勾股定理竞赛培训题(含答案)

1、勾股定理竞赛培训题1、如图1 , ABC和厶CDE都是等腰直角三角形，/ C=90 °，将 CDE绕点C逆时针旋转 一个角度口( 0 °VaV 90 °)，使点 A , D , E在同一直线上，连接 AD , BE .(1 依题意补全图 2; 求证：AD=BE，且AD丄BE ; 作CM丄DE，垂足为 M，请用等式表示岀线段 CM，AE，BE之间的数量关系；(2 )如图3，正方形ABCD边长为，若点 P满足PD=1，且/ BPD=90 °，请直接写岀点 A 到BP的距离.2、( 1 )问题发现：如图 1 , ACB和厶DCE均为等边三角形，当 DCE旋转至

2、点A, D , E在同一直线上，连接 BE，易证 BCE ACD 贝9/ BEC =°线段AD、BE之间的数量关系是(2 )拓展研究: 如图2 , ACB和厶DCE均为等腰三角形，且/ ACB =Z DCE = 90 °，点 A、D、E在同一 直线上，若 AE = 15，DE = 7,求AB的长度.(3 )探究发现：如图3，P为等边 ABCAPD = 30 °，AP = 5，CP= 4，DP=8，求 BD 的长.3、如图 1 , ABC 中，CD 丄 AB 于 D，且 BD : AD : CD=2 : 3 : 4 ,(1 )试说明 ABC是等腰三角形；(2 )已知

3、S ABc=10cm 2,如图2，动点M从点B岀发以每秒1cm的速度沿线段 BA向点A运 动，同时动点N从点A岀发以相同速度沿线段 AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运 动都停止设点 M运动的时间为t (秒)， 若 DMN的边与BC平行，求t的值； 若点E是边AC的中点，问在点 M运动的过程中， MDE能否成为等腰三角形？若能，求 出t的值；若不能，请说明理由.4、已知， ABC中，AC=BC , / ACB=90 ° , D为AB的中点，若E在直线 AC上任意一点, DF丄DE，交直线 BC于F点.G为EF的中点，延长 CG交AB于点H .（1 ）若 E 在边 AC 上 试说

4、明 DE=DF ； 试说明 CG=GH ；（2 ）若 AE=3 ， CH=5 求边 AC 的长5、如图，在矩形 ABCD中，AB = 5，AD =，AE丄BD，垂足是 E.点F是点E关于AB的 对称点，连结 AF， BF.c（2）若将 ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点 B沿BD方向所经过的线段长度）当点F分别平移到线段 AB , AD上时，直接写岀相应的 m的值.如图，将厶ABF绕点B顺时针旋转一个角 血° < av 180 ° ），记旋转中的 ABF A' BF',在旋转过程中，设 A' F'所在的直线与直

5、线 AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否 存在这样的P，Q两点，使 DPQ为等腰三角形？若存在，求岀此时DQ的长；若不存在，请说明理由.参考答案1、【分析】（1 根据旋转的特性画岀图象；由/ ACD、/ BCE均与/ DCB互余可得岀 / ACD= / BCE，由 ABC和厶CDE都是等腰直角三角形可得岀AC=BC、DC=EC，结合全等三角形的判定定理 SAS即可得岀厶ADC BEC，从而得岀 AD=BE，再由/ BCE= / ADC=135°，/ CED=45 °即可得岀/ AEB=90 °，即证岀 AD丄BE :依照题意画岀图形，根据组合图形的面积为两个三角

6、形的面积和可用AE，BE去表示CM ;（2 ）根据题意画岀图形，比照（1 的结论，套入数据即可得岀结论.【解答】解：（1 ）依照题意补全图 2，如下图（一）所示.证明：J/ ACD+ / ACD= / BCE 在厶ADC和厶BEC ADC BEC/ DCB= / ACB=90 / ABC 和厶 CDE 中，有，(SAS ), AD=BE°，/ BCE+ / DCB=都是等腰直角三角形，.，/ BEC= / ADC / DCE=90 °，AC=BC ， DC=EC点A，D，E在同一直线上， CDE是等腰直角三角形,/ CDE= / CED=45 ° ,/ ADC=1

