固练习】111.若 x 2 3x 1 0 的两根是 x1，x 2 ，则 x1 x2 _x2x12.已知 x1，x 2是方程 3 x2 14x 的两根，不解方程，则 x12 x22 _3.设 x1 23 是方程 x 2 4x10 的一个实根，则另一个实根x 2 _4.方程 3 x 2 2x 20 的两根差的

10、平方为（）2828427A 9B 3C 9D 35.以方程 3 x 22x6 0 的各根的负倒数为根的一个一元二次方程是（）A6 xC6 x222x10B6 x 2 2x302x10D6 x 2 2x306.已知方程 2 x 2 5ax3b 0 的两根之比为2：3，方程 x 2 2bx8a0 的两精品资料欢迎下载根相等（ ab0），求证：当m 为任意实数时，方程ax 2 （ b m1）x（ m 1） 0恒有实数根。课堂小结bc设方程 ax 2 bxc0(a 0) 的两根为 x 11, x 2则 x 11 x 2 a，x 11 x 2 a ，这个方程的根与系数 a,b,c的关系叫做根与系数的关系

11、定理，也叫韦达定理。bc111121. 若两个数 x 1 ，x 2满足 x 1 x 2 a，x 1x 2 a ，则 x 1 ，x 2 是方程 axbxc0 (a0) 的两个根，这个定理称为韦达定理的逆定理。2. x 11 ，x 2是方程 ax2 bxc0 (a0) 的两个实数根，则必有b 2 4ac0 ,反之亦成立。课后作业1. 巳知 a、b 是一元二次方程 x2 2x1=0 的两个实数根， 则代数式（ ab）（a+b2）+ab 的值等于 _2.2的一个根为 2，则 m=，另一个根是已知关于 x 的方程 x +mx 6=03.若 x1， x2 是方程 x2+x1=0 的两个根，则 x12+x2

12、2=4. 已知一元二次方程 y23y+1=0 的两个实数根分别为 y1、y2，则（ y11）（y21）的值为5. 已知关于 x 的方程 x2+（ 2k+1） x+k22=0 的两实根的平方和等于 11，则 k 的值为6.若 x1、 x2 是方程 x22x 5=0 的两根，则 x12+x1x2+x22=7. 若关于 x 的一元二次方程 x24xk30 的两个实数根为 x1、x2 ，且满足 x13x2，试求出方程的两个实数根及 k 的值精品资料欢迎下载8. 关于的一元二次方程 x2+2x+k+1=0 的实数解是 x1 和 x2（ 1）求 k 的取值范围；（ 2）如果 x1+x2 x1x2 1 且 k 为整数，求 k 的值9. 阅读材料：如果 x1、 x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根，那么，xxb ，12acx1 x2这就是著名的韦达定理现在我们利用韦达定理解决问题：已知 m与 n 是方程 2x26x+3=0 的两根（ 1）填空： m+n=，m?n=；（ 2）计算 11 的值m n10. 已知