专题函数常见题型归纳(教师版)

1、精品资料欢迎下载专题函数常见题型归纳本专题热点考点可总结为六类：一是分段函数的求值问题， 二是函数的性质及其应用，三是基本函数的图像和性质，四是函数图像的应用，五是方程根的问题，六是函数的零点问题。考点一分段函数求值问题2x， x>0，【例 1】 已知函数f(x)若 f(a) f(1) 0，则实数a 的值等于 ()x 1，x 0.【解析】由已知，得 f (1) 2；又当 x>0 时， f ( x) 2x >1，而 f ( a) f (1) 0， f ( a) 2，且 a<0， a1 2，解得 a 3lgx， x ，【例 】设 fxx0则ff(2)_.2()10 ，x ，

2、(0lgx， x，【解析】f(x>0，f(2)2；2，xx ，)，2<01010>0100f (10 2) lg10 2 2.【解题技巧点睛】 求 f(g(x) 类型的函数值时 , 应遵循先内后外的原则 , 而对于分段函数的求值问题 , 必须依据条件准确地找出利用哪一段求解 , 特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性 .考点二函数性质的基本应用【例 3】下列函数中，既是偶函数又在(0 ， ) 单调递增的函数是 () y x3B y x1Cy x21 D y | x |A| |2【答案】 B【解析】 A 选项中，函数 yx3 是奇函数； B 选项中， y| x| 1 是偶函

3、数，且在 ( 0， ) 上是增函数； C 选项中， y x2 1 是偶函数，但在 ( 0， ) 上| x|1| x |0，是减函数； D选项中， y2 2是偶函数，但在 () 上是减函数故选 B.【例 】若函数 fxx为奇函数，则 a()4( )2x1x a精品资料欢迎下载【解析】 法一：由已知得f ( x) xxxa定义域关于原点对称，由12于该函数定义域为 x x1且 x a ，知12a ，故选 A.2法二： f ( x) 是奇函数，f ( x) f ( x) ，又 f ( x) x2x2， x x12a xa则 x2xa xxa, 因函数的定义域内恒成立，可得a2 a21221 21(1

4、 2a)1 2a,1 .2a 0, a2【例 5】函数 y1的图像与函数 y2sin x （ 2 x4 ）的图像所有交点的1x横坐标之和等于 ()A2B 4C6D8【解题技巧点睛】在解决与函数性质有关的问题中, 如果结合函数的性质画出函数的简图 , 根据简图进一步研究函数的性质, 就可以把抽象问题变得直观形象、 复杂问题变得简单明了 , 对问题的解决有很大的帮助. (1)一般的解题步骤 : 利用函数的周期性把大数变小或小数变大, 然后利用函数的奇偶性调整正负号, 最后利用函数的单调性判断大小; (2)画函数草图的步骤: 由已知条件确定特殊点的位置 , 然后利用单调性确定一段区间的图象 , 再利

5、用奇偶性确定对称区间的图象 , 最后利用周期性确定整个定义域内的图象 .考点三基本函数的性质与图像log3 0.3【例 6】已知 a5log2 3.4 ,b 5log4 3.6 , c1,则()5精品资料欢迎下载A a b cB b a cC a c bD c a b【答案】 Ca5log 2 3.4 ,b5log23.6 ,clog10, 再由指【解析】根据对数函数的运算性质可知：53 3数函数f ( x) 5x 为单调递增函数，因为 log 23.6log 24 1 log 2 3.4log 2 21，log 3 10log 3 3 1，且 log 3 10log 210log 2 3.4

6、，所以 a cb 333【例 】 对实数 a和 b，定义运算“aa，a b 1，fx?b设函数()7”：?b，a b>1. (x22)? (x x2)，x ，若函数 yfxc 的图象与 x轴恰有两个公共点，R()则实数 c 的取值范围是 ()【解析】本题考查二次函数的性质和图像。f ( x)x22，x22( xx2) 1，xx2，x22( xx2) >1x2 2， 1 x 32，23xx ，x<1，或 x>2，则 f ( x) 的图象如图： y f ( x) c 的图象与 x 轴恰有两个公共点， y f ( x) 与 y c 的图象恰有两个公共点，3由图象知 c 2，或