7、80° -/ CDE=135 依照题意画岀图形，如图（二）所示.T S ABC +S EBC =S CAE +S EAB ，2即 AC?BC+BE ?CM=AE （ CM+BE ）, AC 2 - AE ?BE=CM （AE - BE ）. CDE 为等腰直角三角形， DE=2CM , AE - BE=2CM .（2 ）依照题意画岀图形（三）.其中 AB= ， DP=1 ， BD=AB=由勾股定理得： BP=3 结合（1 的结论可知：AM=1故点 A 到 BP 的距离为 1 【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的面积公式、角的计算以及勾股定理，解题的关键：（1

8、 结合题意画岀图形；找岀ADC BEC ;利用分割法求组合图形的面积；（2）利用类比法借助（1）的算式求岀结论本题属于中档题，（1 ）难度不大； 难度不小， 此处用到了分割组合图形求面积来找等式， 该小问处切记线段 AC 当成已知量；（2 ）利用类比的方法套入（1）的算式即可解决该题型题目寸，画岀图形， 注意数形结合是关键VAACB和ADCE均为等岳直角三甬琨*ACA-CB CD=*CE ZACB = ZDCE=9<IS ZACD=BCE 在AACD和ABCE中.fCA = CB* 厶CD二 SCE 'CD-CEA AACDiiiBCE < SAS > *'A

9、D二B 更"E-DE=gJ二山 z ADC=ZBEC DCE対等牆言甬三甬形； ZCDE = ZCED=45%V jA D* E在同一盲线上，h NADO1曲 J-ZBEC = 135r /. ZAEB-ZBEC*ZCED-905 *'驻 E17 ；(2)(3 )如下图所示由(2 )知厶 BEC APC，二 BE=AP = 5，/ BEC= / APC = 150 ° ,/ APD=30 ° , AP=5 , CP=4 , DP=8，/ APD=30 °，/ EPC=60 ° ,/ BED= / BEC- / PEC=90 °

10、，/ DPC = 120 °又/ DPE =Z DPC +/ EPC = 120 °+ 60 ° = 180 °，即卩 D、P、E 在同一条直线上 DE=DP+PE=8+4=12，BE=5， BD的长为133、【考点】三角形综合题.【分析】(1 )设BD=2x，AD=3x，CD=4x，根据勾股定理求岀 AC根据等腰三角形的判定定 理解答；(2 )根据三角形的面积公式求岀三角形的三边长，根据等腰三角形的性质列式计算即可;3 ）分 DE=DM 、 ED=EM 、 MD=ME 三种情况，根据等腰三角形的性质解答【解答】解：（ 1 ）设 BD=2x ，AD=3x

11、 ，CD=4x ，在 Rt ACD 中， AC=5x ，又 AB=5x ， AB=AC，： ABC是等腰三角形；2（2 ）S aabc = x 5x x 4x=10cm，解得，x=1cm，贝U BD=2cm , AD=3cm , CD=4cm , AC=5cm , 当 MN / BC 时，AM=AN ，即 5 - t=t , t=2.5，当 DN II BC 时，AD=AN ,则t=3，故若 DMN的边与BC平行时，t值为2.5或3 . 当点M在BD上，即卩0 < t V 2时， MDE为钝角三角形，但 DM工DE ,当 t=2 时，点 M 运动到点 D ，不构成三角形，当点M在DA上，

12、即卩2 V t < 5时， MDE为等腰三角形，有 3种可能.如果DE=DM ，则t - 2=2.5 , t=4.5，如果 ED=EM ，则点 M运动到点 A , t=5，如果 MD=ME=t 2,则（t 2 ） 2 （ t 3.5 ） 2=22, t=,综上所述，符合要求的 t 值为 4.5 或 5 或.【点评】本题考查的是等腰三角形的判定和性质、三角形的三边关系以及勾股定理的应用，掌 握等腰三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.4 、【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理.【分析】（1 ）连接 CD，推岀 CD=AD , / CDF= / A

