中考专题复习——最短路径问题

1、学习必备欢迎下载中考专题复习路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；B二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。 （构建“对称模型”实现转化）三、例题：例 1、如右图是一个棱长为 4 的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点AA 沿木块侧面爬到点 B 处，则它爬行的最短路径是。如右图是一个长方体木块，已知 AB=3,BC=4,CD=2 ，假设一只蚂蚁在点 A 处，它要沿着木块侧面爬到点 D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是。DCAB例 2、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。李庄B张村AL

2、如图，直线 L 同侧有两点 A、B ，已知 A、B 到直线 L 的垂直距离分别为1 和 3，两点的水平距离为3，要在直线 L 上找一个点 P，使 PA+PB 的和最小。请在图中找出点 P 的位置，并计算 PA+PB 的最小值。要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km 和 3Km ，张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为。李庄张村四、练习题（巩固提高）（一） 1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4 ，假设一只蚂蚁在点 A处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是。DBBCAABA第 1 题A题第 3

3、 题第 22、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与 B 点之间缠一条金丝带 （金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为。3、如图是一个圆柱体木块， 一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点 B 处吃到食物，知圆柱体的高为 5 cm ，底面圆的周长为 24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为。4、正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM 2，N 是 AC 上的一动点， DNAMN 的最小值DOPCB图 (3)学习必备欢迎下载为。DPACEB图 (2)第4题第5题第6题第7题5、在菱形 ABCD 中， AB=2 ， BAD=60

4、76;，点E 是 AB 的中点， P 是对角线 AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为。6、 如图，在ABC 中， AC BC 2 ，ACB 90 °，D 是 BC 边的中点， E 是 AB 边上一动点，则 EC ED 的最小值为 _。7、AB 是O 的直径，AB=2 ，OC 是O 的半径，OC AB ，点 D 在 AC 上，AD = 2CD ，点 P 是半径 OC 上的一个动点，则AP+PD 的最小值为 _。（二） 8、如图，点 P 关于 OA 、OB 的对称点分别为C、D，连接 CD，交 OA 于 M，交 OB 于 N，若 CD18cm ，则PMN 的周长为 _。9、已知，

5、如图 DE 是ABC 的边 AB 的垂直平分线， D 为垂足， DE 交 BC 于 E ，且AC 5 ，BC 8，则AEC 的周长为 _ 。10 、已知，如图，在ABC 中， AB AC ，BC 边上的垂直平分线DE 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E， AC 8，ABE 的周长为 14 ，则 AB 的长。11 、如图，在锐角 ABC 中， AB 42，BAC 45 °，BAC 的平分线交 BC 于点D，M 、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 _12 、在平面直角坐标系中，有A（ 3，2），B（4，2）两点，现另取一点 C（1，n），当 n =时，

6、 AC + BC 的值最小DCPFAEB第11题第14题第 15题13、ABC 中，C = 90°，AB = 10 ，AC=6,BC=8, 过 AB 边上一点 P 作 PE AC 于 E，PF BC 于 F， E 、F 是垂足，则 EF 的最小值等于14、如图，菱形 ABCD 中， AB=2, BAD=60 °，点E、F、P 分别是 AB 、BC 、AC上的动点，则 PE+PF 的最小值为 _.15、如图，村庄 A、B 位于一条小河的两侧，若河岸a、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥 CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到 B 村的路程最近？16、一次函数 y=k

7、x+b 的图象与 x、 y 轴分别交于点A（2，0），B（0，4）学习必备欢迎下载（1 ）求该函数的解析式；（2 ）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为 C、D， P 为OB 上一动点，求PC PD 的最小值，并求取得最小值时P点坐标（三） 16 、如图，已知AOB 内有一点 P，试分别在边 OA 和OB 上各找一点 E、F，使得PEF 的周长最小。试画出图形，并说明理由。17 、如图，直线 l 是第一、三象限的角平分线实验与探究：（1 ）由图观察易知A（ 0， 2）关于直线 l 的对称点 A的坐标为（ 2， 0），请在图中分别标明 B（5 ， 3）、C（ 2 ，5）关于直线 l 的对

8、称点 B、C的位置，并写出他们的坐标： B、C；归纳与发现：（2）结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线 l 的对称点 P 的坐标为；运用与拓广：（3）已知两点 D（1， 3）、E（ 1，4），试在直线 l 上确定一点 Q ，使点 Q 到 D、E 两点的距离之和最小，并求出Q 点坐标18、 几何模型：条件：如图， A、B 是直线 L 同旁的两个定点问题：在直线L 上确定一点 P ，使PA+PB 的值最小方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A ，连结 A B 交 l 于点 P ，则 PAPB AB的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图 1，正

