初中数学（中考总复习）专题19 阅读理解题-真题专项分类讲练强化练习附解答

1、数学专题 精心整理专题19 阅读理解题类型1 新定义阅读1.（2019重庆）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等现在我们来研究一种特殊的自然数-“纯数”定义：对于自然数n，在通过列竖式进行n+(n+1)+(n+2)的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n为“纯数”例如：32是“纯数”，因为32+33+34在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯数”，因为23+24+25在列竖式计算时个位产生了进位（1）请直接写出1949到2019之间的“纯数”；（2）求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由2.（20

2、19南通）定义：若实数x，y满足x2=2y+t，y2=2x+t，且xy，则称点M（x，y）为“线点”例如，点（0，2）和（2，0）是“线点”已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）（1）P1（3，1）和P2（3，1）两点中，点_是“线点”；（2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|POQAOB|=30°时，直接写出t的值3.（2019宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线（1）如图1，在ABC中，AB=AC，AD是ABC的角平分线，E，F分别是B

3、D，AD上的点求证：四边形ABEF是邻余四边形（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N若N为AC的中点，DE=2BE，QB=3，求邻余线AB的长4.（2019扬州）如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分別为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T(AB，l2)，特别地线段AC在直

4、线l2上的正投影就是线段A1C请依据上述定义解决如下问题：（1）如图1，在锐角ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）=_；（2）如图2，在RtABC中，ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求ABC的面积；（3）如图3，在钝角ABC中，A=60°，点D在AB边上，ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD），5.（2019株洲）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）（1）若a=1，b=2，c=1求该二次函数图象的顶点坐标；定义：对于二次函数y=px2+qx+r（p0），满足方程y=x的

5、x的值叫做该二次函数的“不动点”求证：二次函数y=ax2+bx+c有两个不同的“不动点”（2）设b=c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x10，x20，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC=OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足AFC=ABCFA的延长线与BC的延长线相交于点P，若=，求二次函数的表达式 6.（2019衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x=，y=，那么称点T

6、是点A，B的融合点例如：A（1，8），B（4，2），当点T（x，y）满足x=1，y=2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点（1）已知点A（1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点试确定y与x的关系式若直线ET交x轴于点H当DTH为直角三角形时，求点E的坐标 7.（2019镇江）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的O）人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺

7、的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角的大小是变化的【实际应用】观测点A在图1所示的O上，现在利用这个工具尺在点A处测得为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得为67°PQ是O的直径，PQON（1）求POB的度数；（2）已知OP=6400km，求这两个观测点之间的距离即O上的长（取3.1）8.（2019常州）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度（1）写出下列

8、图形的宽距：半径为1的圆：_；如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：_；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d若d=2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；若点C在M上运动，M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上对于M上任意点C，都有5d8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围 9.（2019北京）在ABC中，D，E分别是ABC两边的中点，如果上的所有点都在ABC的内部或边上，则称为ABC的中内弧例如，图1中是ABC的一条

9、中内弧 （1）如图2，在RtABC中，AB=AC=2，D，E分别是AB，AC的中点，画出ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t0），在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点若t=，求ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；若在ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围类型2 学习研究型阅读1.（2019随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如=100a+10b+c【基础

10、训练】（1）解方程填空：若+=45，则x=_；若=26，则y=_；若+=，则t=_；【能力提升】（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被_整除，一定能被_整除，mn一定能被_整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用53

11、2235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”该“卡普雷卡尔黑洞数”为_；设任选的三位数为（不妨设abc），试说明其均可产生该黑洞数2.（2019常州）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，

12、n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2=_；【运用】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形当n=3，m=3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y=7当n=4，m=2时，如图4，y=_；当n=5，m=_时，y=9；对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y=_（用含m、n的代数式表示）请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立3.（2019南京）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行

13、走可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）=|x1x2|+|y1y2|【数学理解】（1）已知点A（2，1），则d（O，A）=_函数y=2x+4（0x2）的图象如图所示，B是图象上一点，d（O，B）=3，则点B的坐标是_（2）函数y=（x0）的图象如图所示求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）=3（3）函数y=x25x+7（x0）的图象如图所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在

14、该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由） 4.（2019陕西）问题提出：（1）如图1，已知ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的BPC，且使BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离；问题解决：（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，CBE=1

15、20°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由（塔A的占地面积忽略不计）参考答案类型1 新定义阅读1.【参考答案】（1）显然1949至1999都不是“纯数”，因为在通过列竖式进行n+(n+1)+(n+2)的运算时要产生进位在2000至2019之间的数，只有个位不超过2时，才符合“纯数”的定义所以所求“纯数”为2000，2001，2002，2010，2011，2012；（2）不大于100的“纯数”的个数有13个，理由如下：因为个位不超过2，十位不超过3时，才符合“纯数”的定义，所以不大于1

16、00的“纯数”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，100共13个2.【参考答案】（1）P2当M点（x，y），若x，y满足x22y=t，y22x=t且xy，t为常数，则称点M为“线点”，又P1（3，1），则3221=7，1223=5，75，点P1不是线点；P2（3，1），则(3)221=7，122(3)=7，7=7，点P2是线点，故答案为P2；（2）点P（m，n）为“线点”，则m22n=t，n22m=t，m22nn2+2m=0，m22n+n22m=2t，(mn)(m+n+2)=0，ab，m+n+2=0，m+n=2，m22n+n22m=2t，(m+n)22mn2(