13、DE，/ A= / DCB ,证厶 ADE CDF 即可；连接DG ,根据直角三角形斜边上中线求岀 CG=EG=GF=DG ,推岀/ GCD= / GDC , 推岀/ GDH= / GHD，推岀DG=GH 即可；（2 ）求岀 EF=5 ，根据勾股定理求岀 EC ，即可得岀答案.【解答】解：（1 ）连接CD ,/ ACB=90 ° , D 为 AB 的中点，AC=BC , CD=AD=BD ，又丁 AC=BC , CD 丄 AB ,/ EDA+ / EDC=90 °，/ DCF= / DAE=45 ° ,v DF 丄 DE ,/ EDF= / EDC+ / CDF=

14、90 ° ,/ ADE= / CDF，在 ADE 和厶 CDF 中 DE=DF .连接 DG ,/ ACB=90 ° , G 为 EF 的中点， CG=EG=FG ,/ EDF=90 ° , G 为 EF 的中点， DG=EG=FG , CG=DG ,/ GCD= / CDG 又J CD 丄AB，/ CDH=90 ° ,/ GHD+ / GCD=90 °，/ HDG+ /GDC=90 °,/ GHD= / HDG , GH=GD , CG=GH .（2 ）如图，当 E 在线段 AC 上时，/ CG=GH=EG=GF , CH=EF=5

15、，丁 ADE CDF , AE=CF=3 ,在 Rt ECF 中，由勾股定理得：， AC=AE+EC=3+4=7 ；如图 当 E 在线段 CA 延长线时AC=EC - AE=4 - 3=1 ,综合上述 AC=7 或 1 .5、解：在 Rt ABD 中，AB = 5 , AD =,由勾股定理，得 BD = = = . t S abd = BD AE =AB AD , AE = = = 4.在Rt ABE中，AB = 5, AE = 4,由勾股定理，得 BE = 3.（第 27 题图解 ）（2）设平移中的三角形为 A' B ' F如解图所示由对称点性质可知，/1 =/ 2.由平移性

16、质可知， AB II A' B ',/ 4 = / 5 =/ 1 , B ' F ' = BF = 3. 当点 F '落在 AB 上时，T AB II A' B ' ,/ 3 =Z 4，/ 3 = Z 1 =Z 2 , BB = B ' F = 3，即 m = 3 ； 当点 F '落在 AD 上时，J AB II A' B ' ,/ 6 = Z 2./ 1 =Z 2，/ 5 = Z 1，/ 5 = Z 6.又易知 A' B '丄 AD , B ' F ' D 为等腰三角形，

17、B ' D = B ' F'= 3,BB = BD B ' D = 3 = ,即卩 m = .m = 3 或(对一个得 2 分)(3)存在理由如下：在旋转过程中，等腰DPQ依次有以下4种情形：如解图所示，点 Q落在BD延长线上，且 PD = DQ，易知/ 2 = 2 / Q.（第 27 题图解 ）1 =Z 3 + / Q，/ 1 =Z 2，/ 3 = Z Q A' Q = A ' B = 5， F ' Q = F ' A'+ A ' Q = 4 + 5 = 9.在 Rt BF Q 中，由勾股定理，得 BQ = 3.

18、（第 27 题图解） DQ = BQ BD = 3 . 如解图所示，点 Q落在BD上，且PQ = DQ，易知/ 2 = / P./ 1 =/ 2，/ 1 =/ P， BA' II PD，则此时点 A '落在 BC 边上./ 3 =Z 2，.Z 3 = Z 1 ， BQ = A ' Q， F ' Q = F ' A' A ' Q = 4 BQ.在Rt BQF '中，由勾股定理，得BF ' 2 + F ' Q2 = BQ2，即 32 + （4 BQ）2 = BQ2，解得 BQ = . DQ = BD BQ =. 如解图所示，点 Q落在BD上，且PD = DQ，易知/ 3 = Z 4.（第 27 题图解 厂/ 2 + / 3 + / 4 = 180 °，/ 3 = / 4，/ 4= 90°Z2./ 1 =/ 2，/ 4 = 90 ° Z 1. / A' QB = Z 4 = 90 ° Z1，:丄 A ' BQ = 180 ° Z A' QB Z 1 = 90 ° Z 1，.Z A &#