9、方形 ABCD 的边长为 2， E 为 AB 的中点， P 是 AC 上一动点连结BD ，由正方形对称性可知，B与D关于直线 AC对称连结 ED交 AC于P，则PB PE 的最小值是 _；（2）如图 2，O的半径为2，点A、B、C在O上，OAOB，AOC60°， P是 OB 上一动点，求 PAPC 的最小值；（3）如图 3，AOB=45 °，P 是AOB 内一点， PO=10 ，Q、 R 分别是 OA 、OB 上的动点，求PQR 周长的最小值BBBARAECPlABC 图 2OBPPOQA图 1A图 3D19 、问题探究（1）如图，四边形 ABCD 是正方形，AB10cm

10、， E 为边 BC 的中点， P 为 BD 上的一个动点，求 PCPE 的最小值；AB10cmABC45°BC（2）如图，若四边形ABCD是菱形，上的，E 为边一个动点， P 为 BD 上的一个动点，求 PCPE 的最小值；学习必备欢迎下载问题解决（ 3）如图，若四边形 ABCD 是矩形，AB 10cm， BC20cm， E 为边BC 上的一个动点， P 为 BD 上的一个动点，求 PCPE 的最小值；ADADPADBCCBECB20.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（ -2，0），连结 0A，将线段 OA 绕原点 O。顺时针旋转 120 ，得到线段 OB.（1 ）求点 B 的坐

11、标；（2 ）求经过 A、O、 B 三点的抛物线的解析式；（3 ）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）解：（1 ）过点 B 作 BD x 轴于点D，由已知可得：OB=OA=2 ，BOD=60。.在 Rt OBD 中，ODB=90。，OBD=30 。.OD=1 ，DB=3点B 的坐标是（ 1，3 ）.（2 ）设所求抛物线的解析式为yax2bxc ，由已知可得：c0abc34a2bc 0解得： a3 ,b2 3 ,c 0.33所求抛物线解析式为 y3 x22 3 x.33（3）存在 .由 y

12、3 x22 3 x 配方后得： y3 x 1233333抛物线的对称轴为 x = 1.（也写用顶点坐标公式求出）OB=2 ，要使BOC 的周长最小，必须BC+CO 最小 .点O 与点 A 关于直线 x =1 对称，有 CO=CA. BOC 的周长 =OB+BC+CO=OB+BC+CA.当A、C、B 三点共线，即点 C 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时， BC+CA 最小，此时BOC 的周长最小 .设直线 AB 的解析式为 ykxb, 则有 : k b32k b0解得： k3 , b2 3 .直线AB 的解析式为 y3 x2 3 .3333当 x = 1 时， y3.所求点 C 的坐标为（

13、1，3 ）.3321 、如图，抛物线y2bxc 的顶点 P 的坐标为， 4 3 ，交 x 轴于 A、B 两ax13点，交 y 轴于点 C (0，3)yD（1）求抛物线的表达式（2）把绕AB的中点E旋转 180 °，得到四边形ADBCxABCA OEBCP判断四边形 ADBC 的形状，并说明理由（3 ）试问在线段 AC 上是否存在一点F，使得FBD 的周长最小，若存在，请写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1 ）由题意知解得 a3 ， b23-3分33（列出方程组给1 分，解出给 2 分）抛物线的解析式为 y3 x22 3 x3-4 分33（2）设点A（ x ，0），B（ x

14、，0），则3 x22 3 x30 ，1233解得 x11， x23-5分OA 1， OB 3又tan OCB | OB |3|OC |OCB 60 °，同理可求OCA 30°ACB 90°-6 分由旋转性质可知 AC BD ，BC AD四边形 ADBC 是平行四边形-7分又ACB 90 °四边形ADBC 是矩形-8分（3）延长BC至N，使CNCB假设存在一点F，使的周长最小FBD即 FD FB DB 最小DB 固定长只要 FD+FB 最小又CA BN学习必备欢迎下载FD+FBFD+FN当N、 F、D 在一条直线上时， FD+FB 最小 -10分又C 为

15、BN 的中点，FC1 AC （即 F 为 AC 的中点）2又A（ 1，0），C（0， 3）点F的坐标为 F（ 1，3 ）22 存在这样的点 F（1 ，3 ），使得FBD 的周长最小 -12分2222. 已知：直线 y1x 1 与 y 轴交于 A，与 x 轴交于 D，抛物线 y1x2bx c 与直22线交于 A、 E 两点，与 x 轴交于 B、 C 两点，且 B 点坐标为（1，0 ）（1）求抛物线的解析式；（2）动点 P 在 x 轴上移动，当PAE 是直角三角形且以 P 为直角顶点时，求点 P 的坐标（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使 | AMMC |的值最大，求出点M 的坐标yEADOBCx答案：（1）将 A（0，1）、 B（1，0）坐标代入 y1 x2 bx c 得21 cb31解得20b cc 12抛物线的解折式为 y1 x23 x 13 分22学习必备欢迎下载（ 2）设点 E 的横坐标为 m，则它的纵坐标为 1m23m 1，则 （ m ， 132221）Emm22又点E 在直线 y1 x1 上，1 m23 m 11 m1 2222y解得 m10（舍去）， m24 EE 的坐标为（ 4， 3）4 分A过 E 作 EF x 轴于 F ，设 P(b,0)