17、m+n)=2t，即(2)22mn+22=2t，mn=4t，mn，(mn)20，m22mn+n20，(m+n)24mn0，(2)24mn0，mm1，mn=4t，t3；（3）设PQ直线的解析式为：y=kx+b，则解得，k=1，直线PQ分别交x轴，y轴于点A、B，AOB=90°，AOB是等腰直角三角形，|AOBPOQ|=30°，POQ=120°或60°，P（m，n），Q（n，m），P、Q两点关于y=x对称，若POQ=120°时，如图1所示： 作PCx轴于C，QDy轴于D，作直线MNABP、Q两点关于y=x对称，PON=QON=POQ=60°

18、，AOB是等腰直角三角形，AON=BON=45°，POC=QOD=15°，在OC上截取OT=PT，则TPO=TOP=15°，CTP=30°，PT=2PC=2n，TC=n，m=n+2n，由（2）知，m+n=2，解得，m=1，n=1，由（2）知，mn=4t，t3，(1)(1+)=4t，解得，t=6，若POQ=60°时，如图2所示， 作PDx轴于D，QCy轴于C，作直线MNABP、Q两点关于y=x对称，PON=QON=POQ=30°，AOB是等腰直角三角形，AON=BON=45°，POD=QOC=15°，在OD上截取OT

19、=PT，则TPO=TOP=15°，DTP=30°，PT=2PD=2n，TD=n，m=n2n，由（2）知，m+n=2，解得m=1，n=1，由（2）知，mn=4t，t3，(1)(1)=4t，解得，t=，综上所述，t的值为6或3.【参考答案】（1）AB=AC，AD是ABC的角平分线，ADBC，ADB=90°，DAB+DBA=90°，FAB与EBA互余，四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一）， 四边形AFEB为所求；（3）AB=AC，AD是ABC的角平分线，BD=CD，DE=2BE，BD=CD=3BE，CE=CD+DE=5BE，EDF=90&#

20、176;，点M是EF的中点，DM=ME，MDE=MED，AB=AC，B=C，DBQECN，=，QB=3，NC=5，AN=CN，AC=2CN=10，AB=AC=104.【参考答案】（1）2如图1中，作CHABT（AC，AB）=3，AH=3，AB=5，BH=53=2，T（BC，AB）=BH=2，故答案为2 （2）如图2中，作CHAB于HT（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，AH=4，BH=9，ACB=CHA=CHB=90°，A+ACH=90°，ACH+BCH=90°，A=BCH，ACHCBH，=，=，CH=6，SABC=ABCH=136=39（3）如图3中，作C

21、HAD于H，BKCD于KACD=90°，T（AD，AC）=2，AC=2，A=60°，ADC=BDK=30°，CD=AC=2，AD=2AC=4，AH=AC=1，DH=ADAH=3，T（BC，AB）=6，CHAB，BH=6，DB=BHDH=3，在RtBDK中，K=90°，BD=3，BDK=30°，DK=BDcos30°=，CK=CD+DK=2+=，T（BC，CD）=CK= 5.【参考答案】（1）a=1，b=2，c=1，y=x22x1=（x1）22，该二次函数图象的顶点坐标为（1，2）.证明：当y=x时，x22x1=x，整理得，x23x1=

22、0，=(3)241(1)=130，方程x23x1=0有两个不相等的实数根即二次函数y=x22x1有两个不同的“不动点”（2）把b=c3代入二次函数得，y=ax2+c3x+c，二次函数与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x10，x20），即x1、x2为方程ax2+c3x+c=0的两个不相等实数根，x1+x2=，x1x2=，当x=0时，y=ax2+c3x+c=c，C（0，c），E（1，0），CE=，AE=1x1，BE=x21，DFy轴，OC=OD，DFx轴，=1，EF=CE=，CF=2，AFC=ABC，AEF=CEB，AEFCEB，=，即AEBE=CEEF，(1x1)(x21)=1+c2，

23、展开得，1+c2=x21x1x2+x1，1+c2=1，c3+2ac2+2c+4a=0，c2(c+2a)+2(c+2a)=0，(c2+2)(c+2a)=0，c2+20，c+2a=0，即c=2a，x1+x2=4a2，x1x2=2，CF=2=2，(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2=16a4+8，AB=x2x1=2，AFC=ABC，P=P，PFCPBA，=，=，解得，a1=1，a2=1（舍去），c=2a=2，b=c3=4，二次函数的表达式为y=x24x2.6.【参考答案】（1）x=(1+7)=2，y=（5+7）=4，故点C是点A、B的融合点；（2）由题意得，x=(t+3)，y=(2t+3)，则

