中考总复习（数学）定角夹定高-习题专项讲练（历年真题）

1、数学专题 精心整理定角夹定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），BAC为定角。则AD有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。我们可以先看一下下面这张动图，在三角形ABC当中，BAC是一个定角，过A点作BC边的高线，交BC边与D点，高AD为定值。从动态图中（如图定角定高1.gsp）我们可以看到，如果顶角和高，都为定值，那么三角形ABC的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A点的运动而发生变化的。从而弦BC的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面积就有一个最小值。我们可以先猜想一下，AD过圆心的时候，

2、这个外接圆是最小的，也就是，BC的长是最小的，从而三角形ABC的面积也是最小的。 （定长可用圆处理，特别，定长作为高可用两条平行线处理）那么该如何证明呢？首先我们连接OA,OB,OC。过O点作OHBC于H点.（如图1）显然OA+OHAD，当且仅当A,O,D三点共线时取“=”。由于BAC的大小是一个定值，而且它是圆o的圆周角，因此它所对的圆心角AOB的度数，也是一个定值。因此OH和圆O的半径，有一个固定关系，所以，OA+OH也和的半径，有一个固定的等量关系。再根据我们刚才说的，OA+OHAD，就可以求得圆O半径的最小值。简证：OA+OHADOEDH为矩形，OH=ED，在RtAOE中，AO>

3、AE，AO+OH=AO+ED>AE+ED=AD下面我们根据一道例题来说明它的应用。例：如图，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=4，ADBC，B=60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且EAF=60°，则AEF的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由。【简答】图中有角含半角模型，因此我们想到旋转的方式来处理.将ADF绕A点顺时针旋转120°，得ABF，则EAF=60°，易证AEFAEF，作AEF的外接圆O，作OHBC于点H，AGBC于点G，则FOH=60°，AG=，设 O的半径为r，则OH= .，FAE

4、=FAE=FOE=60°FE=AEF的面积最小值为以下是两到相关的针对练习题，大家学习完以后可以去自主的完成一项，后面也有详细的解答过程，做完以后大家可以对照一下答案，学会了这种类型题的解法。解题步骤：1.作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r，用r表示圆心到底边距离及底边长；2.根据“半径+弦心距定高”求r的取值范围；3.用r表示定角定高三角形面积，用r取值范围求面积最小值。【针对练习】1.（1）如图1，在ABC中，ACB=60°，CD为AB边上的高，若CD=4，试判断ABC的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积最小值；若不存在，请说明理由.（2）如图2，某园林单位

5、要设计把四边形花圃划分为几个区域种植不同花草。在四边形ABCD中，BAD=45°，B=D=90°，CB=CD=62，点E、F分别为边AB、AD上的点，若保持CECF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由。（1）解：如图1-1作ABC的外接圆，连OA、OB、OC，作OHAB于H设半径为r，则OH=，AB=2AH=2CO+HOCD 即r+4 得r（2）分析：此处求面积最大值，而定角定高一般求面积最小值。由于：=因此，只要最小，面积最大解：如图1-2所示在AB上找一点H，使AH=HC。延长AB至G，使BG=FD，连CG，作CEG

6、的外接圆证AC为BAD平分线求面积。CHB=45°，AH=CH=HB=BC= AB=12+ =CDFCBG，则=求最小面积ECG=135°-90°=45°定角，CB=定高.设的半径为r，则EK=OK=，EG=2EK=.CO+OK 即r+ r.求的最大值。=2.已知等边ABC，点P是其内部一个动点，且AP=10，M、N分别是AB、AC边上的两个动点，求PMN周长最小时，四边形AMPN面积的最大值.分析：PMN最小值即将军饮马问题。如图2-1。四边形AMPN面积该如何表示？如图2-2AP=10，则P在以A为圆心10为半径的圆上由轴对称性可知，=只要最小，则最

7、大最小，且MAN=60°定值，AD=定值，即定角定高问题解：求PMN周长最小。作P关于AB的对称点，作P关AC的对称点，连。此时，PMN周长即为最小（两点之间线段最短）四边形AMPN面积表达式。连，过A作AD又AD= 当最小时，最大求的最小值。如图2-3作AMN的外接圆，连OA、OM、ON，作OHMN于H.设的半径为r，则OH=，.AO+OH，即，r.四边形AMPN面积最大值为这就是我们所说的定价定高类隐形圆的处理方法。相对来说难度还是比较大的，这类题通常会作为中考压轴题出现，如果没有学习过解题方法的话，自己是很难想出来它的做法，希望同学们下去以后多加练习。只要方法掌握了以后，其实也是很容易拿到满分的。【同类配题】1.如图3，四边形ABCD中，AB=AD=4，B=45°，D=135°，点E，F分别是射线CB、CD上的动点，并且EAF=C=60°，求AEF的面积的最小值.2.如图4，四边形ABCD中，A=135°，B=60°，D=120°，AD=5，AB=6，E、F分别为边BC及射线CD上的动点，EAF=45°，求AEF面积的最小值.3.如图5，四边形ABCD中，B=D=60°，C=90°