图形折叠问题

1、东恩中学东恩中学 莫蓉丹莫蓉丹给你一张白纸，你能通过给你一张白纸，你能通过折叠折叠，将左下方的直角，将左下方的直角准准确确地三等分吗？地三等分吗？BC ADEFBCE FHGAD30303030小小的翻折，带来大大的几何道理。小小的翻折，带来大大的几何道理。在一张长方形在一张长方形ABCDABCD纸片纸片中，中，ADAD25cm, AB25cm, AB20cm20cm 点点E E，F F分别为分别为CDCD，ABAB的中点，现将这张纸的中点，现将这张纸片按图示方式折叠，求片按图示方式折叠，求EGEG的长。的长。BCE FHGAD2010203030303031031025练习：练习：将矩形将矩

2、形ABCD纸对折纸对折,设折痕为设折痕为EF,再把再把B点折点折到折痕线到折痕线EF上（见图点上（见图点B）,若若 则则EB=_.3AB B AB G D C E F3232332ABCDFE透过现象看本质透过现象看本质: :折折叠叠轴轴对对称称实质实质轴对称性质：轴对称性质：ADEF1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等.2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.由折叠可得：由折叠可得：1.AFEAFE ADEADE2.AEAE是是DFDF的中垂的中垂线线图形的翻折是图形的运动形

3、式之一图形的翻折是图形的运动形式之一 一一 认识翻折问题认识翻折问题 二二 解决翻折问题解决翻折问题 今天我们要来共同探讨在矩形中今天我们要来共同探讨在矩形中的的“依点翻折依点翻折”和和“依线翻折依线翻折”。由。由特殊图形特殊图形矩形，来感受翻折这一图矩形，来感受翻折这一图形变换。形变换。例例1：有一个数学活动，其具体操作过程是：有一个数学活动，其具体操作过程是： 第一步：对折矩形纸片第一步：对折矩形纸片ABCD，使，使AD与与BC重合，得到折痕重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图，把纸片展开（如图1）；）； 第二步：再一次折叠纸片，使点第二步：再一次折叠纸片，使点A落在落在EF上，并使折痕经

4、上，并使折痕经过点过点B，得到折痕，得到折痕BM，同时得到线段，同时得到线段BN（如图（如图2）请解答以下问题：请解答以下问题：（1）如图）如图2，若延长，若延长MN交交BC于于P，BMP是什么三角形？请证明你的结是什么三角形？请证明你的结论论（2）在图）在图2中，若中，若ABa，BCb，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（上剪出符合（1）中结论的三角形纸片）中结论的三角形纸片BMP ？图1图2请解答以下问题：（请解答以下问题：（1）如图）如图2，若延长，若延长MN交交BC于于P，BMP是什么三角形？是什么三角形？请证明你的结论请证明你的结论图图1

5、图图2P306030（1）解：）解：BMP是等边三角形是等边三角形理由如下：由折叠知理由如下：由折叠知 :AB BN , ABM NBM ,BNM A 90 EF垂直平分垂直平分AB NEB= 90 , ABN 60 PBN 30 又又ABM NBM 30，BNM A 90 BPN 60,MBP MBN PBN 60 MBP BMP BPM 60 BMP为等边三角形为等边三角形 ANABEB2121（2）在图）在图2中，若中，若ABa，BCb，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（上剪出符合（1）中结论的三角形纸片）中结论的三角形纸片BMP ？图图1

6、图图2p000(2),30 ,3,cos30cos30232ABCDBMPBCBPRt BNPBNBAaPBNaaBPbababBMP分析：要在矩形纸片上剪出等边，则解：在中，当时，在矩形上能剪出这样的等边。aba332A/H1 ,3xy33030230（3）设矩形）设矩形ABCD的边的边AB2，BC4，并建立如图并建立如图3所示的直角坐标系所示的直角坐标系. 设直线设直线BM/为为y=kx，当，当M/BC60时，求时，求k的的值值.此时，将此时，将ABM沿沿BM折叠，点折叠，点A是否是否落在落在EF上（上（E、F分别为分别为AB、CD中点）？中点）？为什么？为什么？上。落在即折叠后，由翻折可

7、知：轴于作过得到代入，解：EFAAOHHABHAOAOABAMABMHxHAAkkxyMAMOAABMBCM) 13( 31302,30. 3,)2332( 33223060) 3(练习：练习： 如图，折叠长方形的一边如图，折叠长方形的一边AD，点，点D落在落在BC边的点边的点F处，已知处，已知AB=8cm, BC=10cm ,求求EC的长的长分析：分析：法一：设法一：设EC=x,则则EF=DE=8-x .在在RtABF中，中，AF=AD=10，AB=8，BF=6，FC=4由勾股可知：由勾股可知：FC2+EC2=EF2 解得解得EC=3(cm) A BCD FE8101064法二：法二：RtA

8、BFRtFCE解得解得EC=3(cm)FCECABBF3例例2：（：（2007年台州市）如图，四边形年台州市）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点中的矩形纸片，点A在在x轴上，点轴上，点C在在y轴上，将边轴上，将边BC折叠，使点折叠，使点B落在边落在边OA的点的点D处已知折痕处已知折痕 ， 且且 (1)判断判断OCD与与ADE是否相似？请说明理由；是否相似？请说明理由；(2)求直线求直线CE与与x轴交点轴交点P的坐标；的坐标；43tanEDAP6X8X4X3X5510X5X5XP(16，0)例例3. 直线直线 分别与分别与x轴、轴、y轴交于轴交于