24、t=3x3，则y=(6x6+3)=2x1；当DHT=90°时，如图1所示，点E（t，2t+3），则T（t，2t1），则点D（3，0），由点T是点D，E的融合点得，t=，2t2=，解得，t=，即点E（，6）；当TDH=90°时，如图2所示，则点T（3，5），由点T是点D，E的融合点得，点E（6，15）；当HTD=90°时，该情况不存在；故点E（，6）或（6，15） 7.【参考答案】（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HDBC于D，CHBH交BC于点C，如图所示，则DHC=67°，HBD+BHD=BHD+DHC=90°，HBD=DHC=67&

25、#176;，ONBH，BEO=HBD=67°，BOE=90°67°=23°，PQON，POE=90°，POB=90°23°=67°；（2）同（1）可证POA=31°，AOB=POB-POA=67°31°=36°，=3968（km） 8.【参考答案】（1）2半径为1的圆的宽距离为2，故答案为21+如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是O上一点，连接OP，PC，OC在RtODC中,OC=,OP+OCPC，PC1+.这个“窗户形“的宽距为1+，故答案为1+ （2

26、）如图2-1中，连接AB、BC、CA所形成的图形是图中阴影部分S1和S2（分别以A、B为圆心，以AB为半径所作的圆心角为120°的两条弧所形成的阴影部分即为点C所在的区域）点C所在的区域的面积为S1+S2=如图2-2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MTx轴于TACAM+CM，又5d8，当d=5时AM=6，AT=4，此时M（41，2），当d=8时AM=7，AT=3，此时M（31，2），满足条件的点M的横坐标的范围为41x31当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为3+1x4+1 9.【参考答案】（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是ABC的最长的中内弧，连接DE，A

27、=90°，AB=AC=2，D，E分别是AB，AC的中点，BC=4，DE=BC=4=2，弧=2=；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EGAC交FP于G，当t=时，C（2，0），D（0，1），E（1，1），F（，1），设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心在线段DE上方射线FP上均可，m1，OA=OC，AOC=90°，ACO=45°，DEOC，AED=ACO=45°，作EGAC交直线FP于G，FG=EF=，根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；m，综上所

28、述，m或m1如图4，设圆心P在AC上，P在DE中垂线上，P为AE中点，作PMOC于M，则PM=，P（t，），DEBCADE=AOB=90°，AE=，PD=PE，AED=PDEAED+DAE=PDE+ADP=90°，DAE=ADP，AP=PD=PE=AE，由三角形中内弧定义知，PDPMAE，AE3，即3，解得，t，t00t类型2 学习研究型阅读1.【参考答案】（1）2=10m+n，若+=45，则102+x+10x+3=45，x=2，故答案为24若=26，则107+y(10y+8)=26，解得y=4，故答案为47由=100a+10b+c及四位数的类似公式得，若+=，则100t+

29、109+3+1005+10t+8=10001+1003+10t+1，100t=700，t=7，故答案为7（2）11；9；10+=10m+n+10n+m=11m+11n=11(m+n)则+一定能被 11整除;=10m+n(10n+m)=9m9n=9(mn),一定能被9整除;mn=(10m+n)(10n+m)mn=100mn+10m2+10n2+mnmn=10(10mn+m2+n2)，mn一定能被10整除,故答案为11；9；10（3）495若选的数为325，则用532235=297，以下按照上述规则继续计算，972279=693，963369=594，954459=495，954459=495，故

30、答案为495当任选的三位数为时，第一次运算后得，100a+10b+c(100c+10b+a)=99(ac)，结果为99的倍数，由于abc，故ab+1c+2ac2，又9ac0，ac9ac=2，3，4，5，6，7，8，9，第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字经过运算，分别可以得到：981189=792，972279=693，963369=594，954459=495，954459=495，故都可以得到该黑洞数4952.【参考答案】（1）有三个直角三角形其面积分别为ab，ab和c2直角梯形的面积为(a+b)(a+b)由图形可知，(a+b)

31、(a+b)=ab+ab+c2整理得(a+b)2=2ab+c2，a2+b2+2ab=2ab+c2，a2+b2=c2故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2=c2（2）1+3+5+7+2n1n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，2n1由图形可知：n2=1+3+5+7+2n1故答案为1+3+5+7+2n1（3）6，3；n+2(m1)如图4，当n=4，m=2时，y=6，如图5，当n=5，m=3时，y=9算法y个三角形，共3y条边，其中n边形的每边都只使用一次，其他边都各使用两次，所以n边形内部共有(3yn)2条线段；算法n边形内部有1个点时，其内

32、部共有n条线段，共分成n个三角形，每增加一个点，都必在某个小三角形内，从而增加3条线段，所以n边形内部有m个点时，其内部共有n+3(m1)条线段，由(3yn)÷2=n+3(m1)化简得，y=n+2(m1)，故答案为6，3；n+2(m1). 3.【参考答案】（1）3；（1，2）由题意得，d（O，A）=|0+2|+|01|=2+1=3；设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0x|+|0y|=3，0x2，x+y=3，解得，B（1，2），故答案为3；（1，2）.（2）假设函数y=（x0）的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）=3，根据题意，得|x0|+|0|3，x0，0，|x0|+|0|=x+，x+=3，x2+4=3x，x23x+4=0，=b24ac=70，方程x23