中侨高等数学说课稿关于第一类换元积分法的计算技巧说课稿_9121

1、学习必备欢迎下载高等数学关于第一类换元积分法 说课稿一、关于教材1、高等数学在高职高专课程设置中的作用和地位高等数学是高职高专工科类或经济管理类各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的学习，可以使学生初步了解和掌握微积分的一些理论和运算方法，为学生学习相关或后续课程奠定必备的数学基础。 我院现在采用的教材是由上海高校高等应用数学编写组编写的。教学中本着“以应用为目的，以必需够用为度”的原则， 在保证知识体系的科学性和完整性的前提下，适度降低了理论性的要求，减少了逻辑证明与理论推导， 弱化了运算上的复杂性与技巧性， 注重数学概念与实际问题的紧密联系， 突出数学应用与创新思维的培养， 充分体现高

2、职的教学特色。2、本节在高等数学课程中的作用与内容上的前后联系一元函数积分的概念， 计算和应用是本课程的一个重点， 而换元积分法是最常用的两种积分法之一。 本节内容是在学生学习了不定积分的概念、 性质和基本积分公式的基础上进行的。 通过这节内容的学习， 学生可以处理更多类型的积分题目，并为后面定积分换元积分法的学习和应用打下基础。二、对学生的要求和希望达到的目标学习换元法之前， 要求学生理解原函数和不定积分的概念， 了解导数运算和不定积分运算之间的逆运算关系， 掌握不定积分的性质， 熟练掌握不定积分的基本公式。针对学情的很大差异，利用“分层次教学法” ，对不同水平的学生设置两个不同的学习目标。

3、 对基础较好， 对数学有很大学习兴趣和热情的同学， 希望通过本节的学习，熟练掌握变量替换的方法，能熟练应用基本公式推广之后的形式。而基础薄弱的同学能理解变量替换思想， 处理常见形式的换元积分题目， 达到基本要求即可。三、课堂教学设计通过引例导入法开始本节新的教学内容对引例2x sin x2 dx .进行详细的分析总结归纳解题过程中的四个步骤，得出第一类换元法的定理通过举例和课堂练习互动进一步掌握第一类换元法小结四、具体教学过程1. 从复合函数求导法则谈起1）不定积分是求导运算的逆运算。这就启示我们从求导法则中寻求积分的方法：对于函数 ysin u ，如果 u 是自变量，那么函数 ysin u

4、的导数 ycos u ；如果 u 不是自变量，而是自变量 x 的函数，比如 ux 2 ，【问】 那么 y【答案】（ 2x cos x 2 ）如果u是自变量，那么cos udu sinuc如果 u 不是自变量，而是自变2；量 x 的函数，比如 ux 2 ，【问】 cos udusin uc 是否仍然成立？学习必备欢迎下载【答案 仍然成立 . 左=cos x2d( x 2 )2x cos x 2dx ；右= sin x2c ，而右端的导数 (sin x 2c )2x cos x 2 ， 左 =右 .】3）上面的结果告诉我们：在不定积分基本公式中如果积分变量不是自变量x ，而中间变量 u （设 u(

5、 x ),( x ) 连续），那么公式仍然成立。如： eudueuc；s i nu d u等。c o su c【注】有了这个结果， 我们就可以将一些不能直接套用基本公式的积分， 通过变量代换化成基本公式的形式而求得。2引例分析：考察例1：2x sin x2dx .分析：显然这个积分不是可以利用性质和基本积分公式直接解决的。 引导学生观察被积函数的构成特点，2x- - - x2 的导数即被积函数的两个因子有一个联系的纽带 x2 。sin x22- - - x 的函数所以，首先可以通过形式的变化，得到下面这一关键结果：2x sin x2dxsin x2 ( x2 ) dxsin x2dx2 .此时