7、 1<c< 4.考点四函数图像的应用【例 8】 设函数 f ( x)( x R) 满足 f ( x) f ( x) ，f ( x 2) f ( x) ，则 yf ( x)的图像可能是 ()精品资料欢迎下载【答案】 B【解析】由 f ( x) f ( x) 可知函数为偶函数，其图像关于y 轴对称，可以结合选项排除 A、C，再利用 f ( x 2) f ( x) ，可知函数为周期函数，且T2，必满足 f (4) f (2) ，排除 D，故只能选 B.【例 】已知函数 yfx的周期为，当x1,1时 fxx2，那么函数9( )2( )yf ( x) 的图像与函数 y|lgx| 的图像的交点

8、共有 ()【解析】考查数形结合思想，在同一直角坐标系中作出两个函数的图像，故下图容易判断出两函数图像的交点个数为10 个【解题技巧点睛】 函数图象分析类试题， 主要就是推证函数的性质， 然后根据函数的性质、特殊点的函数值以及图象的实际作出判断，这类试题在 考查函数图象的同时重点是考查探究函数性质、 用函数性质分析问题和解决问题的能力 利用导数研究函数的性质、 对函数图象作出分析判断类的试题， 已经逐渐成为高考的一个命题热点。考点五与方程根的相关问题【例 10】设 nN , 一元二次方程 x24x n0 有整数根的充要条件是n =【答案】 3 或 4【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平

9、方数、整除等进行判断计4164nn ，因为 x 是整数，即 24 n 为整数，所以 4 n算x22 4为整数，且 n ,4 ，又因为 nN ，取 n 1,2,3,4 ，验证可知 n 3,4 符合题意；反精品资料欢迎下载之 n 3,4 时，可推出一元二次方程x24x n0 有整数根2 x ，若关于 x 的方程 f ( x) k 有【例 11】已知函数 f ( x) x，2x13，x2.两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是 _【答案】 (0,1)【解析】 f ( x)2 ( x 2) 单调递减且值域为 (0,1， f ( x)(x 1)3 (x 2) 单调递增x且值域为 ( ,1) ，函数 f

10、 ( x) 的图象如图所示，故 f ( x)k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ 0,1 ）考点六函数零点问题【例】在下列区间中，函数fx)xx3的零点所在的区间为()12(e 4111111【解析】 因为 f 4 e42<0， f 2e21>0，所以 f4 · f2<0，又因为函数 y x是单调增函数， y x3也是单调增函数，e4所以函数 fx xx3是单调增函数，( )e4x11所以函数 f ( x) e 4x3 的零点在4，2 内【例】已知函数f(xlogax x b a ，且 a1)当 a b4时，13)(023函数f ( x) 的零点 x0(

11、n，n1) ， n N* ，则n_.【解析】本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用因为2<a<3，所以 log a2<1 log aa<log a3，因为 3<b<4，所以 b 2>1>log a 2，b3<1<log a3，所以f (2) ·f (3) (log a22 b)(log a3 3 b)<0 ，所以函数的零点在 (2,3) 上，所以 n2.【例14】函数 fx xcosx 在0，内()( )A没有零点B 有且仅有一个零点C有且仅有两个零点 D 有无穷多个零点【答案】 B【解析】在同一个坐标系中作出y

12、x与 ycosx 的图象如图，精品资料欢迎下载由图象可得函数f ( x) x cosx 在0 ， ) 上只有一个零点【解题技巧点睛】判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体问题灵活处理，当能直接求出零点时， 就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理进行判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断针对性训练一填空题部分。1. “ a2 ”是“函数f ( x)ax3在区间 1,2 上存在零点”的 _条件。解 析 ：f ( x)ax3 在 区 间 1,2 上 存 在 零 点 ， 则f (1) f ( 2)0 ， 即( 3a )( 2a3)0， a3或 a3 ，“ a2 ”