9、B、A两点两点.把把AOB以直线以直线AB为轴翻折，点为轴翻折，点O落在平面上的点落在平面上的点C处，再把处，再把BOC以直线以直线BC为轴翻折得为轴翻折得BCE，求点，求点E的坐标的坐标.133xy解：A(0，1),B( ,0) OA1， OB ， OBA30. ABC和ABO关于AB成轴对称， BCBO ，CBA=OBA30. CBO60. 过点E作EFx轴于F，如图，则在RtEBF中，)23,233(232336060点的坐标为，EEFBFBEOBEBFCBECBOEF练一练：练一练：1.2.456060302C例4 . (08湖州湖州)已知：在矩形已知：在矩形AOBC中，中，OB=4,

10、OA=3分别以分别以OB,OA所在所在直线为直线为x轴和轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系轴，建立如图所示的平面直角坐标系F是边是边BC上的一个动上的一个动点（不与点（不与B,C重合），过重合），过F点的反比例函数点的反比例函数 的图象与的图象与AC边交边交于点于点E请探索：是否存在这样的点请探索：是否存在这样的点F，使得将，使得将CEF沿沿EF对折后，对折后，C点恰点恰好落在好落在OB上？若存在，求出点上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由(0 )kykx（ ,3）3k(4, )4k34k43k34KM.E),4, 4(),3 ,3(MxEMkFkE

11、轴于作过解：设易证易证EMCCBF)3221,4(82143168116494334322222FkkkFCBCBFBCkkBCFCECBCEM例例5: （07湖北荆门）湖北荆门）如图如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已，已知知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点，点P是是OA边上的动点边上的动点(与点与点O、A不重合不重合)现将现将PAB沿沿PB翻折，得到翻折，得到PDB；再在；再在OC边上选取适当的点边上选取适当的点E，将，将POE沿沿PE翻翻折，得到折，得到PFE，并使直线，并使直线PD、PF重合重合(1)设设P(x，0)，E

12、(0，y),求求y关于关于x的函数关系式的函数关系式,并求并求y的最大值；的最大值；图图1xy4-x3y= 解：解：(1)由已知由已知PB平分平分APD，PE平分平分 OPF，且，且PD、PF重合，重合，则则BPE=90OPE+APB=90又又APBABP=90， OPE=PBA RtPOERtBPAPOBAOEAP34xyx2114(4)333xxxx (0 x4) 即即 3440234231max2yxxxy时，属于当 (2)如图如图2，若翻折后点，若翻折后点D落在落在BC边上，求过点边上，求过点P、B、E的抛的抛物线的函数关系式；物线的函数关系式；图图2(2)解：由已知，解：由已知，PA

13、B、POE均为等腰直角均为等腰直角三角形，可得三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3) 1,0,1643.cabcabc则则 1,23,21.abc y=213122xx图形翻折实际上是轴对称变换，图形翻折实际上是轴对称变换，变换前后的对应线段相等、对应角相等。变换前后的对应线段相等、对应角相等。常常与角平分线、中线、线段中垂线、等常常与角平分线、中线、线段中垂线、等腰三角形的高相联系。解决翻折的动态几腰三角形的高相联系。解决翻折的动态几何问题关键是结合直角三角形或全等三角何问题关键是结合直角三角形或全等三角形或相似三角形的有关知识，全面寻找图形或相似三角形的有关知识，全面寻找图形

14、运动过程中的不变量。形运动过程中的不变量。 1.在平面直角坐标系中，正方形在平面直角坐标系中，正方形ABCO的边长为的边长为6，两边，两边OA、OC分别落在坐分别落在坐标轴上，点标轴上，点E在射线在射线BC上，且上，且BE=2CE，将，将ABE沿直线沿直线AE翻转，点翻转，点B落在落在点点B1处。处。（1）请在图中作出点）请在图中作出点B1及翻转后图形及翻转后图形.x0CBAy（2）对于图）对于图1，若，若E在在BC上，求点上，求点B1的坐标。的坐标。两种情况两种情况E0CBAyB1xy0CBAEB1图图1图图264a6-a46FM13613301，BABCD2.2.（0808山东东营）：山东

15、东营）：将一正方形纸片按下列顺序折将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形将纸片展开，得到的图形是（角形将纸片展开，得到的图形是（ ）C3.将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（后展开铺平，得到的图形是（ ）C4.如图如图,有一矩形纸片有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折将纸片折叠，使叠，使AD边落在边落在AB边上，折痕为边上，折痕为AE，再将，再将AED以以DE为折痕向右折叠，为折痕向右折叠，AE与与BC交于点交于点F，则，则CEF的的面积为（）面积为（）EDCBADCBAFEDCBAA4 B6 C8D10C 图形折叠问题中题型的变化比较多，但是经过研究图形折叠问题中题型的变化比较多，但是经过研究之后不难发现其中的规律，从今天我们对矩形折叠情况之后不难发现其中的规律，从今天我们对矩形折叠情况的讨论中可以得到以下几点经验：的讨论中可以得到以下几点经验：1图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；变，是全等形；2 图