6、，通过变量代换，比如设ux2 ，上面积分可改写为：基本公式sin uducosuC ，再将 ux2 代入结果，得到 2x sin x2dxcosx2C .【归纳】。整个解题过程包括四个步骤：被积函数恒等变形变量替换按基本积分公式求积分变量回代。11再看一例：例 2：cos dxx2x变形cos 1( 1) dxcos 1 d 1解 :1cos 1 dxx2xxxx x令 u 1公式xu 1回代xcosudusin uC1sinCx学习必备欢迎下载3第一类换元积分法定理以上解题过程就是第一类换元积分法。一般地有如下定理：定理 1：设 F(u)为 f(u) 的一个原函数，即：f (u)duF (u

7、)C ，u (x) 可导，则f ( x ) x(d) xfx d (x)F ( x ) . C【选学证由于 F ( u )f ( u) ， 由复合函数的求导法则得dxF ( u ) ( x )f ( u ) ( x )fx( x )Fdx这表示 Fx是 fx( x ) 的一个原函数，从而f ( x )( x )dxfx d ( x )F ( x )C 】【注】通过定理的推导证明， 使学生加深积分计算中变量替换的理解，明确了把基本公式中积分变量x 换成可导函数u(x) 后公式仍能成立，从而扩大了基本积分公式的应用范围。 例如，由基本积分公式cosxdxsinxc 可以推出cos(3 x)d(3

8、x)sin(3x )ccos( ex )d( ex )sin(ex )c等等。【归纳】第一类换元积分法求不定积分的步骤可表示为如下的一串表达式g( x )dxfxxdxfxdxf (u)duF(u )CFxC应用时关键的一步在于将被积表达式g( x )dx 凑成两部分：其中一部分由x dx 凑成 dx；剩下的一部分为 fx，因而这种方法也称为凑微分法。方法熟练后，虚线框部分可以省略，不必再设u( x ) ，而是把因子 ( x ) 默记成 u ，直接套用积分公式即可。4课堂练习环节。教学互动，进一步使学生掌握第一类换元积分法例 3 e2 x 1dx【分析】：被积函数是由两层简单函数复合而成的复合

9、函数。对照基本公式，学习必备欢迎下载若 dx 能凑成 1 d(2x 1) ，即凑出内层函数，就可以换元后利用基本公式了2解 :2x 1变形（凑微分） 1e2 x 1(2x12 x 1edx1) dxe d (2 x 1)22u 2x -1 1u公式 1 uCe due22回代 u 2x-1 12 x 1Ce2(55练习：2x) dx 。（提问结果）例 4： cos x dx sin x 1【提示】 cos xdx 可以凑成 d(sinx )d(sinx1)解 :cos x dx1(sin x1) dx1d (sin x1)sin x1sin x1sin x11 duln uCuln sin x

10、1C例 5：x 21dx. 【提示】1 dx 可以凑成 d(ln x )1 d(23 ln x )3 ln xx3解 :111(23 ln x) dx1123ln xdx23 ln x3 2d (2 3 ln x)x33ln x11du2uC3u322 3ln xC3例 6：sin 2 xdx .【提示】被积函数为三角函数，直接凑微分行不通时，可以先利用三角公式sin 2 x1cos 2x进行恒等变形，然后再进行凑微分。2学习必备欢迎下载解 : sin2 xdx1cos 2x dx1 (1 cos2x)dx221 dx1cos2xd(2x)221 x1 sin 2xC相应练习： P14524解

11、题快的同学自行加练课后题。/ 2-19),23).3个人指导，提问学生关键步骤和结果。布置练习 P145 / 2-8),10），22),24),26). 安排 5 人各做一题， 到黑板前板书， 由老师归纳题目特点，进行方法总结。5小结1）第一类换元积分法是与复合函数求导法则相对应的一个法则，运用第一类换元积分法的关键是凑微分( x )dxd ( x )2）基本积分公式中积分变量x 换成可导函数 u( x) 后公式仍能成立， 从而扩大了基本积分公式的应用范围。3）利用第一类换元积分法求不定积分，需要一定的技巧，比较灵活，常常要用到下列凑微分公式，熟悉它们非常有用：dx1 d( axb )( a0 )；xdx1 d( x 2 )；1 dx2d( x )a2xe x dxd( ex )；1(lnx