13、是“ a3 或 a3 ”的充分22不必要条件，“ a2 ”是“函数 f (x)ax3 在区间 1,2 上存在零点”的充分不必要条件 .2. 若 log a 20( a0且 a1) ，则函数 f (x)log a ( x1) 的图像大致是 _解析：log a 20(a0且 a1),log a 2log a 1,0a1. 函数在定义域为减函数，将函数 ylog a x向左平移一个单位得log a ( x1)，故答案为 B。3. 设若 f ( x)lg x, x0,f ( f (1)1，则 a 的值是 _a3t2 dt, xx0,0解析： f (1)lg10, f (0)a2dta31, a 1.0

14、3t0精品资料欢迎下载4.2 , b0.2实数 a0.2log 2 0.2, c2 的由小到大的关系是 _答案： bac解析：根据指数函数和对数函数的性质，blog20.20 a0.2 21c ( 2) 0.2 。5.函数f(x)+22x 在定义域内零点的个数是_x解析：在同一坐标系中画出函数y | x 2 |与 y2x 的图像，可以看到 2 个函数的图像在第二象限有2 个交点，在第一象限有 1 个交点，所以函数 f ( x) x+2 2x在定义域内有3 个零点。6.若函数 f ( x)(sin x cos x) 22cos 2 x m 在 0,上有零点，则 m 的取值范围2为 _解析：由函数

15、 f (x)(sin xcos x) 22cos 2 xm1sin 2 xcos2x1m2 sin(2 x)2m 得在 0,上的最大值是22 m ，最小值是 1m42所以f ( x)max22 m 0 ，解得 1 m 22 .f ( x) min1m07. 已知 f ( x) 是奇函数，且 f (2 x)f ( x) ，当 x2,3时， f (x) log2 (x1) ，则当 x 1,2 时 f ( x) _解析： 由 f ( x) 是奇函数，且f (2x)f ( x) ，得 f (x4)f ( x) ，所以函数的周期 T4又因为当 x 2,3 时，f (x)log 2 ( x1) ，所以当

16、x2, 1 时，f ( x)log 2 ( x 3) ，因为函数 f (x) 是奇函数，所以当 x1,2 时 f ( x)f ( x)log 2 (3x) .ex , x 0则关于 x 的方程 f f xk0 ，8. 已知函数 f (x)2x, x0给出下列四个命题：精品资料欢迎下载存在实数 k ，使得方程恰有1 个不同实根；存在实数 k ，使得方程恰有2 个不同实根；存在实数 k ，使得方程恰有3 个不同实根；存在实数k ，使得方程恰有 4 个不同实根；其中假命题的个数是 _答案：2个解析： 当 x0, f ( f ( x)f (ex )eex, 当 x0, f ( f ( x)f ( 2x

17、)e 2x ,当 x0, y eex是 增 函 数 ， x0, y e 2x 是 减 函 数 ， 由 ff xk 0 得f ( f ( x)k,方程 f ( f ( x)k 解的个数即 yk 与 yf ( f (x) 的图像交点的个数， 由图像得当1k e,有1 个解；当ke时，有2解。9. 设 f ( x) 是定义在 R 上的增函数，且对于任意的 x 都有 f (1)xf (1)0x恒成立 . 如果实数 m、 n 满足不等式组f ( m26m23)f (n28n)0 ，那么 m2n2m 3的取值范围是 _解析：由 f (1)xf (1)0 x得 f (1x)f (1x) ，又 f (m 26

18、m23)f (n28n) 0 ，f (m26m23)f 1 (n28n1) ，f (m26m23)f 1(n28n1)fn( 228n) . f ( x) 是 R 上的增函数， m26m23 2n28n ， (m 3)2(n4)24又 m3，结合图象知m2n2 为半圆 (m3)2( n4)24( m3) 内的点到原点的距离，故13227，13m2n249.mn10. 若 f (x)(x2)( xm) 为奇函数，则实数 m.x(12)(1m)(1 2)(1m)解析： f (1)f (1),m133m,m2.11精品资料欢迎下载11. 已知函数 f (x)log 1 ( x),4 x0,a 有解，则实数 a 的取值范2若方程 f ( x)2cos x,0x .围是 _ 答案：2,解析：4x 0,x (0,